专题03整式的乘除（期中真题汇编，浙江专用）七年级数学下学期新教材浙教版

专题03 整式的乘除 6大高频考点概览 考点01同底数幂的乘法 考点02整式的乘法 考点03乘法公式 考点04同底数幂的除法 考点05整式的除法 考点06整式的混合运算 一、选择题地 城 考点01 同底数幂的乘法 1.（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 二、填空题 3.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则______． 4.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为______． 5.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：_____． 6.（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算：_________ 7.（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 8.（23-24七年级下·浙江金华·期中）计算：______． 三、解答题 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 地 城 考点02 整式的乘法 一、选择题 1.（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）若，，则M与N的大小关系为（    ）． A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定 3.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 4.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）计算：______． 5.（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简： ________． 6.（21-22七年级下·浙江温州·期中）若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 7.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是______． 8.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 三、解答题 10.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 11.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 12.（25-26七年级上·浙江·期中）计算：如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，求的值． 13.（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 14.（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求，的值； (2)请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 15.（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 一、选择题地 城 考点03 乘法公式 1.（21-22七年级下·浙江金华·期中）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2.（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3.（20-21七年级下·浙江衢州·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A． B．或8 C． D．4或 6.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若是完全平方式，则的值为______． 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果多项式是个完全平方式，则________． 9.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值是__________． 10.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为5，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为30，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积__________． 11.（21-22七年级下·浙江温州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 三、解答题 12.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 13.（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 一、选择题地 城 考点04 同底数幂的除法 1.（21-22七年级下·浙江温州·期中）我国载人航天工程空间站在轨建造任务稳步推进，神舟十三号乘组计划将于月返回，载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度为米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2.（20-21七年级下·浙江衢州·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5.（21-22七年级下·浙江温州·期中）某种新型冠状病毒的直径为0.000000823米，用科学记数法表示为的形式，则___________． 6.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：______． 7.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：____ 8.（20-21七年级下·浙江衢州·期中）已知，，则________． 三、解答题 9.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算： 地 城 考点05 整式的除法 一、填空题 1.（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：_________． 2.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若，则__________． 3.（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： ______． 4.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为______． 5.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知长方形的面积为，其中一边长为，则这个长方形的另一边的长是_______． 6.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为______． 7.（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知，则代数式________． 二、解答题 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 9.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2) 11.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）某同学计算的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)上面的运算过程中从第几步开始出现了错误； (2)请你写出正确的解答过程． 12.（21-22七年级下·浙江温州·期中）计算及化简： (1)计算：． (2)化简： 一、选择题地 城 考点06 整式的混合运算 1.（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 2.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3.（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则： （1）裁去的每个小长方形面积为______cm2．（用的代数式表示） （2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为______． 三、解答题 4.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 5.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) ； (2)． 6.（24-25七年级下·浙江衢州·期中）先化简，再求值．，其中，． 7.（23-24七年级下·浙江·期中）先化简，再求值：，其中，． 8.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中，． 9.（23-24七年级下·浙江温州·期中）一个长方体模型的长、宽、高分别为，，．某种油漆每千克可漆面积为，问漆这个模型需要多少千克油漆？ 10.（23-24七年级下·浙江金华·期中）（1）先化简，再求值． ，其中，满足． （2）已知关于、的方程组，当取不同值时，的值始终不变．请说明理由． 11.（22-23七年级下·浙江金华·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 12.（22-23七年级下·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求的值； 13.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 14.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简： ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值： 15.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点，以、为一边，在同侧作长方形和长方形，且满足，，记， (1)记长方形的面积为，长方形的面积为，若，，求． (2)如图，点是线段上的动点， ①当点从点向左移个单位后，求与的面积之差（结果用含的代数式表示）． ②当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为．当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为，求的值（结果用含的代数式表示）． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘除 6大高频考点概览 考点01同底数幂的乘法 考点02整式的乘法 考点03乘法公式 考点04同底数幂的除法 考点05整式的除法 考点06整式的混合运算 一、选择题地 城 考点01 同底数幂的乘法 1.（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方法则，即 ． 根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2.（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 二、填空题 3.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则______． 【答案】 【详解】解：． 4.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为______． 【答案】 20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法法则，逆用法则对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可 【详解】解：∵ ∴，代入得：原式． 5.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方的法则计算即可． 【详解】解∶ ． 6.（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算：_________ 【答案】 【分析】本题考查了有理数积的乘方的逆用，利用积的乘方法则，将原式转化为进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 7.（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：． 8.（23-24七年级下·浙江金华·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘法则即可求解，掌握同底数幂相乘法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查幂的相关运算，涉及同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方，解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将化简得，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点02 整式的乘法 一、选择题 1.（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及单项式与单项式的乘法等知识． 根据运算规则逐项判断即可． 【详解】A．与指数不同，不是同类项，不能合并，故 A错误； B．，故 B错误； C．，故 C错误； D．，故D正确． 故选D． 2.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）若，，则M与N的大小关系为（    ）． A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定 【答案】A 【分析】先根据多项式乘法法则展开M和N，再计算，根据差的正负判断大小关系． 【详解】解： ， ∴． 3.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式把展开，再合并同类项，让和项的系数为0即可． 【详解】解：原式, ∵乘积中不含和项， ∴， 解得． 故选：A． 二、填空题 4.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）计算：______． 【答案】 【分析】先算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式法则计算即可求解． 【详解】解： ． 5.（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简： ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的计算，掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6.（21-22七年级下·浙江温州·期中）若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 【答案】3 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ∴， 解得． 7.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是______． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，设，则，数形结合，分别表示出，进而代入，再利用整式混合运算法则化简即可得到答案．数形结合分别表示出，并灵活运用整式混合运算化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故答案为：． 8.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】5 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 10.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法，进行计算即可求解． （2）根据单项式乘以多项式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 11.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 12.（25-26七年级上·浙江·期中）计算：如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式的应用，根据已知条件列出代数式是解题的关键． （1）利用长方形面积减去大三角形的面积减去小三角形的面积，据此列出面积的代数式即可 （2）将代入（1）中的阴影部分的面积的代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知：阴影部分的面积为： 答：阴影部分的面积； （2）解：将代入得： ， 答：的值为． 13.（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 【答案】(1) (2)348 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据模板的面积列式求解即可． （2）将整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时， 原式 ． 14.（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求，的值； (2)请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． （）根据题意得出，然后通过多项式乘以多项式运算法则得，再进行对比得，再解方程组即可． （）把代入，再通过多项式乘以多项式运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴，解得：； （2）解：由（）得：， ∴ ． 15.（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【答案】(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【分析】本题考查的是多项式乘法与图形，掌握多项式乘法法则和正确理解题意是解题关键， （1）先求出长方形面积，根据面积即可确定结论； （2）根据完全平方公式确定即可； （3）设这边的邻边长为，根据面积可得出，根据正整数解即可解决． 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 一、选择题地 城 考点03 乘法公式 1.（21-22七年级下·浙江金华·期中）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】形如：的式子叫做完全平方式，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 2.（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解答此题的关键． 根据平方差公式的特征对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B． ，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C．，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D．，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C． 3.（20-21七年级下·浙江衢州·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是通过等面积法寻找到等量关系；图1阴影部分面积为边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形的面积，图2中阴影部分的面积是两底为，，高为的梯形的面积，根据两图形阴影面积相等即可得解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， ， 故选：． 4.（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各图形面积间的关系，用含，的代数式表示出，，是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据各图形的放置方式，可用含，的代数式表示出，，，结合，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ，，． ， ， ， ∴ ． 故选：B． 5.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A． B．或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构，将多项式与标准形式对比，确定中间项的系数关系，进而求解参数k的值． 【详解】解：∵多项式是完全平方公式的展开式． ∴， ∴时，解得． 时，解得． 则k的值为或8， 故选：B． 6.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 二、填空题 7.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若是完全平方式，则的值为______． 【答案】或 【分析】利用完全平方式的结构特征，得到关于的一元一次方程，求解即可确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式， 根据完全平方公式的结构特征，一次项系数的绝对值应等于二次项系数与常数项系数的算术平方根乘积的倍，即， ∴可得， 整理得， 当时，解得， 当时，解得． 综上，的值为或． 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果多项式是个完全平方式，则________． 【答案】3或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，或． 9.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值是__________． 【答案】32 【分析】通过换元法将所求代数式转化为含已知代数式的形式，利用完全平方公式展开化简，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：设，则． 由题意可得，． ∴ ． 10.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为5，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为30，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积__________． 【答案】65 【分析】由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A纸片的边长为a，B纸片的边长为b，则A纸片的面积为，B纸片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ． 11.（21-22七年级下·浙江温州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 【答案】 【分析】根据，将，，代入进行计算即可；根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，， 若，， 则； 由图可得， 若时， ． 三、解答题 12.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 【答案】(1)是 (2)10 (3) 【分析】本题考查完全平方公式； （1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到 ，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算，即可比较大小． 【详解】（1）解： ∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）解： ， ∵多项式是双平方多项式， ∴， 解得． （3）解： ∵，， ∴，即， ∴． 13.（24-25七年级下·浙江温州·期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法，完全平方公式，平方差公式等知识，按照整式乘法的相关运算法则和公式求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号； 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是． 正确的解答过程：原式． 一、选择题地 城 考点04 同底数幂的除法 1.（21-22七年级下·浙江温州·期中）我国载人航天工程空间站在轨建造任务稳步推进，神舟十三号乘组计划将于月返回，载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度为米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于的数，绝对值小于的非零数可以记作的形式，其中，是正整数，且等于将原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：． 2.（20-21七年级下·浙江衢州·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，若表示形式为的形式，其中，为整数，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；若表现形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，根据科学记数法的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：、错误，故本选项符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 故选：． 3.（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：． 4.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法、乘法及积的乘方计算解答即可． 本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法、乘法及积的乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意；     C. ，正确，符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 5.（21-22七年级下·浙江温州·期中）某种新型冠状病毒的直径为0.000000823米，用科学记数法表示为的形式，则___________． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，将原数改写为（，为整数）的形式． 【详解】解：，对比可得． 6.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 7.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：____ 【答案】 【分析】根据负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则分别计算两项，再进行有理数加法运算即可． 【详解】解：． 8.（20-21七年级下·浙江衢州·期中）已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握相关的运算法则并灵活运用是解答的关键．根据同底数幂的除法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 三、解答题 9.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算： 【答案】 【分析】先计算绝对值和乘方，再把除法运算转化为乘法运算，最后算加减即可求解． 【详解】解：原式 ． 地 城 考点05 整式的除法 一、填空题 1.（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂除法，掌握法则并熟练应用是解题关键．根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3.（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握运算法则； 根据多项式除以单项式法则进行计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用面积除以一边长求得另一边长，即可解答． 【详解】解：长方形的另一边长为：， 故答案为：． 5.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知长方形的面积为，其中一边长为，则这个长方形的另一边的长是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法．根据计算即可求解． 【详解】解：一个长方形的面积为，一边长为a， 它的另一边长为：， 故答案为：． 6.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意可得：被除式，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：被除式， 故答案为：． 7.（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知，则代数式________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式以及代数式求值，根据多项式除以单项式的计算法则可把所求式子变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 二、解答题 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式除以单项式法则求解即可； （2）首先计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，单项式的乘除． （1）先算乘法、负整数指数幂、零指数幂，再算加减法； （2）先计算积的乘方，再根据单项式的乘除运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方计算，单项式与单项式的乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）某同学计算的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)上面的运算过程中从第几步开始出现了错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)解答过程见解析 【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以单项式、单项式除以单项式、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算及合并同类项，熟练掌握整式加减乘除（合并同类项-是整式加减运算，单项式乘以单项式-是整式乘法运算，单项式除以单项式-是整式除法运算）等混合运算法则是解决问题的关键． （1）根据幂的乘方运算判断即可得到结论； （2）先计算单项式乘以单项式、幂的乘方、单项式除以单项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：∵计算时出现错误， ∴上面的运算过程中从第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）解：正确计算过程： ． 12.（21-22七年级下·浙江温州·期中）计算及化简： (1)计算：． (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂、最后算加减即可； （2）先算括号内的乘法、合并同类项，最后算整式除法即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 一、选择题地 城 考点06 整式的混合运算 1.（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用； 设，，可得，，，，然后分别求出和，结合已知列式，求出，进而计算即可． 【详解】解：设，，则，， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴长方形的周长为：， 故选：C． 2.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、 ，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 二、填空题 3.（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则： （1）裁去的每个小长方形面积为______cm2．（用的代数式表示） （2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为______． 【答案】 1或5 【分析】（1）求出小长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可得到答案； （2）先表示出长方体纸盒的底面积和表面积，再根据长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍得到，整理得，最后由为偶数，为正整数即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得， 小长方形的长为，宽为， 裁去的每个小长方形面积为：， 故答案为：； （2）长方体纸盒的底面积为：， 长方体纸盒的表面积为：， 长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍， （为偶数）， 整理得：， 为偶数，为正整数， ；或， 正整数的值为1或5， 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的乘除运算，长方体表面积的计算，解题的关键是学会利用参数解决问题． 三、解答题 4.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式进行化简，去括号，然后合并同类项，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 5.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的四则混合运算等： （1）先根据乘方、零次幂化简，然后再计算即可； （2）利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式与单项式乘除运算法则化简求出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6.（24-25七年级下·浙江衢州·期中）先化简，再求值．，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，掌握整式的运算法则是关键． 根据乘法公式，整式的混合运算法则计算，化简，再代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 7.（23-24七年级下·浙江·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式混合运算及化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先利用整式的混合运算法则进行化简，再将，，代入原式即可求解． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 8.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时， 原式． 9.（23-24七年级下·浙江温州·期中）一个长方体模型的长、宽、高分别为，，．某种油漆每千克可漆面积为，问漆这个模型需要多少千克油漆？ 【答案】千克 【分析】本题考查整式混合运算得实际应用，熟练掌握整式运算法则是解题的关键； 根据长方体的表面积公式求出表面积，再除以每千克可漆面积，即可解答． 【详解】这个长方体的表面积为： ； 漆好这个模型需要的油漆为： （千克）， 漆好这个模型需要千克油漆． 10.（23-24七年级下·浙江金华·期中）（1）先化简，再求值． ，其中，满足． （2）已知关于、的方程组，当取不同值时，的值始终不变．请说明理由． 【答案】（1），；（2）的值不变，，理由见解析 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，熟练掌握乘法公式、绝对值和平方的非负性是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式去中括号，再进行多项式除以单项式计算即可，根据绝对值和平方的非负性求出，，代入求值即可． （2）由得：，进而判断即可． 【详解】（1）原式 ∵    ∴，， ∴， ∴原式； （2）     由得： ∴的值不变． 11.（22-23七年级下·浙江金华·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据题意列出方程求解； （3）根据题意列出代数式并化简． 【详解】（1）解：由题中竖式得：， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：； （3）由题意得： ． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握新运算的意义是解题的关键． 12.（22-23七年级下·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求的值； 【答案】（1）；12 （2）12 （3） 【分析】（1）先算多项式除以单项式和平方差公式，再合并同类项，然后代入求值即可； （2）先化简代数式，然后将整体代入求值即可； （3）先将整理为两个完全平方的和，根据非负数的性质得出关于的方程组，求解方程组，然后把的值代入即可． 【详解】（1） ， 当时， 原式； （2） ， ∵， ∴， ∴原式； （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴且， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，还涉及完全平方公式，平方差公式，有理数的乘方运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)7 (2) 滨滨正确，江江正确，美美错误 【分析】本题考查了新定义运算的计算及运算律的验证，解题的关键是根据新运算的定义代入计算并推导运算律． （1）根据新运算定义，将、代入公式计算； （2）分别推导交换律、结合律、分配律的左右两边，比较是否相等以判断说法正误． 【详解】（1）解：由新运算， 当，时， 故答案为：． （2）解：∵ ，， ∴ ，滨滨的说法正确． ∵， ； ， ； ∴ ，江江的说法正确． ∵ ； ； ∵ ， ∴ 分配律不成立，美美的说法错误． 答：滨滨、江江的说法正确，美美的说法错误． 14.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简： ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查整式混合运算，分式化简求值， （1）①用多项式乘多项式法则计算即可； ②把变形成，再计算即可； （2）由，求出，再将变形成，代入计算即可； 解题的关键是掌握整式相关的运算法则和公式． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴，即， ∴ ， 即的值为． 15.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点，以、为一边，在同侧作长方形和长方形，且满足，，记， (1)记长方形的面积为，长方形的面积为，若，，求． (2)如图，点是线段上的动点， ①当点从点向左移个单位后，求与的面积之差（结果用含的代数式表示）． ②当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为．当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为，求的值（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①；②，，． 【分析】本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积、整式的混合运算等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）根据建立方程，求出，的值即可解决问题； （2）①用，表示，的长即可解决问题； ②分别求出，进而即可求得，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①由题意得：，， ∴； ②当点从点向左移动（）个单位后， 由题意得：，， ∴， 当点从点向左移动个单位后，，， ∴， ∴． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $