12.2 第2课时 复数的乘方与除法运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦复数的乘方与除法运算，通过“i的幂次计算”情境导入，衔接实数指数幂运算律，搭建从实数到复数的认知支架，帮助学生理解运算律延续性及i的周期性。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，通过通性通法总结（如乘方公式、除法分母实数化）和分层训练（基础巩固到拓展探究），培养学生运算能力与逻辑推理。教师可直接使用结构化例题与练习，提升教学效率，学生能在问题解决中深化对复数运算的理解。

第2课时　 复数的乘方与除法运算 新课程标准解读 核心素养 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指 数幂的运算律在复数范围内仍成立 数学抽象、数学 运算 2.了解i的幂的周期性 数学抽象 3.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立， 我们 知道i1＝i， i2＝－1. 【问题】　i3， i4， i5， i6， i7， i8， i9， i10， i11， i12分别是多少？ 从这些数中，你能总结出什么规律？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点一　复数的乘方与in（n∈N*）的周期性 1. 复数范围内幂的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝ ，（zm）n ＝ ，（z1z2）n＝ ⁠. zm＋n　 zmn　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. in（n∈N*）的周期性 i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ ⁠. 提醒　（1）复数范围内正整数指数幂的运算律与实数范围内正整 数指数幂的运算律是一致的；（2）由i的正整数指数幂的含义易 知，对于4个连续的正整数a，b，c，d都有ia＋ib＋ic＋id＝0. 1　 i　 －1　 －i　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点二　复数的除法 1. 复数的除法 我们把满足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（c＋di≠0）的复数x ＋yi（x， y∈R）叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，记作 或 ⁠. （a＋bi）÷（c＋di）　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 复数的除法法则 一般地， ＝ ＝ 　 ＋ i　. 提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母 的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母 实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最 后结果要将实部、虚部分开. ＋ i　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列结论中正确的是（　　） A. i＋i2＋i3＋i4＝0 B. ＝－i C. ＝－i D. ＝－i √ √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，i2＝－1，i3＝（i2）i＝－i，i4＝（i2）2＝ 1，i＋i2＋i3＋i4＝i＋（－1）＋（－i）＋1＝0，故A正确；对 于B， ＝ ＝ ＝－i，故B正确；对于C， ＝ ＝－i，故C正确；对于D， ＝ ＝ ＝i，故D错 误.故选A、B、C. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 设a是实数，且 ＋ 是实数，则a＝（　　） A. B. 1 C. D. 2 解析： 　∵ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ i，又∵（ ＋ ）∈R，∴ ＝0，解得a＝1.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （ ）2＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＝ .所以（ ）2＝ ［ ］2＝ ＝i. i　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 复数的乘方与in（n∈N*）的周期性 【例1】　（1）（链接教科书第125页例4）设ω＝－ － i.求证： ①ω2＝ ；②ω2＋ω＋1＝0；③ω3＝1. 解： 证明：①因为ω2＝ ＝ ＋ i－ ＝－ ＋ i， ＝－ ＋ i， 所以ω2＝ . ②ω2＋ω＋1＝（－ ＋ i）＋ ＋1＝0. ③ω3＝ω·ω2＝（－ － i） ＝（－ ）2－（ i）2 ＝ ＋ ＝1. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）计算：①（1＋i）4；②i＋i2＋i3＋…＋i100. 解： ①（1＋i）4＝[（1＋i）2]2＝（2i）2＝4i2＝－4. ②i＋i2＋i3＋…＋i100＝（i＋i2＋i3＋i4）×25＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 进行复数的乘方运算时要灵活运用乘方的运算性质及一些常用 的结论： （a＋bi）2＝a2＋2abi－b2（a，b∈R）；（a＋bi）（a－bi） ＝a2＋b2（a，b∈R）；（1±i）2＝±2i. 2. 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数分别是 0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （ － i）3＝（　　） A. －i B. i C. －1 D. 1 解析： （ － i）3＝（ － i）2（ － i）＝（－ － i） （ － i）＝－ － ＝－1.故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （2024·江苏东海高中月考）已知复数z＝（ ）2 025，则 的虚部 为（　　） A. －1 B. －i C. 1 D. i 解析： 因为 ＝ ＝i，又i2＝－1，i3＝－i，i4＝1， 所以z＝（ ）2 025＝i2 025＝i506×4＋1＝（i4）506×i＝i，所以 ＝－ i，所以 的虚部为－1.故选A. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 复数的除法运算 【例2】　（1）（链接教科书第126页例5） ＝（　A　） A. － ＋ i B. － i C. － ＋ i D. － i A 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 法一　设 ＝x＋yi，所以1＋2i＝（3－4i）（x ＋yi），即1＋2i＝（3x＋4y）＋（3y－4x）i，所以 解得所以 ＝－ ＋ i.故选A. 法二　 ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i.故选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若复数z满足z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝ （　A　） A. 3＋5i B. 3－5i C. －3＋5i D. －3－5i A 解析：因为z（2－i）＝11＋7i，所以z＝ ＝ ＝ ＝3＋5i.故选A. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代 数形式. 2. 常用公式 （1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　计算：（1） ； 解： 法一　 ＝ ＝ ＝－2＋i. 法二　 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－2＋i . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：原式＝[（1＋i）2]3· ＋[（1－i）2]3· － ＝ （2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－ ＝8＋8－16－16i ＝－16i. （2） ＋ － . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 在复数范围内解方程 【例3】　（链接教科书第126页例6）在复数范围内解下列方程： （1）x2＋5＝0； 解： 因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为（ i）2＝（－ i）2＝－5， 所以x＝± i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝± i. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）x2＋4x＋6＝0. 解： 法一　因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2， 因为（ i）2＝（－ i）2＝－2， 所以x＋2＝ i或x＋2＝－ i， 即x＝－2＋ i或x＝－2－ i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6 ＝0无实数根. 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且 b≠0）， 则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0， 所以 目录 数学·必修第二册 (SJ) 又因为b≠0，所以 解得a＝－2，b＝± .所以x＝－2± i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的 求解方法 （1）求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝ ； ②当Δ＜0时，x＝ ； 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m， n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数 相等的定义求解； （3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. （2024·泰州月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0 （q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　） A. 2i＋3 B. －2i－3 C. 2i－3 D. －2i＋3 解析： 　根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－ 2i.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根 及实数k的值. 解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋ （2x0＋k）i＝0. 由复数相等的条件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0， 解得或 ∴方程的实根为x＝ 或－ ，相应的k的值为－2 或2 . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （2024·南京月考）已知 ＝1＋i（i为虚数单位），则复数z ＝（　　） A. 1＋i B. 1－i C. －1＋i D. －1－i 解析： 　因为 ＝1＋i，所以z＝ ＝ ＝ ＝－1－i.故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝（　　） A. 1＋ i B. 1－ i C. － i D. i 解析： 　x2＝－3，解得x＝ i或x＝－ i.故选C、D. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 如果z＝ ，那么z100＋z50＋1＝ ⁠. 解析：z2＝（ ）2＝i，则z100＋z50＋1＝（z2）50＋（z2）25＋1＝ i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i. 4. 计算：（1） ； 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－i. i　 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2） （ ＋ i）5＋ ＋ . 解： （ ＋ i）5＋ ＋ ＝－i·（ ）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋ ＋i7＝ 16 （－1＋i）－ －i ＝－ ＋（16 －1）i. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知复数z＝ ＋5i，则z＝（　　） A. 1－7i B. －1＋7i C. 1 D. 7i 解析： 　z＝ ＋5i＝ ＋5i＝－1＋7i，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 若i为虚数单位， ＋ ＋ ＋ ＝（　　） A. 0 B. 2i C. －2i D. 4i 解析： 　 ＝－i， ＝i， ＝－i， ＝i，∴ ＋ ＋ ＋ ＝0. 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 若复数 （a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a＝ （　　） A. －6 B. －4 C. 4 D. 6 解析： 　因为 ＝ ＝ 为纯虚 数，所以解得a＝－6.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·徐州月考）若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此 复数为“理想复数”.已知z＝ ＋bi（a，b∈R）为“理想复 数”，则（　　） A. a－5b＝0 B. 3a－5b＝0 C. a＋5b＝0 D. 3a＋5b＝0 解析： 　z＝ ＋bi＝ ＋bi＝ ＋（ ＋b）i.由 题意知， ＝－ －b，则3a＋5b＝0.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）若x2－x＋1＝0，则x＝（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － i D. － － i 解析： 　由x2－x＋1＝0知，Δ＝1－4＝－3＜0，所以方程无实 根，所以在复数范围内方程x2－x＋1＝0的根为x＝ ， 即x1＝ ＋ i，x2＝ － i，故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）设z＝ ＋ i，则下列式子成立的是（　　） A. z2＝－ B. z3＝－1 C. z2－z＋1＝0 D. z3＝1 解析：ABC　z2＝（ ＋ i）2＝ － ＋ i＝－ ＋ i＝－ ，故 A正确；z3＝（ ＋ i）3＝（ ＋ i）2（ ＋ i）＝（－ ＋ i）（ ＋ i）＝－ － ＝－1，故B正确，D错误；z2－z＋1＝－ ＋ i－ － i＋1＝0，故C正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （2024·盐城联盟校期中）若复数z满足方程 i＝1－i，则z ＝ ⁠. 解析：由题意可得 ＝ ＝ ＝－i（1－i）＝－1－i，所 以z＝－1＋i. －1＋i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. （2024·江苏启动中学月考）写出一个同时满足①②的复数z ＝ .①z2＝ ；②z∉R. 解析：因为z∉R，不妨设z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），由z2＝ 得（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝a－bi，所以解得 a＝－ ，b＝± ，所以z＝－ － i或z＝－ ＋ i. － － i（或－ ＋ i）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. 已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若 是实数，则实数b＝ ⁠. 解析： ＝ ＝ ＝ ，∵ 是实数， ∴6－b＝0，即b＝6. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 计算： （1）（ － ＋ i）（2－i）（3＋i）； 解： （ － ＋ i）（2－i）（3＋i）＝（ － ＋ i）·（7－i）＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2） . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－2－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·江苏启动中学月考）已知f（n）＝（ ）2n＋（ ）2n （n∈N*），则集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的个数为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵f（n）＝（ ）2n＋（ ）2n＝［（ ）2］n＋ ［（ ）2］n＝2（－1）n，∴{x｜x＝f（n），n∈N*}＝{2， －2}，∴集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的个数为2.故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i为虚数单 位，则下列元素属于集合M的是（　　） A. （1－i）（1＋i） B. C. D. （1－i）2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　M＝{m｜m＝in，n∈N}中，n＝4k（k∈N）时， in＝1；n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i；n＝4k＋2（k∈N）时， in＝－1；n＝4k＋3（k∈N）时，in＝－i，∴M＝{－1，1，i， －i}.选项A中，（1－i）（1＋i）＝2∉M；选项B中， ＝ ＝－i∈M；选项C中， ＝ ＝i∈M；选 项D中，（1－i）2＝－2i∉M. 故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 已知复数z＝ 是纯虚数，θ∈R，则θ＝ 　kπ＋ ⁠. 解析： ＝（tan θ－ ）＋i，因为z＝ 是纯虚数，所以tan θ－ ＝0，所以θ＝kπ＋ （k∈Z）. kπ＋ （k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 已知复数z＝2＋i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2＋px ＋q＝0的根. （1）求p＋q的值； 解： 关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共 轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得 p＝－4，q＝5，p＋q＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）若复数w＝a＋bi（a，b∈R）满足zw是实数，且a2＋b2 ＝20，求复数w. 解： 由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋ 2b）i∈R，得a＋2b＝0.又a2＋b2＝20， 解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2， 因此w＝4－2i或w＝－4＋2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 已知ω＝－ ＋ i（i为虚数单位）. （1）求（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2的值； 解： ∵ω＝－ ＋ i， ∴ω2＝－ － i＝ ，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0， ∴（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2＝ω2＋4ω3＋4ω4＋4ω2＋4ω3＋ ω4＝5ω2（ω2＋ω＋1）＋3ω3＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求ω2＋ 的值； 解： 由（1）知ω2＋ω＝－1，∴ω2＋ ＝ ＝ ＝ω2＋ω＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）类比i（i2＝－1），探讨ω（ω为虚数）的性质，求ωn （n∈Z）的值. 解： 由（1）可知ω2＝－ － i＝ ，ω3＝1， ∴ωn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $