第4章 数据分析（复习讲义）数学新教材湘教版八年级下册

第四章 数据分析（复习讲义） （一）基础目标 1.能复述数据收集与整理的基本流程，会进行简单的数据收集，能将收集的数据整理成简单的统计表、条形统计图、扇形统计图。 2.能复述算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义，会直接计算一组简单数据的算术平均数、加权平均数、中位数、众数，明确它们各自的适用场景。 （二）进阶目标 1.理解并应用加权平均数的“权”的意义，会根据实际情境确定“权”，并准确计算加权平均数，能结合情境解释加权平均数的实际意义。 2.会推导方差的计算公式，理解方差的意义，会计算一组简单数据的方差，能根据方差的大小判断数据的波动程度。 3.会绘制简单的频数直方图，能结合统计表、统计图进行简单的数据分析，得出初步结论。 （三）拓展目标 1.理解并应用方差的性质，能结合方差性质解决复杂数据的波动问题，能根据数据波动情况提出合理建议。 2.会设计简单的抽样调查方案，能辨析简单随机抽样的特点，能判断抽样调查的合理性。 3.能结合多个统计量综合分析数据，能结合实际情境进行全面的数据分析，作出合理的判断、预测和决策。 4.能解决与数据与分析相关的综合应用题，能规范书写数据分析的过程和结论。 知识点 重点归纳 常见易错点 数据的集中趋势 ① 算术平均数：； ② 加权平均数：（ 为权重）； ③ 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，取中间位置的数；若为偶数，取中间两个数的平均数。 ④ 众数：一组数据中出现次数最多的数据（可以有多个或没有）。 ① 计算加权平均数时，混淆权重与数据本身，或忘记除以权重总和； ② 求中位数前未先排序，直接取中间位置的数； ③ 误认为众数只能有1个，或忽略“无众数”的情况； ④ 极端值影响平均数时，误将平均数当作数据的代表值。 数据的波动程度 ① 极差：最大值与最小值的差（），反映数据的波动范围； ② 方差：，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定； ③ 标准差：方差的算术平方根（），与原数据单位一致，同样反映波动程度； ④ 离差平方和： 。 ① 计算方差时，忘记除以数据个数 ，或误将 直接相加； ② 混淆方差与标准差的意义，认为标准差越大数据越稳定； ③ 忽略极差易受极端值影响的局限性； ④ 比较两组数据波动时，未先确保平均数相近，直接比较方差。 用样本估计总体 ① 抽样调查：从总体中抽取部分个体（样本）进行调查，用样本特征估计总体特征。 ② 简单随机抽样：总体中每个个体被抽到的机会均等。 ③ 样本的平均数、方差、中位数等可以用来估计总体的对应统计量。 ① 抽样时样本不具有代表性或广泛性，导致估计结果偏差； ② 混淆总体与样本的概念，将样本统计量直接当作总体参数； ③ 样本容量过小，导致估计结果不稳定； ④ 误认为抽样调查结果一定准确，忽略抽样误差。 频数与频率 ① 频数：某个数据（或组）出现的次数； ② 频率：频数与数据总数的比值（），所有组的频率之和为1； ③ 频数分布表、频数分布直方图：直观展示数据的分布情况。 ① 计算频率时，误将频数当作频率； ② 绘制直方图时，组距划分不当或漏算频数； ③ 忽略“频率之和为1”的性质，导致计算错误； ④ 误读直方图，将矩形高度当作频率而非频数/频率密度。 统计图表的应用 ① 常见统计图表：条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等； ② 图表选择：条形图：比较不同类别数据的大小；折线图：展示数据的变化趋势；扇形图：表示各部分占总体的比例；直方图：展示连续数据的分布情况。 ① 混淆不同图表的适用场景，用错图表类型； ② 读取扇形图时，误将角度当作百分比，或计算比例时出错； ③ 折线图中忽略横轴单位，错误判断变化幅度； ④ 从图表中提取信息时，遗漏关键数据或过度解读图表外的信息。 题型一 平均数 【例1】一组数据8、9、9、12、12的平均数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．7 【变式1-1】小雪在练习“一分钟仰卧起坐”时，前4组的成绩（单位：个）分别为42，48，52，48，再做1组后，若这5组成绩的平均数与众数相等，则小雪第5组成绩是每分钟（   ） A．40个 B．44个 C．48个 D．50个 【变式1-2】如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的平均成绩(单位：环)约为（    ） A． B． C． D． 【例2】小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分．这一次是第（ ）次考试． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-1】已知五个数据：，，，，的平均数是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】小明期末语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分 【例3】若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 【变式3-1】某班共有50名学生，平均身高为，其中30名男生的平均身高为，则20名女生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【例4】数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【变式4-1】小明班里的同学平均身高米，小乐班里同学平均身高米，小明和小乐相比，（    ）． A．小明高 B．小明矮 C．一样高 D．无法确定 【变式4-2】重庆、武汉等长江沿岸城市在夏季常常如火炉般闷热，特别是7月下旬和8月上中旬，副热带高压会使这些地区闷热难耐．下表是武汉和重庆在2024年8月1日至8月7日每天的最高温度，请根据表中数据判断这七天更热的城市是_______． 8月1日 8月2日 8月3日 8月4日 8月5日 8月6日 8月7日 武汉 重庆 题型二 加权平均数 【例1】为了解某地居民用电情况，抽查了部分居民一个月内的用电量，其中有3户用电55kW·h，有5户用电58kW·h，有7户用电70kW·h，则平均每户用电（    ） A．63kW·h B．61kW·h C．60kW·h D．71kW·h 【变式1-1】某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A．85分 B．89分 C．90分 D．92分 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）咸阳市是国家历史文化名城，是古丝绸之路西出长安的第一站．某校组织了“古韵今传·最美咸阳”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知小阳的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是9分，8分，9分，则小阳的最终得分为（   ） A．8.4分 B．8.5分 C．8.6分 D．8.7分 【变式1-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 题型三 中位数 【例1】某班5位学生的中考体育模拟成绩为37，40，35，38，36．则这组数据的中位数是（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 【变式1-1】（2026·浙江·模拟预测）某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（    ） A．174 B．174.5 C．175 D．176 【变式1-2】（2025·浙江丽水·二模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 题型四 众数 【例1】一组数据，，，，，的众数是（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 【变式1-1】已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，平均数是3.6，则这一组数据的中位数为（    ） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 【变式1-2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）请你举出一个生活中与众数有关的例子：______． 【变式1-3】一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款鞋的各种尺码销售量如图所示，鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为23.5cm的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是_______． 题型五 方差 【例1】一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（25-26八年级上·广东河源·期末）气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（   ） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 【变式1-2】为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 题型六 离差平方和 【例1】数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【变式1-2】已知一组数据，，的平均数和方差分别是2，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是_________． 【变式1-3】为进一步做好学校消防安全宣传教育工作，增强广大师生的消防安全意识，某校举办了消防知识竞赛，从参赛选手中随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩．结果如下（单位：分）：75，76，77，80，84，85，86，88，90，92． 将这些竞赛成绩数据分成三组： 第一组：75，76，77，80； 第二组：84，85，86； 第三组：88，90，92． 试计算上述分组情况下的组内离差平方和和组间离差平方和． 题型七 四分位数 【例1】续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【变式1-1】如果一组数据的第一四分位数为15，第三四分位数为35，下列说法正确的是（   ） A．最大值为40 B．中位数在15到35之间 C．最小值为10 D．以上说法都不对 【变式1-2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一组数据：76，82，88，92，93，95，则这组数据的下四分位数为_________． 题型八 箱线图 【例1】有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11．其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【变式1-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【变式1-2】某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 题型九 求频数与频率 【例1】某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 【变式1-1】某班女生的身高被分成了三组，情况如表所示，则表中m的值是（   ） 第一组 第二组 第三组 频数 6 8 m 频率 p q A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-2】有50个数据，共分成6组，第组的频数分别为10，8，7，11．第5组的频率是0.16，则第6组的频数是_____． 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（   ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【变式2-1】将20个数据整理成5个组如表，则第3组的频率为（　　） 组别 1 2 3 4 5 频数 2 5 x 4 2 A． B．0.7 C．6 D．7 【变式2-2】在一次调查中，出现种情况的频率为0.3，其余情况出现的频数之和为70，则调查的总数为（    ） A．100 B．90 C．80 D．70 【变式2-3】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）某班体育委员统计了全班同学1分钟跳绳的成绩，列出频数分布表如下： 个数x（个） 频数 11 13 16 7 3 已知跳绳成绩160个以上为优秀，则该班学生1分钟跳绳成绩优秀率为__________． 题型十 频数分布表 【例1】某兴趣小组随机抽取了100名学生去年一年的课外阅读数量，得到如下频数分布表，则阅读数量x（单位：本）在范围内的人数占抽查学生总人数的百分比为（    ） 阅读数量x/本 频数 24 25 28 16 7 A．23％ B．35％ C．49％ D．51％ 【变式1-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）电影《浪花朵朵》以惠安小岞林场女子种植队真实故事为蓝本，再现“林海娘子军”植树固沙的生态奇迹．某林场参照其模式种植木麻黄，共完成个造林批次，其成活率的区间分布统计如下表： 造林成活率（） 造林批次（批） 2 7 10 31 则在这个造林批次中，成活率不低于的批次占比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下表是某学校七年级名学生体育成绩统计表：（满分：分） 分数段（分） 频数（人） 百分比 则表中 ， ， ． 【变式1-3】小军想要了解他所居住的小区里450户居民的生活用水情况，于是他从中随机调查了50户居民的月均用水量，并绘制了频数分布表： 月均用水量                                    户数（频数） 2 12 10 3 2 百分比 (1)请根据题中已有的信息补全频数分布表； (2)如果月均用水量位于为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭的户数． 题型十一 频数分布直方图 【例1】为了解大一学生的英语学习情况，某大学随机抽取了50名大一学生的英语期末成绩（满分100分），并对数据进行整理，绘制了如下频数分布直方图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．由图，可知这50个数据的中位数落在（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【变式1-1】（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年，广州某区为加强学生安全意识，特在某班级举行交通安全知识竞赛，其竞赛成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．该班的总人数为 B．得分在分之间的人数最多 C．得分在分之间的人数占总人数的 D．及格(不低于分)的人数为 【变式1-2】阅读小组对本班50名学生最喜爱的图书类别进行了统计，绘制成如图所示的频数直方图．若从左到右的小长方形高度比为，则该班有________名学生最喜爱艺术类图书． 【变式1-3】某校七（1）班全体学生举行了一次健康知识竞赛．根据竞赛成绩（得分为整数，满分为100分）绘制了频数分布直方图（如下图所示）．若成绩不低于80分为优秀，且该班有3名学生的成绩为80分，则学生成绩的优秀率是多少？ 题型十二 频数分布折线图 【例1】如图是某校八年级部分同学跳高测试成绩的频数分布折线图（折线图中每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），从图中可知：频数最大的这组组中值是________；跳高成绩低于有________人．    【变式1-1】由表“2015～2023年某地区生活用水量”可知，该地区生活用水量逐年上升．如图，用横轴表示年份，用纵轴表示用水量，描出表中各对值所对应的点，可发现，这些点近似地落在某条直线上． 2015～2023年某地区生活用水量 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 用水量/亿立方米 570 600 620 640 650 680 700 720 750 (1)用一条尽可能靠近所有点的直线来表示用水量与年份之间的关系，请在上图中画出这条直线； (2)根据所画的直线，估计2024年的用水量． 【变式1-2】中华人民共和国年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示． 根据以上信息回答下列问题： (1)年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？ (2)直接写出年全国居民人均可支配收入的中位数． (3)下列判断合理的是______（填序号）． ①年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势． ②年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低． 题型十三 用样本估计总体 【例1】我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米767石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得126粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（   ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 【变式1-1】如图，李老师统计了六年级400名学生报名参加社团的人数情况，参加航模社团的人数是（   ） A．80 B．400 C．140 D．160 【变式1-2】（2026·云南楚雄·一模）某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对大课间“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从八段锦、转呼啦圈、自由活动、跳长绳、其他等5个方面进行问卷调查（每位学生选且只能选一项），根据调查结果统计，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的．若全校共有学生1400人，估计该校喜欢自由活动的学生大约有______人． 【变式1-3】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）为了解某校学生参与“数学趣味运动周”活动的情况，从该校全校1200名学生中，随机抽取了150名学生进行调查，结果显示有120名学生表示至少参加了三项趣味数学项目．根据这个调查结果，估计该校全体学生中至少参加了三项趣味数学项目的学生有________名． 基础巩固通关测 1.（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 2．（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 3．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 4．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图． (1)根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表； (2)近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？ 届数 第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届 金牌数 32 51 38 26 38 40 6．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 8．（2025·吉林·中考真题）端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为克时，其质量等级为合格；粽子质量为克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子．质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息： 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155 乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 参赛小组 平均数 众数 甲组 150 152 乙组 150 147 根据以上信息，回答下列问题： (1)在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？ (2)此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由． 9．（2025·山西·中考真题）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．   请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 能力提升进阶练 1．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表： 书籍本数 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 下列关于书籍本数的描述正确的是（   ） A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1 3．（2025·四川德阳·中考真题）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择______参加比赛．（填甲或者乙） 4．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 5．（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 7．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94． 数据扇形统计图         数据统计表 分数段 等次 人数 A B 6 C 6 D E 2 (1)扇形统计图中 ，统计表中 ； (2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ； (3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人； (4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数据分析（复习讲义） （一）基础目标 1.能复述数据收集与整理的基本流程，会进行简单的数据收集，能将收集的数据整理成简单的统计表、条形统计图、扇形统计图。 2.能复述算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义，会直接计算一组简单数据的算术平均数、加权平均数、中位数、众数，明确它们各自的适用场景。 （二）进阶目标 1.理解并应用加权平均数的“权”的意义，会根据实际情境确定“权”，并准确计算加权平均数，能结合情境解释加权平均数的实际意义。 2.会推导方差的计算公式，理解方差的意义，会计算一组简单数据的方差，能根据方差的大小判断数据的波动程度。 3.会绘制简单的频数直方图，能结合统计表、统计图进行简单的数据分析，得出初步结论。 （三）拓展目标 1.理解并应用方差的性质，能结合方差性质解决复杂数据的波动问题，能根据数据波动情况提出合理建议。 2.会设计简单的抽样调查方案，能辨析简单随机抽样的特点，能判断抽样调查的合理性。 3.能结合多个统计量综合分析数据，能结合实际情境进行全面的数据分析，作出合理的判断、预测和决策。 4.能解决与数据与分析相关的综合应用题，能规范书写数据分析的过程和结论。 知识点 重点归纳 常见易错点 数据的集中趋势 ① 算术平均数：； ② 加权平均数：（ 为权重）； ③ 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，取中间位置的数；若为偶数，取中间两个数的平均数。 ④ 众数：一组数据中出现次数最多的数据（可以有多个或没有）。 ① 计算加权平均数时，混淆权重与数据本身，或忘记除以权重总和； ② 求中位数前未先排序，直接取中间位置的数； ③ 误认为众数只能有1个，或忽略“无众数”的情况； ④ 极端值影响平均数时，误将平均数当作数据的代表值。 数据的波动程度 ① 极差：最大值与最小值的差（），反映数据的波动范围； ② 方差：，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定； ③ 标准差：方差的算术平方根（），与原数据单位一致，同样反映波动程度； ④ 离差平方和： 。 ① 计算方差时，忘记除以数据个数 ，或误将 直接相加； ② 混淆方差与标准差的意义，认为标准差越大数据越稳定； ③ 忽略极差易受极端值影响的局限性； ④ 比较两组数据波动时，未先确保平均数相近，直接比较方差。 用样本估计总体 ① 抽样调查：从总体中抽取部分个体（样本）进行调查，用样本特征估计总体特征。 ② 简单随机抽样：总体中每个个体被抽到的机会均等。 ③ 样本的平均数、方差、中位数等可以用来估计总体的对应统计量。 ① 抽样时样本不具有代表性或广泛性，导致估计结果偏差； ② 混淆总体与样本的概念，将样本统计量直接当作总体参数； ③ 样本容量过小，导致估计结果不稳定； ④ 误认为抽样调查结果一定准确，忽略抽样误差。 频数与频率 ① 频数：某个数据（或组）出现的次数； ② 频率：频数与数据总数的比值（），所有组的频率之和为1； ③ 频数分布表、频数分布直方图：直观展示数据的分布情况。 ① 计算频率时，误将频数当作频率； ② 绘制直方图时，组距划分不当或漏算频数； ③ 忽略“频率之和为1”的性质，导致计算错误； ④ 误读直方图，将矩形高度当作频率而非频数/频率密度。 统计图表的应用 ① 常见统计图表：条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等； ② 图表选择：条形图：比较不同类别数据的大小；折线图：展示数据的变化趋势；扇形图：表示各部分占总体的比例；直方图：展示连续数据的分布情况。 ① 混淆不同图表的适用场景，用错图表类型； ② 读取扇形图时，误将角度当作百分比，或计算比例时出错； ③ 折线图中忽略横轴单位，错误判断变化幅度； ④ 从图表中提取信息时，遗漏关键数据或过度解读图表外的信息。 题型一 平均数 【例1】一组数据8、9、9、12、12的平均数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查算术平均数的计算，解题的关键是掌握算术平均数的定义：所有数据之和除以数据的个数． 先计算这组数据的总和，再除以数据的个数，即可得到这组数据的平均数． 【详解】解：数据之和为，数据个数为5， ∴平均数． 故选：B． 【变式1-1】小雪在练习“一分钟仰卧起坐”时，前4组的成绩（单位：个）分别为42，48，52，48，再做1组后，若这5组成绩的平均数与众数相等，则小雪第5组成绩是每分钟（   ） A．40个 B．44个 C．48个 D．50个 【答案】D 【分析】本题考查了众数与平均数，掌握定义是解题的关键．设小雪第五组成绩为，先计算前组成绩的和，再根据众数的定义确定众数的可能情况，结合平均数与众数相等的条件列等式求解，验证后得到结果． 【详解】解：设小雪第五组成绩为. ∵前组成绩和为 ， ∴组成绩的平均数为 . 前组成绩中出现次，其余数各出现次，因此： 若不等于，这组数据的众数为，根据题意得： 解得 . 验证：当时，组成绩为，众数为，平均数为，符合题意. 若，众数为，平均数为 ，不符合题意. 若或，数据有两个众数，计算可知平均数不等于任意一个众数，不符合题意. 因此小雪第五组成绩是个. 【变式1-2】如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的平均成绩(单位：环)约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算公式是解题的关键．根据平均数的计算公式即可求得平均数． 【详解】解：（环）， 故选：B． 【例2】小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分．这一次是第（ ）次考试． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，一元一次方程的应用，根据小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分，列方程，即可作答． 【详解】解：设这一次是第次考试， ∵小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分． ∴ 解得， ∴这一次是第8次考试， 故选：B． 【变式2-1】已知五个数据：，，，，的平均数是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，根据算术平均数的计算公式计算即可求解． 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴， 解得， 故选：A． 【变式2-2】小明期末语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分 【答案】A 【分析】本题考查了平均数的应用，一元一次方程的应用，记住平均数的计算公式是解决本题的关键．设小明的数学分为x分，由题意得，，据此即可解得x的值． 【详解】解：设数学成绩为x， 则， 解得． 故选：A． 【例3】若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用平均数的性质，当每个数据乘以相同常数时，新平均数为原平均数乘以该常数． 【详解】解：∵数据，，，，的平均数为2， ∴． 对于新数据，，，，， 其和为， ∴新平均数为， 故选：C． 【变式3-1】某班共有50名学生，平均身高为，其中30名男生的平均身高为，则20名女生的平均身高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均数，用全班总身高减去男生的总身高，可得女生总身高，再除以女生人数即可求得答案． 【详解】解：全班总身高： 男生总身高： 女生总身高： 女生平均身高： 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【答案】7 【分析】根据平均数的定义，先由原样本平均数求出原样本总和，再计算新样本的总和，最后求出新样本的平均数． 【详解】解：∵样本的平均数为10， ∴根据平均数的定义可得：，则， 对于样本，其平均数为： ． 【例4】数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平均数的认识：平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，所以齐思和苗想所在班级的平均分不能代表他们的成绩，他们的成绩可能高于平均分，也可能低于平均分，也可能等于平均分． 【详解】解：齐思所在班级的平均分是112分，齐思的数学成绩可能低于112分，也可能高于112分，也可能正好是112分；苗想所在班级的平均分是122分，苗想的数学成绩可能低于122分，也可能高于122分，也可能正好是122分；所以齐思的成绩与苗想的成绩无法确定高低， 故选：D． 【变式4-1】小明班里的同学平均身高米，小乐班里同学平均身高米，小明和小乐相比，（    ）． A．小明高 B．小明矮 C．一样高 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，平均数的含义，小明班里的同学平均身高低，并不代表小明的身高低，他可能比平均身高低，也可能比平均身高高，小乐班里同学平均身高高，并不代表小乐的身高高，他可能比平均身高低，也可能比平均身高高，由此判断即可．正确理解和掌握平均数的含义是解题的关键． 【详解】解：∵小明班里的同学平均身高米，小乐班里同学平均身高米， ∴小明和小乐相比无法确定． 故选：D． 【变式4-2】重庆、武汉等长江沿岸城市在夏季常常如火炉般闷热，特别是7月下旬和8月上中旬，副热带高压会使这些地区闷热难耐．下表是武汉和重庆在2024年8月1日至8月7日每天的最高温度，请根据表中数据判断这七天更热的城市是_______． 8月1日 8月2日 8月3日 8月4日 8月5日 8月6日 8月7日 武汉 重庆 【答案】重庆 【分析】本题考查了平均数的应用，先求出武汉和重庆这7天温度的平均数，然后比较大小即可解答． 【详解】解：武汉的平均气温为， 重庆的平均气温为， ∵， ∴这七天更热的城市是重庆， 故答案为：重庆． 题型二 加权平均数 【例1】为了解某地居民用电情况，抽查了部分居民一个月内的用电量，其中有3户用电55kW·h，有5户用电58kW·h，有7户用电70kW·h，则平均每户用电（    ） A．63kW·h B．61kW·h C．60kW·h D．71kW·h 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 计算总用电量和总户数，再求平均值． 【详解】解：∵总户数户， 总用电量， ∴平均每户用电量 故选：A． 【变式1-1】某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A．85分 B．89分 C．90分 D．92分 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 计算加权平均数，将各项成绩乘以其对应的权重比例后求和即可． 【详解】解：最终成绩， ∴小颖的最终成绩为分， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）咸阳市是国家历史文化名城，是古丝绸之路西出长安的第一站．某校组织了“古韵今传·最美咸阳”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知小阳的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是9分，8分，9分，则小阳的最终得分为（   ） A．8.4分 B．8.5分 C．8.6分 D．8.7分 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形统计图、加权平均数等知识点，理解加权平均数的意义是解题的关键．根据加权平均数，结合扇形统计图得出，然后求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，小阳的最终得分分． 故选D． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，理解加权平均数的定义以及求解方法是解题关键．分别计算出两名候选人的加权平均数，比较即可得出结论． 【详解】解：甲的加权平均成绩： （分） 乙的加权平均成绩： （分） 由于， 故乙将被录用． 故答案为：乙． 题型三 中位数 【例1】某班5位学生的中考体育模拟成绩为37，40，35，38，36．则这组数据的中位数是（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】根据中位数的概念，将数据从小到大排序后，取中间位置的数即为中位数． 【详解】将原数据从小到大重新排列，可得：35，36，37，38，40． ∵数据总个数为5，是奇数， ∴中位数为排列后位于中间的数，即第3个数， ∴这组数据的中位数为37． 【变式1-1】（2026·浙江·模拟预测）某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（    ） A．174 B．174.5 C．175 D．176 【答案】B 【分析】先确定数据的总个数，再找到排序后中间位置的两个数据，计算平均数即可得到结果． 【详解】解：∵数据总个数为，是偶数 ∴中位数为从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数， ∵从小到大排列，前3个数据为173，第个数据为174，第个数据为175 ∴第10个数据为174，第11个数据为175， ∴中位数为 ． 【变式1-2】（2025·浙江丽水·二模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：该组数据共5个，按从小到大的顺序排列后，第3个数为中位数，已知中位数为4，且数据1和2均小于4，要使4排在第3位，则不能小于4，即， 故选D． 【变式1-3】从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的实际应用，需结合入选规则，分析各统计量的意义来确定所需统计量． 【详解】∵13名队员身高各不相同，将身高从高到低排序后，第7个数据是这组数据的中位数，要挑选7名个头高的队员参赛． ∴小明将自己的身高与中位数比较，若身高≥中位数则能入选，反之则不能， ∴只需知道这组数据的中位数即可， 故选：B． 题型四 众数 【例1】一组数据，，，，，的众数是（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据众数定义统计各数出现次数，找出出现次数最多的数即可得到结果． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数， 统计得，这组数据中，1出现1次，4出现1次，7出现1次，9出现3次， ∴9是这组数据中出现次数最多的数，故众数是9． 故选：D． 【变式1-1】已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，平均数是3.6，则这一组数据的中位数为（    ） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 【答案】A 【分析】根据唯一众数1和平均数3.6，确定数据中的数值，再求中位数． 本题考查了众数、中位数和平均数，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，且平均数为3.6， ∴ 总和为， ∴，即， ∵ a，b，c为正整数，且众数为1， ∴ 1出现次数最多，且唯一， ∴ a，b，c中必有两个1和一个3（若为两个2和一个1，则众数为2，矛盾）， ∴ 数据为1，1，3，5，8， 排序后为1，1，3，5，8， ∴ 中位数为3． 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）请你举出一个生活中与众数有关的例子：______． 【答案】调查某班学生的鞋码（答案不唯一） 【分析】本题考查众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题关键． 【详解】解：由众数是统计学中的概念，指在数据集中出现频率最高的数值，在生活中，例如在调查班级学生的鞋码时，通过收集所有学生的鞋码数据，出现次数最多的鞋码即为众数，这可以帮助鞋店确定最需要进货的鞋码尺寸 故答案为：调查某班学生的鞋码（答案不唯一）． 【变式1-3】一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款鞋的各种尺码销售量如图所示，鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为23.5cm的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是_______． 【答案】众数 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由表中数据知，这组数据的众数为， 所以影响店主决策的统计量是众数. 故答案为：众数. 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 题型五 方差 【例1】一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据中位数和方差的定义解题． 【详解】解：将这组数据从小到大排列：、、、、、， ∴中位数是； 平均数是， ∴方差是． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东河源·期末）气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（   ） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 【答案】C 【详解】解：∵要使上海青快速生长，需要选择平均生长速度更大的培养室，即平均数更大的培养室；要使上海青稳定生长，需要选择生长波动更小的培养室，即方差更小的培养室， 根据表格数据可知，四个培养室中，3号培养室的平均数最大，且方差最小，符合要求， ∴应选择3号培养室． 【变式1-2】为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】当平均成绩相同时，方差越小，成绩越稳定，选择方差最小的运动员参赛即可． 【详解】解：∵四名运动员的平均成绩相同，方差越小成绩波动越小，发挥越稳定， 又∵， ∴丁的方差最小，成绩最稳定，因此选择丁参赛． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【答案】(1)165；； (2)，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 【分析】本题考查了求方差，中位数，平均数，根据方差判断数据的波动大小，理解方差的意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）先求得甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高的平均数，进而求得的甲、乙两组数据的方差，根据方差的大小来判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：165，； （2）解：． 而由（1）得， ∴方差分别是 ， ． 由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 题型六 离差平方和 【例1】数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【答案】D 【分析】本题考查离差平方和的实际意义．根据离差平方和与数据差异的关联作答即可． 【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 【变式1-2】已知一组数据，，的平均数和方差分别是2，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是_________． 【答案】1， 【分析】此题考查已知一组数据的平均数和方差求相关已知数据的平均数和方差，数学公式是解题的关键． 根据平均数与方差的定义，结合已知原数据的平均数和方差，推导计算新数据的平均数与方差． 【详解】解：由题意得，对于原数据，，，可得， 原数据方差为， 计算新数据，，的平均数：， 计算新数据的方差：． 【变式1-3】为进一步做好学校消防安全宣传教育工作，增强广大师生的消防安全意识，某校举办了消防知识竞赛，从参赛选手中随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩．结果如下（单位：分）：75，76，77，80，84，85，86，88，90，92． 将这些竞赛成绩数据分成三组： 第一组：75，76，77，80； 第二组：84，85，86； 第三组：88，90，92． 试计算上述分组情况下的组内离差平方和和组间离差平方和． 【答案】组内离差平方和：24；组间离差平方和： 【分析】先分别计算每组平均数，再计算三组的总平均数，根据组内离差平方和：每个数据与组内均值的差的平方之和，组间离差平方和：各组数据的个数乘以该组平均数与总平均数的差的平方，然后求和．即可解决问题． 【详解】， ， ， ． 因此组内离差平方和． 组间离差平方和． 题型七 四分位数 【例1】续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【答案】D 【分析】第一四分位数即下四分位数，是前一半数据的中位数，据此即可求解． 【详解】解：将6名参赛学生的成绩从小到大排序为：75，80，85，92，95，95 而前一半数据75，80，85的中位数为， ∴第一四分位数80分 【变式1-1】如果一组数据的第一四分位数为15，第三四分位数为35，下列说法正确的是（   ） A．最大值为40 B．中位数在15到35之间 C．最小值为10 D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题考查了四分位数的性质，掌握四分位数的顺序关系​，中位数位于第一和第三四分位数之间，而最大最小值无法仅由四分位数确定是解题的关键． 根据四分位数的性质，中位数必然位于第一和第三四分位数之间，因此选项B正确；而选项A和C无法从给定的四分位数直接推断最大或最小值，故不正确． 【详解】解：，且中位数为第二四分位数， ，即，因此中位数在15到35之间； A、最大值可能大于35； C、最小值可能小于15； 故A和C均不一定成立． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一组数据：76，82，88，92，93，95，则这组数据的下四分位数为_________． 【答案】82 【分析】本题考查下四分位数的求解，需先将数据排序，再根据数据个数计算下四分位数的位置，进而确定对应数值． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为76，82，88，92，93，95， 数据个数，计算下四分位数的位置：， 因为不是整数，将其向上取整为2， 所以这组数据的下四分位数为第2个数据82． 题型八 箱线图 【例1】有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11．其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 【分析】本题考查箱线图的概念应用，关键是理解箱线图中最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的意义，结合已知数据逐一分析选项． 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的第一四分位数为4，中位数为，第三四分位数为，故选项A说法正确；选项B说法错误；选项C说法正确； 由箱线图可知，这组数据的最小值为3，最大值为，而已知的数据中没有这两个数，所以被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是，选项D说法正确； 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查箱线图的运用． （1）根据四分位数的计算方法即可求解； （2）根据箱线图的画法作图即可求解； （3）根据箱线图数据分析即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共有10个数据， ∴中位数为， 前半段的数据：60，70，70，80，89， ∴， 后半段的数据：91，92，96，98，100， ， ∴，，； （2）解：如图所示： （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲校成绩的中位数和乙校相同，但甲校成绩明显比乙校的波动大． 【变式1-2】某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 题型九 求频数与频率 【例1】某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图的性质，频数分布直方图中各小长方形的高度比等于各组频数的比，计算第三个小长方形的频数占总人数的比例，再乘总人数即可得到结果． 【详解】解：∵总共有200名学生，各小长方形高度比为，频数分布直方图中小长方形高度之比等于对应频数之比， ∴第三个小长方形对应的频数为． 【变式1-1】某班女生的身高被分成了三组，情况如表所示，则表中m的值是（   ） 第一组 第二组 第三组 频数 6 8 m 频率 p q A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据所有分组的频率之和等于1，先求出前两组的频率和，再结合频数和求出总人数，最后根据频率公式计算m的值． 【详解】解：所有分组的频率和为1，第三组频率为， 第一组与第二组的频率和为， 第一组频数为6，第二组频数为8，两组频数和为， 总人数为， ． 【变式1-2】有50个数据，共分成6组，第组的频数分别为10，8，7，11．第5组的频率是0.16，则第6组的频数是_____． 【答案】 6 【分析】先根据频率、频数与数据总数的关系求出第5组的频数，再根据所有组的频数之和等于数据总数，计算得到第6组的频数. 【详解】解：∵有50个数据，共分成6组，第5组的频率是0.16， ∴第5组的频数为； 又∵第1～4组的频数分别为10，8，7，11， ∴第6组的频数为. 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（   ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【答案】B 【分析】本题主要考查了频率的计算方法，记住频率=频数÷总数是解答此题的关键． 根据频率的定义作答． 【详解】解：在8个数字中，1出现了2次，则数字1出现的频率是． 故选：B． 【变式2-1】将20个数据整理成5个组如表，则第3组的频率为（　　） 组别 1 2 3 4 5 频数 2 5 x 4 2 A． B．0.7 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了根据数据的描述求频率，根据数据的描述求频数．需先根据数据总数求出第3组的频数，再利用频率公式“频率=频数÷数据总数”计算第3组的频率，即可作答． 【详解】解：∵数据总数为20，且各组频数之和等于数据总数， ∴第3组的频数， ∴第3组的频率， 故选：A． 【变式2-2】在一次调查中，出现种情况的频率为0.3，其余情况出现的频数之和为70，则调查的总数为（    ） A．100 B．90 C．80 D．70 【答案】A 【分析】先求出其余情况的频率，再结合其余情况的频数，利用“总数频数频率” 计算调查总数． 【详解】解：已知种情况的频率为，因此其余情况的频率为． 又已知其余情况的频数之和为，根据“总数频数频率” ，可得调查总数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了频率与频数的关系，解题关键是掌握“总数频数频率” 的变形公式，并利用所有频率之和为的性质求出未知频率． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）某班体育委员统计了全班同学1分钟跳绳的成绩，列出频数分布表如下： 个数x（个） 频数 11 13 16 7 3 已知跳绳成绩160个以上为优秀，则该班学生1分钟跳绳成绩优秀率为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了频数分布表的知识，根据频数分布表，确定优秀人数为成绩在160个以上的频数之和，总人数为所有频数之和，优秀率等于优秀人数除以总人数乘以． 【详解】解：根据题意，可知优秀人数为人，总人数为人， ∴优秀率为． 故答案为：． 题型十 频数分布表 【例1】某兴趣小组随机抽取了100名学生去年一年的课外阅读数量，得到如下频数分布表，则阅读数量x（单位：本）在范围内的人数占抽查学生总人数的百分比为（    ） 阅读数量x/本 频数 24 25 28 16 7 A．23％ B．35％ C．49％ D．51％ 【答案】D 【分析】本题考查了频数分布表的应用，掌握频数之和除以总数即为对应百分比是解题的关键． 阅读数量在范围内包括表中和三个区间，求其频数之和占总数的百分比． 【详解】解：∵总人数，的频数， ∴百分比． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）电影《浪花朵朵》以惠安小岞林场女子种植队真实故事为蓝本，再现“林海娘子军”植树固沙的生态奇迹．某林场参照其模式种植木麻黄，共完成个造林批次，其成活率的区间分布统计如下表： 造林成活率（） 造林批次（批） 2 7 10 31 则在这个造林批次中，成活率不低于的批次占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定成活率不低于85%的批次数量，再用符合条件的批次数量除以总批次得到占比，即可得到答案． 【详解】解：∵成活率不低于即成活率， 由表格可知，符合条件的造林批次为批，总批次为批， ∴占比为． 【变式1-2】下表是某学校七年级名学生体育成绩统计表：（满分：分） 分数段（分） 频数（人） 百分比 则表中 ， ， ． 【答案】，， 【分析】本题考查了频数分布表，根据“频率=频数÷总数”解答即可． 【详解】解：由题意可得，， 故， ， 故答案为：10，25，． 【变式1-3】小军想要了解他所居住的小区里450户居民的生活用水情况，于是他从中随机调查了50户居民的月均用水量，并绘制了频数分布表： 月均用水量                                    户数（频数） 2 12 10 3 2 百分比 (1)请根据题中已有的信息补全频数分布表； (2)如果月均用水量位于为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭的户数． 【答案】(1)15，6，12% (2)户． 【分析】（1）仔细审题，根据频数=总数×百分比进行计算，从而把分布表补充完整； （2）根据频数=总数×百分比，结合样本估计总体的知识即可得出中等用水量的家庭的户数． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：15，6，12%． （2）解：中等用水量家庭大约有（户）． 【点睛】本题考查了频数分布表，理解频数分布表中的数据的含义是解题的关键． 题型十一 频数分布直方图 【例1】为了解大一学生的英语学习情况，某大学随机抽取了50名大一学生的英语期末成绩（满分100分），并对数据进行整理，绘制了如下频数分布直方图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．由图，可知这50个数据的中位数落在（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【答案】D 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵抽取了50名大一学生， ∴成绩按从小到大排列中位数为第25位和第26位的平均数， ∵A组为5个人，B组为8个人，C组为11人，D组为16人， ∴， ∴中位数位于D组． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年，广州某区为加强学生安全意识，特在某班级举行交通安全知识竞赛，其竞赛成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（   ） A．该班的总人数为 B．得分在分之间的人数最多 C．得分在分之间的人数占总人数的 D．及格(不低于分)的人数为 【答案】D 【分析】本题考查了频数分布直方图的相关知识，关键是从直方图中读取各分数段的人数，再结合选项进行判断． 【详解】解：由频数分布直方图可知，各分数段的人数分别为：分有4人，分有人，分有人，分有8人，分有2人． 总人数为人，故A选项正确； 得分在分之间的人数为人，是各分数段中人数最多的，故B选项正确； 得分在分之间的人数为2人，占总人数的比例为，故C选项正确； 及格(不低于分)的人数为人，不是人，故D选项错误． 故选：D． 【变式1-2】阅读小组对本班50名学生最喜爱的图书类别进行了统计，绘制成如图所示的频数直方图．若从左到右的小长方形高度比为，则该班有________名学生最喜爱艺术类图书． 【答案】20 【分析】本题考查了频数直方图的性质，掌握频数直方图中小长方形的高度比等于频数比，按比例分配计算频数是解题的关键． 频数直方图中小长方形的高度比等于对应组的频数比，先计算总份数，再按比例分配求出艺术类对应的人数． 【详解】解：高度比为，总份数， 艺术类对应比例为，总人数为， 因此艺术类人数为：（名）． 故答案为：． 【变式1-3】某校七（1）班全体学生举行了一次健康知识竞赛．根据竞赛成绩（得分为整数，满分为100分）绘制了频数分布直方图（如下图所示）．若成绩不低于80分为优秀，且该班有3名学生的成绩为80分，则学生成绩的优秀率是多少？ 【答案】该班学生成绩的优秀率是 【分析】本题考查了频数分布直方图，熟练掌握从频数分布直方图中读取关键信息是解题的关键； 根据直方图得出总人数，再根据优秀的人数除以总人数得到优秀率． 【详解】解：（名）， ． 故该班学生成绩的优秀率是． 题型十二 频数分布折线图 【例1】如图是某校八年级部分同学跳高测试成绩的频数分布折线图（折线图中每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），从图中可知：频数最大的这组组中值是________；跳高成绩低于有________人．    【答案】 【分析】根据折线图所给出的数据以及折线图的特点，直接得出频数最大的这组组中值以及跳高成绩低于的人数即可． 【详解】解：根据所给的图形可得： 频数最大的这组组中值是， 跳高成绩低于有人， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了频数分布折线图，从图中获取必要的信息是解题的关键，在作图题时必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断． 【变式1-1】由表“2015～2023年某地区生活用水量”可知，该地区生活用水量逐年上升．如图，用横轴表示年份，用纵轴表示用水量，描出表中各对值所对应的点，可发现，这些点近似地落在某条直线上． 2015～2023年某地区生活用水量 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 用水量/亿立方米 570 600 620 640 650 680 700 720 750 (1)用一条尽可能靠近所有点的直线来表示用水量与年份之间的关系，请在上图中画出这条直线； (2)根据所画的直线，估计2024年的用水量． 【答案】(1)见解析 (2)760亿立方米．（答案合理即可） 【分析】本题考查了趋势图，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）观察图形画出最为接近的直线即可； （2）预估合理即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据所画直线，估计2024年的用水量为760亿立方米．（答案合理即可） 【变式1-2】中华人民共和国年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示． 根据以上信息回答下列问题： (1)年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？ (2)直接写出年全国居民人均可支配收入的中位数． (3)下列判断合理的是______（填序号）． ①年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势． ②年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低． 【答案】(1)元 (2)元 (3)① 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数： （1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图的数据即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多元． （2）解：年这五年的全国居民人均可支配收入分别为元，元，元，元，元， ∴年全国居民人均可支配收入的中位数为元； （3）解：由统计图可知年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确； 由统计图可知年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误； 故答案为：①． 题型十三 用样本估计总体 【例1】我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米767石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得126粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（   ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 【答案】B 【分析】用样本中谷子的频率估计总体中谷子的频率，再计算总体中谷子的数量即可. 【详解】解：∵样本126粒米中夹有谷子14粒，可得样本中谷子的频率为， ∴这批米内夹有谷子约为（石）. 【变式1-1】如图，李老师统计了六年级400名学生报名参加社团的人数情况，参加航模社团的人数是（   ） A．80 B．400 C．140 D．160 【答案】C 【分析】根据航模所占比例即可求出答案． 【详解】解：（名）． 