精品解析：重庆市南岸区2021-2022学年下学期九年级数学中考一轮复习综合练习题

重庆市南岸区2022年春九年级数学中考一轮复习综合练习题 一、选择题 1. 2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章数7100000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法可直接进行排除选项． 【详解】解：数7100000用科学记数法表示为； 故选C． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 2. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可． 【详解】A.，故A错误； B.，故B正确； C.，故C错误； D.，故D错误． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 4. 估算的运算结果应在（ ） A. 6与7之间 B. 7与8之间 C. 8与9之间 D. 9与10之间 【答案】C 【解析】 【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算． 【详解】解：∵4，而45， ∴原式运算的结果在8到9之间； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 5. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的位似比为1∶2，面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由ΔABC和ΔEDC为位似图形，位似比是1：2，即可得△ABC与ΔEDC为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵△ABC与△EDC为位似图形， ∴△ABC∽△EDC， ∵位似比是1：2， ∴相似比是1：2， ∴△ABC与△EDC的面积比为：1：4， ∵△ABC的面积为2， ∴△EDC的面积是：2×4=8． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用． 6. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ） A. 44° B. 88° C. 46° D. 92° 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线， ∴∠CAB＝90°， ∵∠C＝46°， ∴∠B＝90°﹣46°＝44°， 由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案． 【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得： 、、． 则． 故选B． 【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键． 8. 某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架 ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架， ∴ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架 ∴ 联立可得： 故选：D． 【点睛】本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，，且，，则OB的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算AC=4，根据平行四边形的性质，计算OC=2，再用勾股定理，计算OB=． 【详解】∵平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，，，， ∴BC=AD=3，，OA=OC=AC， ∴，CO=2， ∴OB=， 故选：A 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键． 10. 甲、乙两车从地出发，匀速驶向地，甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速沿原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙车的速度是 B. C. 点的坐标是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题． 【详解】解：A．由图可知：乙车行驶2小时后，乙追上甲，此时甲行驶的路程为80×（1＋2）=240km，所以乙车的速度为240÷2=，故本选项正确； B． 乙车行驶6小时后，甲乙两车相距m=120×6－80×（6＋1）=160千米，故本选项正确； C．点H表示乙车在B地停留1个小时后，即横坐标为6＋1=7，纵坐标为160－80×1=80 所以点的坐标是，故本选项正确； D．甲、乙相遇的时间n=7＋80÷（80＋120）=，故本选项错误． 故选D． 【点睛】此题考查的是根据函数图象，找出正确结论，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（ ） A. 15 B. 14 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a,相加即可. 【详解】 解不等式①，得x≤11 解不等式②，得x>a ∵不等式组至少有五个整数解 ∴a<7 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，a为整数 又∵为整数 ∴a可以取-1，3，5 ∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7 故选：D 【点睛】本题考查解不等式组求整数解、解分式方程、正确解不等式组是关键，利用不等式组的解集求参数是中考的常考题型. 12. 如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（　　） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a， 可得△DGN∽△DAM， ，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得△BOF∽△DNG，从而得到 ，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N， 设点 ，则AM=b，OM=a， ∴AM∥NG，AM∥y轴， ∴△DGN∽△DAM， ， ∴ ， ∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵点A、G在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠OBF=∠GDN，， ∵∠BOF=∠GND=90°， ∴△BOF∽△DNG， ∴ ，即， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题 13. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据对应运算法则分别计算两项，再求和即可． 【详解】解：． 14. 有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：列表得： （1，5） （2，5） （3，5）  （4，5） -  （1，4）  （2，4）  （3，4） -  （5，4）  （1，3）  （2，3） -  （4，3）  （5，3）  （1，2） -  （3，2）  （4，2）  （5，2） -  （2，1）  （3，1）  （4，1）  （5，1） ∴一共有20种情况，这两个球上的数字之和为偶数的8种情况， ∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是． 【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，矩形ABCD的边长，，以为直径，的中点为圆心画弧，交矩形于点D，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长度，即可求得半圆的面积，利用三角函数值可以求得∠BAC的度数，进而求得扇形的面积，从而求得阴影部分的面积. 【详解】解：∵ 矩形ABCD， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，，， ∴，， ∴， S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形， ∵AC是矩形ABCD的对角线， ∴S△ACD＝S△ABC， ∴S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形＝ S半圆－S扇形＝， 故填：. 【点睛】本题考查矩形的性质，特殊三角函数值，圆和扇形的面积公式，难度不大. 16. 某销售商十月份销售X、Y、C三种糖果的数量之比2∶1∶1，X、Y、C三种糖果的单价之比为1∶3∶4.十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度．预计三种糖果的营业额都会增加．其中X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为3∶8，为使十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2∶3，则十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三种糖果的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量和单价分别为2x、x、x；y、3y、4y，则10月份X、Y、C三种糖果的销售额比为2：3：4．因问题中涉及到X的10月销售数量，因此可以设11月份X增加的营业额为7x，则11月份总增加的营业额为15x；再根据X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8，建立等式，求出x．可以根据十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3算出十一月份C种糖果增加的营业额即可求解． 【详解】解：设10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量分别为2x、x、x；单价分别为y、3y、4y， ∴10月份X、Y、C三种糖果的销售额分别为2xy，3xy，4xy； ∵X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的， ∴设11月份X增加的营业额为，则11月份总增加的营业额为z； 又X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8， ∴（2xy +）：（9xy+z）=3：8，解得z=15xy， ∴十一月份X种糖果的营业额为9xy，三种糖果总营业额为24xy， ∴Y，C两种糖果的营业额之和为15xy， 若十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3， 则Y、C两种糖果的营业额分别为6xy，9xy； ∴C种糖果增加的营业额为9xy-4xy=5xy， ∴十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为5xy：24xy=5:24． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键． 三、解答题： 17. 计算：（1）（x﹣y）2＋x（x＋3y）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式以及整式的四则运算法则计算即可； （2）先将括号里通分，然后根据除以一个数等于乘以这个数的倒数求解即可． 【详解】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算，完全平方公式，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 18. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）基本作图，过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G即可； （2）根据角平分线性质得DE＝DF，根据HL可证Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE＝AF，再根据线段垂直平分线的性质即可得到AD垂直平分EF. 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， 而DE＝DF， ∴AD垂直平分EF， 即AD⊥EF 【点睛】本题主要考查作图-基本作图以及角平分线性质和线段垂直平分线的性质. 19. 如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：，，） （1）求点D到纪念馆AB的水平距离； （2）求纪念馆AB的高度约为多少米？ 【答案】（1）点到纪念馆的水平距离为10米； （2）纪念馆的高度约为11.3米． 【解析】 【分析】（1）延长交水平线于，过作于，延长交于．解直角三角形求出，即可解决问题； （2）在中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，延长交水平线于，过作于，延长交于， 则米，， 在中，，米， （米，（米， 米， （米， 答：点到纪念馆的水平距离为10米； 【小问2详解】 解：在中，， （米， （米， 答：纪念馆的高度约为11.3米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 20. “聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况，从七，八年级中各抽取20名同学作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．；B．；C．；D．，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息： 七年级取20名完成作业时间：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88． 八年级抽取20名同学中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75． 七、八年级抽取的同学完成作业时间统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 72 75 b 八年级 75 a 75 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，并补全统计图； （2）根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有900人，八年级有700人，估计七、八年级为时间管理优秀的共有多少人？ 【答案】（1）78，75；补全图形见解析 （2）七年级落实得更好些 （3）400人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，再计算出八年级B时段的人数即可补全统计图； （2）可以从平均数、中位数和众数角度去说明； （3）用总人数乘以两个年级时间管理优秀的所占比例即可． 【小问1详解】 七年级20名完成作业时间中最多的数据是78分钟，所以，七年级20名完成作业时间的众数是78分钟，即b=78; 八年级20名完成作业时间中A段有3人，C有8人，D段有5人， 所以，B段的人数为20-3-8-5=4（人） 中位数为第10、11个数据的平均数， 而A段与B段人数为3+4=7（人） 所以中位数为C段从小到大排列第3，4个数据的平均数，即（分钟） 所以，a=75 补全图形如下： 故答案为：78；75； 【小问2详解】 从平均数来看，七年级完成作业的平均时间比八年级的少，故可知七年级落实得更好些； 中位数相同，七年级完成作业的平均时间比八年级的少，故可知七年级落实得更好些 【小问3详解】 七年级20名完成作业时间优秀的人数为5人，八年级20名完成作业时间优秀的人数为5人， 所以，该校七年级完成作业时间优秀的人数为：（人）， 该校八年级完成作业时间优秀的人数为：（人）， 所以，该校两个年级完成作业时间优秀的人数共有：（人） 答：估计七、八年级为时间管理优秀的共有400人 【点睛】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本与总体的关系是关键． 21. 重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元． （1）求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？ （2）因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？ 【答案】（1）普通席280元，嘉宾席320元； （2）160元． 【解析】 【分析】（1）设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，根据题意可得方程，求解即可得到答案； （2）设普通席普通票增加张数为张，根据题意可得方程：，得到答案． 【小问1详解】 解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元， 依题意得：， 解之得：， ∴嘉宾席单张票价为元， 答：普通席280元，嘉宾席320元． 【小问2详解】 设普通席普通票增加张数为张， 则，依题意得：， 解之得：， ∴12月份普通席的票价是元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方的应用，找准数量关系，能根据各数量之间的关系，正确列出方程是解题得关键． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出点的坐标，把的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和的坐标即可得出答案； （3）过点作轴，交直线于，求出点的坐标，即可求得，然后根据，即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 反比例函数的解析式是， 代入反比例函数得：， 的坐标是， 把的坐标代入一次函数y＝k1x+b得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：从图象可知： ， 的的取值范围是当或； 【小问3详解】 解：过点作轴，交直线于， ， ，关于原点对称， ， 把代入得，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用． 23. 一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”． 例如：∵，6比7小1，，∴4819是“双十数”； 又如：∵，3比4小1，，∴1496不是“双十数”． （1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由； （2）自然数为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两位数记为q，例如：∵，∴，；又如：∵，∴，．若A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N． 【答案】（1）不是“双十数”, 是“双十数” （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义分解297，875进而判断即可； （2）根据定义设，则，进而根据A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，分类讨论求得即可求得 【小问1详解】 ，比小1，， 不是“双十数” ，比小1，， 是“双十数” 【小问2详解】 自然数为“双十数”， 设 则 又A与B的十位数字之和能被5整除， 则是整数， 或 或 或， 能被比B的个位数字大10的数整除， ，为正整数； 即，又 又 或，为正整数； 即 或 解得或 或 综上所述 【点睛】本题考查了一元一次不等式组，二元一次方程组，整除，理解题意是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）交y轴于点C，且OC＝3． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标； （3）把抛物线y＝ax2＋bx＋c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P,R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来． 【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积最大，最大面积为： 此时；（3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意设再把代入抛物线的解析式，可得答案； （2）如图，连接 设 由，再利用二次函数的性质求解最大值，再求解点P的坐标即可； （3）如图，平移后的抛物线的顶点抛物线为：，对称轴为 再通过分析分两种情况讨论：当AC为平行四边形的边，当AC为对角线时，结合中点坐标公式可得答案. 【详解】解：（1） 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， 设抛物线为： 则 解得： 所以抛物线的解析式为： （2）如图，连接 设 当时，四边形的面积最大， 最大面积为： 此时 （3）如图，由题意得：平移后的抛物线的顶点 抛物线为：，对称轴为 点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边， 设 由平行四边形的对角线互相平分结合中点公式可得： 解得： 同理可得： 当为对角线时， 同理可得： 解得： 综上：或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，熟练的运用以上知识解题是解本题的关键. 25. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，tan∠DCB＝．求DM的长； （2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G．猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论． （3）如图3，若AB＝4，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由tan∠DCB＝，设BD=a，则CD=3a，从而可求得BC、AC、AM；易得△BDM∽△CAM，由相似三角形的性质可求得CM、DM的长，由DM+CM=CD建立方程，即可求得a的值，进而求得DM的长； （2）过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，则易证明△AFB△≌△AHC，过C作CM⊥CE交EH于点M，易证△CEG≌△CMH，从而可得三线段间的关系； （3）取BC的中点G，连接GM，则可得GM∥BD，从而GM⊥CM；把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ，则△EBF≌△MBC，进而可证得△BEQ≌△BMG，则可得EQ=GM，EQ⊥EF，取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动；过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大，从而可求得最大面积． 【详解】（1）如图1 ∵BD⊥CD ∴ ∴设BD=a，则CD=3a 由勾股定理得： ∵∠BAC=90゜，AB=AC ∴由勾股定理得 ∴ ∴ ∵∠BDM=∠BAC，∠DMB=∠AMC ∴△BDM∽△CAM ∴即 ∴， 由CM+DM=CD得： 解得： ∴ （2）；理由如下： 过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，如图2 ∵AD⊥AE，∠BAC=90゜ ∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠HAC ∴∠FAB=∠HAC 在△AFB和△AHC中 ∴△AFB≌△AHC(SAS) ∴AF=AH，∠F=∠H，∠ABF=∠ACH ∵∠ABC=∠ACB=45゜ ∴∠ABF=∠ACH=135゜，∠ACE+∠ECG=45゜ 过C作CM⊥CE交EH于点M ∴∠ECM=90゜ ∴∠ACE+∠MCH=∠ACH-∠ECM=45゜ ∴∠ECG=∠MCH ∵AD⊥AE，GE⊥AE ∴GE∥AD ∴∠EGC=∠F ∴∠EGC=∠H ∵AD⊥AE，AD=AE ∴∠CEM=∠AED=45゜ ∴∠CME=∠CEM=45゜ ∴CE=CM 在△CEG与△CMH中 ∴△CEG≌△CMH(AAS) ∴EG=MH ∴EH=EM+MH=EM+EG 在Rt△EMC中，CE=CM，由勾股定理得： ∴ 即 （3））如图3，取BC的中点G，连接GM ∵M点为CD的中点 ∴GM∥BD ∵BD⊥CD ∴ GM⊥CM ∴∠GMC=90゜ 把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ 由旋转的性质知：BE=BM，BF=BC，∠EBM=∠FBC=90゜ ∴∠EBF=∠MBC ∴△EBF≌△MBC(SAS) ∴∠BEF=∠BMC ∵BF=BC ∴BQ=BG ∴△BEQ≌△BMG(SAS) ∴EQ=GM，∠BEQ=∠BMG ∴∠BEF−∠BEQ=∠BMC−∠BMG 即∠QEF=∠GMC=90゜ 取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动 过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大 在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理得 ∴BF=BC=8 ∵Q、O分别是BF、QF的中点 ∴BQ=QF=4，OQ=2 ∴BO=6 ∵∠FBC=90゜，∠ABC=45゜ ∴∠OBP=∠POB=45゜ ∴OP=BP 由勾股定理得 ∴EN的最大值为 ∴△AEB的最大面积为： 【点睛】本题是全等与相似的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，最大值问题，圆的知识，涉及的知识点多，要作的辅助线多．难点与关键是构造辅助线得到全等三角形，同时（3）中得到点E的运动路径是难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南岸区2022年春九年级数学中考一轮复习综合练习题 一、选择题 1. 2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章数7100000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估算的运算结果应在（ ） A. 6与7之间 B. 7与8之间 C. 8与9之间 D. 9与10之间 5. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的位似比为1∶2，面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 32 6. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ） A. 44° B. 88° C. 46° D. 92° 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，，且，，则OB的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 甲、乙两车从地出发，匀速驶向地，甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速沿原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙车的速度是 B. C. 点的坐标是 D. 11. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（ ） A. 15 B. 14 C. 8 D. 7 12. 如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（　　） A. B. 3 C. D. 5 二、填空题 13. _____． 14. 有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________． 15. 如图，矩形ABCD的边长，，以为直径，的中点为圆心画弧，交矩形于点D，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 16. 某销售商十月份销售X、Y、C三种糖果的数量之比2∶1∶1，X、Y、C三种糖果的单价之比为1∶3∶4.十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度．预计三种糖果的营业额都会增加．其中X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为3∶8，为使十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2∶3，则十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为____． 三、解答题： 17. 计算：（1）（x﹣y）2＋x（x＋3y）； （2）． 18. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF． 19. 如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：，，） （1）求点D到纪念馆AB的水平距离； （2）求纪念馆AB的高度约为多少米？ 20. “聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况，从七，八年级中各抽取20名同学作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．；B．；C．；D．，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息： 七年级取20名完成作业时间：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88． 八年级抽取20名同学中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75． 七、八年级抽取的同学完成作业时间统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 72 75 b 八年级 75 a 75 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，并补全统计图； （2）根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有900人，八年级有700人，估计七、八年级为时间管理优秀的共有多少人？ 21. 重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元． （1）求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？ （2）因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积． 23. 一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”． 例如：∵，6比7小1，，∴4819是“双十数”； 又如：∵，3比4小1，，∴1496不是“双十数”． （1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由； （2）自然数为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两位数记为q，例如：∵，∴，；又如：∵，∴，．若A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）交y轴于点C，且OC＝3． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标； （3）把抛物线y＝ax2＋bx＋c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P,R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来． 25. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，tan∠DCB＝．求DM的长； （2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G．猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论． （3）如图3，若AB＝4，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $