第5章 轴对称与旋转（知识清单）数学新教材湘教版七年级下册

第五章 轴对称与旋转 1.轴对称概念：将图形Ⅰ沿着一条直线 折叠 ，得到另一个图形Ⅱ，把图形的这种变换称为关于这条直线的轴对称，此时称这两个图形关于这条直线 对称 . 也称图形Ⅰ与图形Ⅱ成 轴对称 ，这条直线叫作 对称轴 . 原来的图形Ⅰ叫作 原像 ，得到的图形Ⅱ叫作原图形在这个轴对称下的 像 . 原像的一个点P在轴对称下变成像里的一个点P´，称点P与点P´关于这条直线 对称 ，称点P´是点P关于这条直线的 对称点 ，也称点P´是点P在这个轴对称下的 对应点 . 2.轴对称图形概念：如果一个图形上的每一个点关于某条直线的 对称点 都在这个图形上，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴. 3.轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 垂直平分 ；对应线段 相等 、对应角 相等 ；对应图形 全等 . 轴对称保持任意两点间距离 不变 ，保持角的大小 不变 . 4.轴对称作图步骤：①确定 对称轴 ；②找 关键点 ；③作关键点关于对称轴的 对称点 ；④连接 对称点得到对称图形. 5.旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个 定点 按 某个方向 转动一定的 角度 ，这样的图形运动叫作旋转，定点叫 旋转中心 ，转动的角度叫 旋转角 . 图形既可 逆时针 旋转，也可 顺时针 旋转. 6.作绕点逆时针旋转角得到，作图步骤：①确定原图形的 关键点 ；② 连接 关键点与旋转中心，作 旋转角 ；③截取对应点，保证旋转前后线段长度 相等 ；④ 顺次 连接对应点，得到旋转后的图形. 7.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离 相等 ，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角 相等 . 旋转保存任意两点间距离 不变 ，保持角的大小 不变 . 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角 ；旋转前后图形 全等 . 8.旋转对称图形：一个图形绕着某一定点旋转一定角度（小于 360° ）后能与自身 重合 ，这个图形叫旋转对称图形. 9.图形的变换：轴对称、旋转（含中心对称）都是 全等 变换，常与平移结合构成复杂图形变换. 一、轴对称相关 1.混淆“轴对称图形”与“两个图形关于直线对称” 错误：误认为两者是同一概念，前者是单个图形自身对称，后者是两个图形间的对称关系. 例如：等腰三角形是轴对称图形，而非“两个等腰三角形关于某直线对称”. 例题1 下列四个图标中，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 例题2 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 2.画轴对称图形错误 错误：要画垂直虚线 + 等距，连线要标准. 注意：不要直接凭感觉描点、不垂直、距离不等. 例题1 如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，已知与关于直线l对称．请在图中画出（点A，B，C的对称点分别为点，，）． 【答案】画图见详解 【分析】本题主要考查轴对称的定义，画出轴对称图形是解题的关键． 首先找到点A，B，C关于直线l的对称点，，，再依次连接点，，即可得到． 【详解】解：如图所示，即为所求． 例题2 如图，请你以直线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形；利用轴对称的性质，先描出关键点的对应点，再顺次连接即可得到所求图形． 【详解】解：如图所示，即为所求， 二、旋转相关 1.旋转三要素遗漏或错误 错误：忽略旋转中心、旋转方向、旋转角中的任一要素，导致旋转作图错误. 例如：仅说“将图形旋转30°”，未指明旋转中心和方向，无法确定旋转后的图形位置. 例题1 新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 例题2 如图所示，在由小正方形组成的方格纸上，将绕点逆时针旋转，画出旋转后的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画旋转图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 将绕点逆时针旋转，只需画出三个顶点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解∶如图所示，即为所求． 三、图形变换综合 1.全等变换的性质滥用 错误：误认为全等变换也会改变图形的大小，找错对应线段、对应角等. 注意：轴对称的性质：对应线段相等、对应角相等；旋转的性质：所有对应点到旋转中心的距离相等任意一组对应点与旋转中心连线的夹角 = 旋转角. 例题1 如图，把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，，则的长为(   ) A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据，即可求解． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到， ，， ． 例题2 将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，关键是掌握旋转前后对应角相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角的性质． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转后得到， ，且， ． 故选：D． 2.作图时未规范步骤 错误：旋转作图未先找关键点的对应点，或轴对称作图未验证对称点到对称轴的距离相等. 例如：旋转图形时直接画整体图形，导致对应点位置偏差，图形不全等. 例题1 在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再连接即可； （2）首先确定A、B、C三点关于原点的对称点位置，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，． 例题2 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了画轴对称图形，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质画出点的对应点分别为，即可画出 （2）根据旋转的性质找出每个顶点绕点逆时针旋转后得到的对应点，再连线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：即为所求． 重难点01 轴对称的判定 （1）轴对称图形判定：找是否存在一条直线，使图形沿直线折叠后两旁部分完全重合，可通过“找对称轴、验证重合”两步判断. 【典例1】（2026·山西·一模）省级行政单位的简称简洁且具有辨识度，是地域文化的代表，承载着地区悠久的历史，更能增强归属感．下面是四个省级行政单位的汉字简称，其中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A可以沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，符合题意；而选项B、C、D不符合题意． 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，该图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形， 故D选项不符合题意； 重难点02 轴对称与旋转的作图及应用 （1）作图核心：先确定关键点（顶点、端点等），再根据性质作对应点，最后连接对应点； （2）实际应用：利用轴对称解决最短路径问题（如“将军饮马”），利用旋转构解决线段和差、角度计算问题. 【典例1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，以及轴对称图形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）先找到点B关于y轴的对称点，再连接，则与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求， （2）解：如图2所示，作点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点D即为所求． 【典例2】（2025·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出、的对应点即可画出旋转后对应的；再利用平移的性质作出、、的对应点即可画出平移后对应的； （2）连接、，和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 对应点连线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：连接、，和的交点即为旋转中心，坐标为． 重难点03 旋转角与对应边的关系 （1）确定旋转角：对应点与旋转中心所连线段的夹角即为旋转角，可通过计算对应边的夹角验证； （2）利用旋转角求角度：结合旋转的性质，通过旋转角与已知角的关系，计算未知角的度数. 【典例1】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转可知，，，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 由旋转可知，，， ∴， 故选：B． 【典例2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，即可解答． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴． 故选B． 重难点04 图形变换的综合运用 （1）识别复杂图形的变换组成：判断图形是由平移、轴对称、旋转中的一种或多种组合而成； （2）利用变换性质证明：通过全等变换的性质（对应边、对应角相等）证明线段相等、角度相等. 【典例1】（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， ∴经过①③的变换即可， 故选：A ． 【典例2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】(1)轴对称或旋转，旋转； (2)①③④． 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）梯形V可以看成由梯形绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解∶如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次轴对称得到；也可以看成由梯形Ⅰ经过一次旋转得到，旋转中心是两个梯形公共的顶点，旋转了，梯形Ⅲ可以看成中梯形Ⅰ经过一次旋转得到； 故答案为∶轴对称或旋转，旋转； （2）解：梯形V可以看成由梯形Ⅳ绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到或先绕点B逆时针旋转再作关于直线a对称的图形得到． 故答案为∶ ①③④ 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 轴对称与旋转 1.轴对称概念：将图形Ⅰ沿着一条直线 ，得到另一个图形Ⅱ，把图形的这种变换称为关于这条直线的轴对称，此时称这两个图形关于这条直线 . 也称图形Ⅰ与图形Ⅱ成 ，这条直线叫作 . 原来的图形Ⅰ叫作 ，得到的图形Ⅱ叫作原图形在这个轴对称下的 . 原像的一个点P在轴对称下变成像里的一个点P´，称点P与点P´关于这条直线 ，称点P´是点P关于这条直线的 ，也称点P´是点P在这个轴对称下的 . 2.轴对称图形概念：如果一个图形上的每一个点关于某条直线的 都在这个图形上，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴. 3.轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 ；对应线段 、对应角 ；对应图形 . 轴对称保持任意两点间距离 ，保持角的大小 . 4.轴对称作图步骤：①确定 ；②找 ；③作关键点关于对称轴的 ；④连接 得到对称图形. 5.旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个 按 转动一定的 ，这样的图形运动叫作旋转，定点叫 ，转动的角度叫 . 图形既可 旋转，也可 旋转. 6.作绕点逆时针旋转角得到，作图步骤：①确定原图形的 ；② 关键点与旋转中心，作 ；③截取对应点，保证旋转前后线段长度 ；④ 连接对应点，得到旋转后的图形. 7.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离 ，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角 . 旋转保存任意两点间距离 ，保持角的大小 . 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；旋转前后图形 . 8.旋转对称图形：一个图形绕着某一定点旋转一定角度（小于 ）后能与自身 ，这个图形叫旋转对称图形. 9.图形的变换：轴对称、旋转（含中心对称）都是 变换，常与平移结合构成复杂图形变换. 一、轴对称相关 1.混淆“轴对称图形”与“两个图形关于直线对称” 错误：误认为两者是同一概念，前者是单个图形自身对称，后者是两个图形间的对称关系. 例如：等腰三角形是轴对称图形，而非“两个等腰三角形关于某直线对称”. 例题1 下列四个图标中，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 例题2 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2.画轴对称图形错误 错误：要画垂直虚线 + 等距，连线要标准. 注意：不要直接凭感觉描点、不垂直、距离不等. 例题1 如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，已知与关于直线l对称．请在图中画出（点A，B，C的对称点分别为点，，）． 例题2 如图，请你以直线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 二、旋转相关 1.旋转三要素遗漏或错误 错误：忽略旋转中心、旋转方向、旋转角中的任一要素，导致旋转作图错误. 例如：仅说“将图形旋转30°”，未指明旋转中心和方向，无法确定旋转后的图形位置. 例题1 新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 例题2 如图所示，在由小正方形组成的方格纸上，将绕点逆时针旋转，画出旋转后的． 三、图形变换综合 1.全等变换的性质滥用 错误：误认为全等变换也会改变图形的大小，找错对应线段、对应角等. 注意：轴对称的性质：对应线段相等、对应角相等；旋转的性质：所有对应点到旋转中心的距离相等任意一组对应点与旋转中心连线的夹角 = 旋转角. 例题1 如图，把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，，则的长为(   ) A．8 B．10 C．12 D．16 例题2 将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2.作图时未规范步骤 错误：旋转作图未先找关键点的对应点，或轴对称作图未验证对称点到对称轴的距离相等. 例如：旋转图形时直接画整体图形，导致对应点位置偏差，图形不全等. 例题1 在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 例题2 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． 重难点01 轴对称的判定 （1）轴对称图形判定：找是否存在一条直线，使图形沿直线折叠后两旁部分完全重合，可通过“找对称轴、验证重合”两步判断. 【典例1】（2026·山西·一模）省级行政单位的简称简洁且具有辨识度，是地域文化的代表，承载着地区悠久的历史，更能增强归属感．下面是四个省级行政单位的汉字简称，其中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 重难点02 轴对称与旋转的作图及应用 （1）作图核心：先确定关键点（顶点、端点等），再根据性质作对应点，最后连接对应点； （2）实际应用：利用轴对称解决最短路径问题（如“将军饮马”），利用旋转构解决线段和差、角度计算问题. 【典例1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 【典例2】（2025·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 重难点03 旋转角与对应边的关系 （1）确定旋转角：对应点与旋转中心所连线段的夹角即为旋转角，可通过计算对应边的夹角验证； （2）利用旋转角求角度：结合旋转的性质，通过旋转角与已知角的关系，计算未知角的度数. 【典例1】（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 重难点04 图形变换的综合运用 （1）识别复杂图形的变换组成：判断图形是由平移、轴对称、旋转中的一种或多种组合而成； （2）利用变换性质证明：通过全等变换的性质（对应边、对应角相等）证明线段相等、角度相等. 【典例1】（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【典例2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $