专题02 三角形的证明（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期新教材北师大版

专题02 三角形证明 4大高频考点概览 考点01直角三角形的判定 考点02多边形内角和定理 考点03等边三角形 考点04角平分线 考点05线段的垂直平分线 考点06反证法与逆命题 考点07尺规作图的应用 考点08最值问题 考点09勾股定理的应用 地 城 考点01 直角三角形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A．35° B．55° C．65° D．90° 3．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在中，，，的对边分别为，，．下列条件不能断定为直角三角形的是（   ） A． B．，， C．，， D． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．2，，6 D．3，5，7 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）已知，，是的三边长，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 地 城 考点02 多边形内角和定理 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）若一个正多边形的每个内角均为，则这个多边形是（    ） A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形 2．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，五边形的内角都相等，且，则____________．    三、解答题 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在平面内对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： (1)等边半正六边形相邻两个内角的和为_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线．猜想与的数量关系，并说明理由： 地 城 考点03 等边三角形 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，等边中，，，若，则等于（    ）    A． B． C．3 D．4 二、填空题 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点分别是等边三角形的边的点，且与相交于点．则的度数为_______． 地 城 考点04 角平分线 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（    ） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E.若，则BD的长为（    ）    A．4 B． C．2 D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E，若，则__________． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于______．    三、解答题 6．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，，是的中点，平分，求证：平分． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，求的长． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 9．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 地 城 考点05 线段的垂直平分线 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有______个． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中，，点A在上，，，则的长为____． 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为__________． 6．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则_____． 三、解答题 7．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）【理解定义】 如图1，在和中，，，点，在底的异侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做对合等腰三角形．在对合等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小强通过测量、折纸的方法猜想对合等腰三角形有以下性质：对合等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小强利用图1给出已知、求证，请帮助小强完成证明． （1）已知：如图1，和是对合等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，平分，点为的延长线上一点，分别连接，，且．求证：和是对合等腰三角形． 【拓展应用】 （3）和是对合等腰三角形，过点作交直线于点，已知，，请直接写出BD的长． 地 城 考点06 反证法与逆命题 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设（    ） A．一个三角形中不能有两个角为锐角 B．一个三角形中不能有两个角为钝角 C．一个三角形中能有两个角为锐角 D．一个三角形中能有两个角为钝角 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）用反证法证明“在中，若，则”时，我们应该先假设（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 6．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 地 城 考点07 尺规作图的应用 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（   ） A．20 B．21 C．25 D．30 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是的长 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③AD＝BD；④点D在AB的垂直平分线上．正确的个数是(   ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，连接，则的度数为______． 8．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，，，以点圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，D为射线上一点，若为等腰三角形，则的度数为_____． 三、解答题 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题． (1)如图，在中．求作： ①的角平分线； ②线段BC的垂直平分线，线段BC的垂直平分线与的角平分线交于点D，与交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，可不写作法与作图结论）． (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 地 城 考点08 最值问题 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 二、填空题 2．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为_________． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为________． 地 城 考点09 勾股定理的实际应用 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂升降作业起重臂的长度也可以伸缩 操作示意图 操作数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米 提示：四边形是长方形，． 操作评价 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，在水平地面上，一辆汽车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，定滑轮与物体的垂直距离是（即），此时测得点A到所在直线的距离；停止位置示意图如图3，此时汽车向前运行（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径与物体大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变．） (1)求的长； (2)求物体上升的高度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形证明 4大高频考点概览 考点01直角三角形的判定 考点02多边形内角和定理 考点03等边三角形 考点04角平分线 考点05线段的垂直平分线 考点06反证法与逆命题 考点07尺规作图的应用 考点08最值问题 考点09勾股定理的应用 一、单选题地 城 考点01 直角三角形的判定 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A．35° B．55° C．65° D．90° 【答案】B 【分析】根据BC2﹣AC2＝AB2，可得△ABC为直角三角形，∠A＝90°，从而求得∠C． 【详解】解：∵BC2﹣AC2＝AB2，即BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，求得∠A＝90°． 3．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在中，，，的对边分别为，，．下列条件不能断定为直角三角形的是（   ） A． B．，， C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、比例关系，逐一分析各选项是否符合直角三角形的判定条件即可． 【详解】A、设三边为，满足，符合勾股定理逆定理，判定为直角三角形，不符合题意； B、由于，满足勾股定理逆定理，能判定为直角三角形，不符合题意； C、根据选项，，同理其他组合均不满足两边平方和等于第三边平方，故不满足勾股定理逆定理，不能判定为直角三角形，符合题意； D、由选项可得：，即，符合勾股定理逆定理，能判定为直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．2，，6 D．3，5，7 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项正确； B．，不能构成直角三角形，故本选项错误； C．，不能构成直角三角形，故本选项错误； D．，不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：A． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数，解题关键是理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，需逐一验证各选项是否满足条件． 【详解】解：，不是勾股数，故A错误； ，，这三个数不是正整数，，，不是勾股数，故B错误； ∵， ∴5、12、13是勾股数，故C正确； ∵，， 306 ≠ 289， ∴9，，不是勾股数，故D错误， 故选：C． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）已知，，是的三边长，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，解题的关键是明白两个因式积为0，则至少有一个因式为0．根据，可得或，从而或，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 一、单选题地 城 考点02 多边形内角和定理 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）若一个正多边形的每个内角均为，则这个多边形是（    ） A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查正多边形求角度问题，涉及正多边形外角与内角等知识，根据正多边形外角和为与正多边形性质即可得到答案，熟练掌握正多边形外角与内角关系是解决问题的关键． 【详解】解：一个正多边形的每个内角均为， ， ， 这个多边形是正五边形， 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求多边形的内角和．根据多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：， 即正九边形内角和为． 故选：D 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再由这个多边形的外角和为以及题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6， 故答案为：6． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，五边形的内角都相等，且，则____________．    【答案】/36度 【分析】本题主要考查的是五边形的内角和及三角形内角和的综合应用，根据五边形的内角和的性质可得出，再通过三角形内角和进行求解 【详解】解：∵五边形的内角和是，五边形的内角都相等， ∴每个内角为， ∴， 又∵，，由三角形内角和定理可知， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）在平面内对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： (1)等边半正六边形相邻两个内角的和为_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线．猜想与的数量关系，并说明理由： 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； 一、单选题地 城 考点03 等边三角形 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识点． 根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，三线合一求出的度数即可． 【详解】解：∵是高线， ∴， ∵ ∴， ∵，是的中线， ∴； 故选D． 3．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，等边中，，，若，则等于（    ）    A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由等边三角形的性质得，，再证明，推出即可解决问题．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的外角， ∴ ∴在中， 则 故 即 ∴ 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点分别是等边三角形的边的点，且与相交于点．则的度数为_______． 【答案】60° 【分析】利用等边三角形的性质根据SAS证明△BCE≌△CAD，得到∠CBE=∠ACD，再根据三角形外角的性质即可得到答案. 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=∠A=60°， ∵CE=AD， ∴△BCE≌△CAD， ∴∠CBE=∠ACD， ∴=∠OBC+∠OCB=∠ACD+∠OCB=∠ACB=60°， 故答案为：60°. 【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质. 一、单选题地 城 考点04 角平分线 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果． 【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH=DP=4， ∴△ODQ的面积=． 故选：D．    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（    ） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：过点作，垂足为点，   是的中点，， ， ，，射线是的平分线， ， 故选：． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E.若，则BD的长为（    ）    A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点D作，根据角平分线的性质得出，再由等角对等边得出，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示：    ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 二、填空题 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，根据角平分线性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出答案．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，， 是的角平分线，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于______．    【答案】25 【分析】延长交于，由证明，得出，得出，，即可得出答案． 【详解】解：延长交于，如下图，    ∵平分，垂直于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，证明三角形全等得出是解题的关键． 三、解答题 6．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，，是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质系．过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分． 【详解】证明：如图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据，可得，再由勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）证明得，可证垂直平分； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题地 城 考点05 线段的垂直平分线 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由垂直平分线的性质推出，从而可证是含的直角三角形，则可得，再由勾股定理得，即可得． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 中，， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理、含的直角三角形特征、勾股定理解直角三角形，解题关键是由垂直平分线的性质推出． 二、填空题 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中，，点A在上，，，则的长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由此即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为__________． 【答案】11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：11． 6．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又点为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， 连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 7．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期中【理解定义】 如图1，在和中，，，点，在底的异侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做对合等腰三角形．在对合等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小强通过测量、折纸的方法猜想对合等腰三角形有以下性质：对合等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小强利用图1给出已知、求证，请帮助小强完成证明． （1）已知：如图1，和是对合等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，平分，点为的延长线上一点，分别连接，，且．求证：和是对合等腰三角形． 【拓展应用】 （3）和是对合等腰三角形，过点作交直线于点，已知，，请直接写出BD的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）或． 【分析】根据等边对等角可证，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证直线是线段的垂直平分线； 过点作，，可证，根据全等三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 根据和是对合等腰三角形，可证，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可得，分情况求出的长度即可． 【详解】证明：，， ，， ， ， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线； 如下图所示，过点作，， ， 平分， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰三角形， 是等腰三角形，且点、在的异侧， 和是对合等腰三角形； 解：如下图所示， 和是对合等腰三角形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质． 一、单选题地 城 考点06 反证法与逆命题 1．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设（    ） A．一个三角形中不能有两个角为锐角 B．一个三角形中不能有两个角为钝角 C．一个三角形中能有两个角为锐角 D．一个三角形中能有两个角为钝角 【答案】D 【分析】本题考查反证法，三角形的分类，根据命题一个三角形中不能有两个钝角的否定为三角形的内角至少有两个钝角，从而得出结论． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设“一个三角形中能有两个角为钝角”, 故选D． 2．用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时， 第一步应假设：， 故选：D 3．对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：由于结论的否定为：， 用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立， 故应假设，由此推出矛盾． 故选：A． 4．用反证法证明“在中，若，则”时，我们应该先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法，进行判断即可． 【详解】解：由反证法的定义得 先假设结论：不成立， 则有：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键． 5．下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查逆命题，命题真假的判定，分别写出各选项的逆命题，并判断其正确性． 【详解】解：A、原命题：“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”， 逆命题：“如果两个实数的平方相等，那么它们相等”， 反例：和的平方相等但本身不相等，逆命题不成立； B、原命题：“两直线平行，同旁内角互补”， 逆命题：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 根据平行线的判定定理，同旁内角互补可推出两直线平行，逆命题成立； C、原命题：“如果两个角是直角，那么它们相等”， 逆命题：“如果两个角相等，那么它们是直角”， 反例：两个的角相等但不是直角，逆命题不成立； D、原命题：“等边三角形是锐角三角形”， 逆命题：“锐角三角形是等边三角形”， 反例：存在锐角三角形不是等边三角形（如三内角分别为的三角形），逆命题不成立； 故选：B． 6．下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 二、填空题 7．命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】解：如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如果a＞b，则a2＞b2， 假设a=1，b=-2， 此时a＞b，但a2＜b2， 即此命题为假命题． 故答案为：假． 地 城 考点07 尺规作图的应用 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（   ） A．20 B．21 C．25 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长，即：， ∴的周长． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是的长 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质，垂线段最短，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：，平分；故A选项正确； ∴；故B选项正确； 无法得到，故C选项错误； ∵平分，， ∴点到两边的距离相等，均为的长， ∵点E在边上， ∴当时，的长取最小值，为的长，故D选项正确； 故选C． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，角平分线的尺规作图，由勾股定理可得；过点D作于E，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质可得，利用等面积法可求出，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，过点D作于E， 由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③AD＝BD；④点D在AB的垂直平分线上．正确的个数是(   ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【分析】由角平分线的作图方法即可判断①；由直角三角形两锐角互余结合角平分线的性质即可判断②；根据等角对等边即可判断③；根据线段垂直平分线的判定即可判断④； 【详解】解：由作图方法可知AD是∠BAC的角平分线，故①正确； ∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC=60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADC=60°，∠DAB=∠B，故②正确； ∴AD=BD，故③正确， ∴点D在线段AB的垂直平分线上，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 二、填空题 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，连接，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，先求出，由作图可得，根据等边对等角得到，最后利用计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵以点B为圆心，的长为半径画弧， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，，，以点圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，D为射线上一点，若为等腰三角形，则的度数为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，分，，，三种情况进行讨论求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论进行求解，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况：如图： ①当时，则：，此时点为与的交点， ∴； ②当时，则：，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴； ③当时，则：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或或； 故答案为：或或． 三、解答题 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题． (1)如图，在中．求作： ①的角平分线； ②线段BC的垂直平分线，线段BC的垂直平分线与的角平分线交于点D，与交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，可不写作法与作图结论）． (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 【答案】(1)①作图见解析；②作图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作角平分线和作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和，熟练掌握相关作图方法和相关判定与性质是解题的关键． （1）①利用角平分线的作法作图即可； ②利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）过点分别作于，延长线于，证明，得出，证明，再证明，得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作， 作法：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于两点； 再分别以这两点为圆心，大于这两点线段的一半长为半径作弧，两弧交于一点； 过点和两弧交点作射线即可； ②如图，即为所求作， 作法：分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于两点； 连接这两点，分别与的角平分线交于点D，与交于点E，即为所求作． （2）解：如图，过点分别作于，延长线于， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、单选题地 城 考点08 最值问题 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 二、填空题 2．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，，，，点P从点C出发沿向点B运动，到达点B时停止，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是等边三角形判定与性质，解直角三角形有关计算及垂线段最短的应用，在左侧作等边，连接，证出，得，则点Q在过点D且与垂直的直线上，过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值，解直角三角形求出即可． 【详解】解：在左侧作等边，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点Q在过点D且与垂直的直线上， 过点B作点Q运动轨迹的垂线，垂足为Q，此时取最小值， ， ， ， ， ， ， 即最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：取的三等分点F（靠近B点），即，，连接；易证可得，再根据三角形的三边关系可得，即可说明当A、D、F三点共线时，的最小值为． 【详解】解：如图：取的三等分点F（靠近B点）， ∵， 即，，连接， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、D、F三点共线时，有最小值为，即的最小值为． ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 地 城 考点09 勾股定理的实际应用 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂升降作业起重臂的长度也可以伸缩 操作示意图 操作数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米 提示：四边形是长方形，． 操作评价 【答案】点到地面的距离的长为米 【分析】中，根据勾股定理求出得到，于是得到结论． 【详解】在中， 由勾股定理得， 米， 米， 答：点到地面的距离的长为米． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，在水平地面上，一辆汽车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，定滑轮与物体的垂直距离是（即），此时测得点A到所在直线的距离；停止位置示意图如图3，此时汽车向前运行（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径与物体大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变．） (1)求的长； (2)求物体上升的高度． 【答案】(1)的长度为 (2)物体上升的高度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得，，在中，由即可求解； （2）根据题意得，，，在中，，因为运动过程中绳子总长不变，由（1）中可求绳子总长，通过绳长即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 在中， 答：的长度为． （2）根据题意得，， ， ， 在中，， ，， ， 绳子长为， ， 答：物体上升的高度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02三角形证明 目目 考点01 直角三角形的判定 、 单选题 2 3 4 5 6 B A C D 目目 考点02 多边形内角和定理 单选题 2 3 B D B 二、填空题 4.6 5.六 6.36°/36度 三、解答题 7.【详解】(1)解：：六边形内角和为6-2)×180°=720°，且LA=∠C=LE,∠B=∠D=∠F, .等边半正六边形相邻两个内角的和为720°÷3=240°， 故答案为：240°； (2)解：∠BAD=∠FAD. 理由如下：连接BD,FD, A B E “六边形ABCDEF是等边半正六边形. D 图3 :AB=BC =CD =DE EF=FA,ZC=ZE. ∴△BCD≌△FED」 :BD FD 在△ABD与△AFD中， 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 AB=AF BD=FD, AD=AD △BAD≌△FAD ,∠BAD=∠FAD; 目目 考点03 等边三角形 、 单选题 2 3 A D 二、填空题 4.60° 目目 考点04 角平分线 、 单选题 2 3 D A D 二、填空题 4.3+3√2 5.25 三、解答题 6.【详解】证明：如图所示，过点M作MN⊥AD, D M' DM平分∠ADC,∠C=90°， MC⊥DC, :MN =MC :M是BC的中点， :MC=MB :MC=MB =MN 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :AM平分∠DAB. 7.【详解】解：如图，连接BG, :AB=AC,AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,BD=CD=BC=6, 2 .∠B+∠BAD=90°， :EF⊥AB, .∠AFG=90°， .∠AGF+∠BAD=90°， .LAGF=∠B=LC, ZAGF ZEGD, .∠C=∠EGD, :DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE, 在△DEG和△DEC中， ZC ZEGD,ZADE ZCDE,DE=DE, .△DEG≌△DEC(AAS), .DG=CD=6, :AG=2, .AD=AG+DG=8, .AB=VAD2+BD2=V82+62=10, 5.wo-ABFG-AG.BD, 1 2 即x10FG=x2x6, 1 2 解得：FG= 5 试卷第1页，共3页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF=AG2-FG2 益爸案为：月 8.【详解】(1)证明：：AD为ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, .∠AED=∠AFD=90°，DE=DF (DE=DF AD=AD .Rt△AED≌Rt△AFD(HL) .AE=AF, .点A、D都在EF的垂直平分线上， .AD垂直平分EF (2)解：：∠BAC=60°，AD为ABC角平分线，∠AED=LAFD=90°， .∠DAE=∠DAF=30°，∠ADE=60°， .AD =2DE, ,AD垂直平分EF, .LE0D=90°， .∠DE0=30°， .DE=2D0, D0=2, DE=4, .AD=2DE=8, .A0=AD-D0=6. 9.【详解】(1)证明：：DE L AB, .∠BED=∠AED=90°， ,∠CFD+∠AFD=180°，∠B+∠AFD=180°， .∠CFD=∠EBD, .∠C=90°， .∠C=∠BED=90°， .在CDF和△EDB中， 试卷第1页，共3页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=∠BED=90° ∠CFD=∠EBD, DF=BD .△CDF≌△EDB(AAS), .DE DC, :DE⊥AB,DC⊥AC, .点D在∠BAC的平分线上， .AD平分∠BAC; (2)证明：：AD平分∠BAC, .∠DAC=LDAB, 在△CDA和△EDA中， [∠C=∠AED=90° ∠DAC=∠DAB, AD=AD .△CDA≌△EDA(AAS, .AC=AE, .AC=AE=AF +FC, 由(1)得△CDF≌△EDB, .CF=BE .AE AF +FC=AF BE .AB AE EB=AF +2BE, .AB AF +2BE. 目目 考点05 线段的垂直平分线 、 单选题 2 二、填空题 3.4 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.30 5.11 6.6 三、解答题 7.【详解】(1)解：：AB=AC,AD是ABC的高线， .DB=DC, .AD垂直平分BC, .FB=FC ,EF是边AB的垂直平分线 .FB=FA=3, .FC=FA=3; (2)解：，AB=AC,∠BAC=80°，AD是ABC的高线， ∠FAC=∠FAB=∠BAC=40° 2 FC=FA, .∠FCA=∠FAC=40°. 8.【详解】(1)证明：连接AE :EF垂直平分AC, B D E :AE=EC, :AD⊥BC,BD=DE, .AD垂直平分BE, .AB=AE, :AB=EC (2):aABC的周长为21cm, .AB+BC+AC 21cm, AC 8cm, :AB+BC =13cm 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=EC,BD=DE, 4B+BD=EC+DE=(4B+BC)=6.5cm .DC=6.5cm. 9.【详解】(1)证明：连接BE,如图所示： D :DE是AB的垂直平分线， E B AE=BE, ∠ABE=∠A=30°， :∠ACB=90°，∠A=30°， ∠ABC=90°-∠A=60°， :∠CBE=LABC-LABE=30°， .在Rta△BCE中，BE=2CE, :AE =2CE (2)解：△BCD是等边三角形，理由如下： 连接CD,如图所示： 4 D :DE是AB的垂直平分线， E B .ED⊥AB, .∠EDB=90°=∠ECB, 由(1)得，LEBD=∠EBC=30°， EB=EB, .△EDB≌△ECB(AAS), 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CB=BD, :∠ABC=60°， ,△BCD是等边三角形 10.【详解】(1证明：：AB=AC,BD=CD, .∠ABC=∠ACB,∠DBC=∠DCB, .∠ABC+∠DBC=LACB+∠DCB, .∠ABD=∠ACD, AB=AC,BD=CD, :点A、D在线段BC的垂直平分线上， :直线AD是线段BC的垂直平分线； (2)如下图所示，过点E作EM⊥AB,EN⊥AC, ∴.∠BME=∠CNE=90o, :AD平分∠BAC, ·EM=EN,LBAE=∠CAE, BE=CE 在Rta BME和RtACNE中， EM=EN' RtaBME≌RtACNE, :∠ABE=∠ACE, ∠ABE=∠ACE 在△ABE和△ACE中， ∠BAE=∠CAE, AE=AE △ABE≌△ACE, :AB=AC, :△ABC是等腰三角形， :△EBC是等腰三角形，且点A、E在BC的异侧， :AABE和△ACE是对合等腰三角形： 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M (3)解：如下图所示， :△ABC和△DBC是对合等腰三角形， :AB=AC,DB=DC, AB=AC 在△ABD和△ACD中， BD=CD, AD=AD AABD≌△ACD, .∠ADB=∠ADC, AE‖BD, .∠EAD=∠ADB, .∠EAD=LADC, :DE=AE=5, :CE=2, DC=DE-CE=5-2=3, :BD=DC=3; D 如下图所示，：△ABD≌△ACD, .∠ADB=∠ADC, .AE‖BD, 试卷第1页，共3页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADB=∠EAD, .∠ADC=∠EAD, :DE AE =5, 又：CE=2, DC=DE+CE=5+2=7, :BD=DC=7. 综上所述，BD=3或7 目目 考点06 反证法与逆命题 一、单选题 1 2 3 4 5 6 D 0 A C B A 二、填空题 7.假 目目 考点07 尺规作图的应用 、 单选题 1 2 3 5 6 C A D D 二、填空题 7.110°/110度 8.18°或36°或72° 三、解答题 试卷第1页，共3页