12.2复数的运算（第2课时）（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

12.2 复数的运算（第2课时） 第十二章 复数 学 习 目 标 1 2 3 掌握复数乘方的运算规则，理解实数正整数指数幂的运算律在复数范围内的适用性，掌握 的乘方周期性规律并能灵活应用； 理解复数除法的定义，掌握待定系数法与分母实数化两种除法运算，能熟练规范完成复数除法及四则混合运算； 始终围绕 “复数问题实数化” 的核心思想，建立实数方程组解决复数问题，提升数学建模能力. 复数乘法满足： 新课导入 上一节课我们学习了复数的乘法运算，复数乘法满足哪些运算律？这些运算律和实数乘法的运算律 有什么区别吗？ 和实数乘法运算律完全一致； 在实数范围内，乘方是多个相同因数的积，正整数指数幂有固定的运算律，类比实数的乘方，我们 该如何定义复数的乘方？实数的指数幂运算律在复数范围内还成立吗？ 这就是本节课要解决的问题——从复数的乘方出发，逐步完善复数四则运算体系，拓展复数在方程求解中的应用. ①交换律②结合律③分配律 探究一：复数的乘方与 的乘方周期性 新知探究 根据乘方的定义，复数的乘方是相同复数的积，那么实数范围内正整数指数幂的三大运算律在复数范围内仍然成立吗？ 根据复数乘法的运算律 实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立. 即对任何, 及,有 ① ② ③ ①周期性（周期为4）：对任意，有 新知探究 分别计算的结果，观察计算结果，你能发现的正整数指数幂有什么规律？这个规律的周期是多少？ , , , ； ②连续4个i的正整数次幂的和为0 即； 典例分析 例1 设 ，求证： (1) ； (2) 。 【分析】先按复数乘法法则计算,代入验证 再利用,结合平方差公式与 ,证明。 证明： (1) 因为 所以 (2) 知识小结 复数的乘方与 的乘方周期性 ①乘方运算律：实数正整数指数幂运算律完全适用 ②的乘方周期性 7 探究二：复数的除法运算 新知探究 在实数运算中，除法是乘法的逆运算，类比这个定义，我们该如何定义复数的除法？ 复数的除法： 满足 () 的复数 叫作复数 除以 的商 记作 . 典例分析 例2 计算. 【分析】复数除法可通过待定系数法（利用复数相等列方程组）或分母实数化法（分子分母同乘分母的共轭复数）两种方法，将分母化为实数后计算结果。 解法1 ：设，则 即 所以 解得 典例分析 因此 可以证明： 解法2： 一般地，我们有 因为，所以. 由此可见，两个复数的商仍是一个复数. 一般的，我们有 新知探究   用待定系数法求商需要解二元一次方程组，运算步骤较多，结合之前学习的共轭复数“化虚为实”的性质，你能设计出一种更简便的方法，直接去掉分母中的虚数单位 吗？ 核心逻辑：给分子、分母同时乘以分母的共轭复数 将分母转化为实数，这个过程叫作分母实数化. 因为 ，所以 。 由此可见，两个复数的商仍是一个复数。 知识小结 复数的除法运算 ①定义 ：复数 ，且满足 ，则称 为 除以 的商，记作： ②一般运算法则：对任意复数 、（其中 ），复数除法的通用公式为： 12 典例分析 例3 在复数集内解下列方程： (1) ； (2) . 【分析】(1)设,利用复数等于0 的充要条件列方程组求解； (2)通过配方将方程转化 为的形式，直接开方得到复数根。 解 ：(1) 设，则 即 所以 典例分析 解得 因此 或 . (2) 配方，得 仿(1)，得 所以 或 . 探究三：复数范围内解一元二次方程 新知探究 结合两个方程的求解过程，你能总结出实系数一元二次方程 在复数范 围内的通用解法吗？当判别式<0 时，方程的根有什么特殊的规律？ 对实系数一元二次方程 () 判别式 ，在复数范围内： 巩固提升 题型1 复数的除法运算 1.已知，为纯虚数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据复数运算化简，再由纯虚数的定义列方程求. 【详解】因为 为纯虚数， 所以，且， 所以. 故选：B. B 巩固提升 题型1 复数的除法运算 2.设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案. 【详解】 所以且 解得. B 巩固提升 题型2 在复数的范围内解方程 3.已知关于的方程（）有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【分析】先求出方程的两个虚数根，然后由复平面上对应两虚根之间的距离为列方程求解即可. 【详解】由题意得，得， 方程（）的虚数根为 ， 因为在复平面上对应两虚根之间的距离为， 所以，得， B 巩固提升 题型2 在复数的范围内解方程 4.在复数范围内分解因式： （；（. 【分析】先求对应一元二次方程的共轭虚根，再利用因式分解与根的关系 ,在复数范围内完成因式分解。 解：（1），故方程的共轭虚根为， 故. （2）由方程可知 所以方程有两个共轭虚根为， 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 复数的乘方与除法 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 核心运算法则 1. 复数的乘方 ● 定义：复数 z 的 n 次幂 (n ∈ N*) 满足正整数指数幂的运算律。 ● 虚数单位 i 的周期性：in 的值呈周期性变化，周期为 点击可见4。 ● 规律：i4k+1=i, i4k+2=-1, i4k+3=-i, i4k=点击可见1。 2. 复数的除法 ● 法则：分子、分母同时乘以分母的点击可见共轭复数，使分母实数化。 ● 公式：a + bic + di = (a + bi)(c - di)c2 + d2。 3. 共轭复数的性质 ● 若 z = a + bi，则 z · z = 点击可见a2 + b2。 运算陷阱警示 ⚠️ 乘方展开中的符号 在计算 (a + bi)2 时，常忽略 i2 = -1，误写成 a2 + b2 + 2abi。 正确结果：a2 - b2 + 2abi。 ⚠️ 除法分母的计算 分母实数化时，(c + di)(c - di) = c2 + d2，中间是加号。 注意：不要习惯性套用实数范围内的平方差公式写成减号。 ⚠️ 周期性的应用 计算 in 时，必须先将指数 n 对 4 取模，注意 n 为负整数或 0 的特殊情况。 高效解题模型 1. 常用计算结论（熟记提速） (1 + i)2 = 2i (1 - i)2 = -2i 1 + i1 - i = i 1 - i1 + i = -i 2. 模的运算性质 在求复数商的模时，利用性质可以避免复杂的除法运算： ● |z1z2| = |z1||z2| 3. 连续项求和模型 利用 i 的周期性，连续四个幂的和为 0： in + in+1 + in+2 + in+3 = 点击可见0 $