12.1复数的概念（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

12.1 复数的概念 第十二章 复数 学 习 目 标 1 2 3 理解虚数单位 的规定，掌握复数的代数形式，能准确识别复数的实部与虚部； 通过问题驱动，自主推导复数的分类标准，能精准判定复数的类型，能根据复数类型求解对应参数，培养严谨的逻辑推理与分类讨论思维. 自主探究复数相等的充要条件，能利用该条件实现 “复数问题实数化”，求解复数方程中的实数参数. 新课导入 从数学内部运算的角度，数集从自然数集→整数集→有理数集→实数集的每一次扩充，都解决了什么核心矛盾？所有扩充过程都遵循了怎样的统一规则？ 本节课我们将引入新数，完成数集的新一轮扩充——解决负数开平方的问题. 扩充核心：解决原有数集中运算无法实施、方程无解的矛盾； 统一规则：原有数集是新数集的子集、原有运算律在新数集中仍然适用. 在实数集中，我们面临方程无解、负数不能开平方的新矛盾，按照数集扩充的统一规则，我们该如何突破这个困境？ 新知探究 探究一：虚数单位 的引入 只有保留原有运算律，新的数集才能与原有实数体系兼容，数系扩充才有意义； 比如 ， 规定 “实数与 进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立”，这一规定的必要性是什么？ ② 实数可以与 进行四则运算，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 虚数单位 的两条核心规定： ① ； 为了让方程 有解，我们需要引入一个新数 ，这个新数必须满足的核心规定是什么？ 知识小结 虚数单位 ② 实数与i可四则运算，加法、乘法运算律成立 数域扩充：N→Z→Q→R→C 扩充规则：解决运算矛盾，保留原有运算律 虚数单位： ① ； 5 即时训练 1.若复数满足方程（i是虚数单位），则（    ） A．1 B．i C． D． 【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解 【详解】因为，即 所以. 故选：C. C 新知探究 探究二：复数的概念与分类 根据 的运算规定，实数与 进行加、乘运算后，得到的所有新数都可以写成怎样的统一代数形式？由此我们该如何定义复数、实部与虚部？ 无论实数与 如何进行四则运算，最终都可整理为: 的形式 复数定义： 形如 的数叫作复数 叫作实部 叫作虚部 全体复数构成的集合叫作复数集，记作 。 ①实数： 根据实部 和虚部 的不同取值，我们可以对复数进行怎样的分类？分类的核心依据是什么？ 新知探究 对于复数 当时， ②虚数： 典例分析 例1 写出复数，，，，，的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【分析】根据复数（）的定义，提取每个复数的实部与虚部，再依据“实部、虚部是否为0”判定复数所属类别. 解：，，，，，的实部分别是，，，，， 虚部分别是，，，，，． ，是实数； ，，，是虚数 其中是纯虚数． 典例分析 例2 实数取什么值时，复数i 是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【分析】由可知(都是实数，根据复数i 是实数、虚数或纯虚数的条件可以分别确定 的值. 解 ：(1) 当 m - 1 = 0，即 m = 1 时，复数 z 是实数. (2) 当 ，即 时，复数 z 是虚数. (3) 当 且 ，即 m = 0 时，复数 z 是纯虚数. 知识小结 复数的概念与分类 ③非纯虚数： 且 复数的概念： ①代数形式： () 实部：　虚部： 复数的分类： ①实数： ②虚数： → 纯虚数： 且 ； 11 新知探究 探究三：复数相等的充要条件 两个实数可以通过大小比较判定是否相等，而两个虚数无法比较大小，我们该如何定义两个复数相等？ 充要条件： 若 则且。 强调：只有两个复数都是实数时，才能比较大小； 两个虚数之间、虚数与实数之间，只能判定相等或不 相等，不能比较大小。 典例分析 例3 已知，求实数的值． 【分析】利用复数相等的充要条件（实部相等、虚部分别相等），将复数等式转化为关于的二元一次方程组，求解得到实数的值. 解：根据两个复数相等的充要条件，可得 解得 新知探究 复数相等的充要条件，能帮我们把复数问题转化为什么类型的问题？这体现了怎样的数学思想？ 利用复数相等的充要条件，可以把一个复数方程，拆分为两个实数方程，实现复数问题实数化，这是解决复数问题的核心思想。 知识小结 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件： 核心思想：复数问题实数化 15 巩固提升 题型1 虚数单位的性质 1.（    ） A．0 B． C．1 D． 【分析】由复数的乘方可以发现具有周期性，周期为，然后由周期性计算即可. 【详解】因为，，， 所以具有周期性，周期为 所以 所以. 故选：A A 巩固提升 题型2 复数的概念和分类 2.下列命题正确的个数是（ ） ① ； ② 若 ，且 ，则 ； ③ 若 ，则 ； ④ 两个虚数不能比较大小 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. B 巩固提升 题型3 复数的实部、虚部 3.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的基本概念即得. 【详解】设所求复数为， 由题意知复数的虚部为7，所以， 复数的实部为，所以， 故． 故选：A. A 巩固提升 题型4 根据复数相等求参数 4.实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：A A 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 复数的概念 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 核心定义与公式 1. 虚数单位 ● 规定新数 i 满足：i2 = 点击可见-1。 ● 实数与 i 进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 2. 复数的代数形式 ● 形如 a + bi (a, b ∈ R) 的数叫做复数，通常用字母 z 表示。 ● 其中 a 称为 点击可见实部，b 称为 点击可见虚部。 3. 复数的分类 ● 当 b = 0 时，z 为 点击可见实数。 ● 当 b ≠ 0 时，z 为 点击可见虚数。 ● 当 a = 0 且 b ≠ 0 时，z 为 点击可见纯虚数。 4. 复数相等 ● a + bi = c + di (a, b, c, d ∈ R) 的充要条件是 点击可见a = c 且 b = d。 逻辑陷阱与隐含条件 ⚠️ 虚部的定义 复数 z = a + bi 的虚部是 b，而不是 bi。 例：z = 3 - 4i 的虚部是 -4。 ⚠️ 纯虚数的判定 判定 z = a + bi 为纯虚数时，必须满足 a = 0 且 b ≠ 0。 若忽略 b ≠ 0，则可能包含 z = 0（实数）的情况。 ⚠️ 复数相等的充要条件 使用 a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d 时，前提必须是 a, b, c, d 均为 实数。 ⚠️ 复数的大小比较 两个虚数之间不能比较大小，只有两个复数都是实数时才能比较大小。 模型总结与思路 1. 分类讨论思想 处理含参数的复数问题（如“若复数为纯虚数，求参数 m 的值”）时，应严格按照定义列出方程组： 实部 = 0 虚部 ≠ 0 2. 数形结合：复平面的对应关系 ● 复数 z = a + bi ↔ 点 Z(a, b) ● 复数 z = a + bi ↔ 向量 OZ = (a, b) 利用几何意义可以解决复数的模、轨迹等最值问题。 3. 待定系数法 当已知复数满足某个方程（如 z2 + az + b = 0）时，常设 z = x + yi (x, y ∈ R)，代入方程利用复数相等转化为实数方程组求解。 4. 典型计算示例 计算复数的模：|a + bi| = √(a2 + b2) 例如：|35 - 45i| = √((35)2 + (-45)2) = 1 $