【变式1-2】（2026·云南楚雄·一模）某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对大课间“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从八段锦、转呼啦圈、自由活动、跳长绳、其他等5个方面进行问卷调查（每位学生选且只能选一项），根据调查结果统计，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的．若全校共有学生1400人，估计该校喜欢自由活动的学生大约有______人． 【答案】560 【分析】根据样本估计总体的思想进行解答即可． 【详解】解：由题意，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的，全校共有学生1400人，根据样本估计总体，可知该校喜欢自由活动的学生大约有人， 故答案为560． 【变式1-3】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）为了解某校学生参与“数学趣味运动周”活动的情况，从该校全校1200名学生中，随机抽取了150名学生进行调查，结果显示有120名学生表示至少参加了三项趣味数学项目．根据这个调查结果，估计该校全体学生中至少参加了三项趣味数学项目的学生有________名． 【答案】960 【分析】本题考查用样本估计总体，解题思路为先计算抽取的样本中至少参加三项趣味数学项目学生的频率，再用全校总人数乘以该频率，得到总体的估计值． 【详解】解：由题意得，抽取的名学生中，至少参加三项趣味数学项目学生的频率为：， 因此估计该校全体学生中至少参加三项趣味数学项目的学生人数为：， 故答案为：． 基础巩固通关测 1.（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 【答案】C 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， 故选：C． 2．（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）， 故选：A． 3．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为．甲、乙两名同学各包了个粽子，每个粽子的质量（单位：）如下： 甲：，，，，； 乙：，，，，． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键． 分别求出甲乙的方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：甲的平均数为：， ∴； 乙的平均数为：， ∴， ∵， ∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 4．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图． (1)根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表； (2)近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)众数为38，中位数为． 【分析】本题考查了统计的应用． （1）根据图中数据作统计表即可； （2）根据众数、中位数的定义作答即可． 【详解】（1）据图中数据作统计表如下： 届数 第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届 金牌数 32 51 38 26 38 40 （2）将数据从小到大排列得：26、32、38、38、40、51， 可知众数为38，中位数为． 6．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】(1)93.2；96.5； (2)七年级，理由见解析 (3)256人 【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答． （1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答． （3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 把八年级的成绩从大到小排序：， 位于中间位置的数分别为， 观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差， ∴； （2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） （3）解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】(1)60 (2)85，36 (3)900 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． （2）解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． （3）解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 8．（2025·吉林·中考真题）端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为克时，其质量等级为合格；粽子质量为克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子．质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息： 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155 乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 参赛小组 平均数 众数 甲组 150 152 乙组 150 147 根据以上信息，回答下列问题： (1)在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？ (2)此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由． 【答案】(1)是优秀 (2)乙参赛小组能获得奖励，见解析 【分析】本题主要考查众数、样本估计总体，解题的关键是掌握众数的定义，并利用样本估计总体求出两个小组优秀等级个数． （2）根据众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求出甲、乙小组优秀等级的个数即可． 【详解】（1）解：因为乙组质量的众数为147， 所以缺失的数据为147，且，质量登记为优秀； （2）解：乙参赛小组能获得奖励，理由如下： 甲组抽检的优秀为：， ∴甲组优秀个数为：（个）， 甲组抽检的优秀为： ∴乙组优秀个数为： (个)， ∵， ∴乙参赛小组能获得奖励． 9．（2025·山西·中考真题）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．   请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】(1)36；135；见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出时间段骑电动车的人数并补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案； （3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示：    （2）解；人， 答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人； （3）解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段． 能力提升进阶练 1．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 2．（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表： 书籍本数 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 下列关于书籍本数的描述正确的是（   ） A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1 【答案】C 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数和方差的概念及计算，解题的关键是掌握各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后中间位置的数（或中间两数的平均数）；方差是各数据与平均数差的平方的平均数，通过计算判断选项正确性． 【详解】解：、众数是一组数据中出现次数最多的数．由表格可知，5本对应的人数为3人（最多），故众数是5，A错误． 、，B错误． 、将数据按从小到大排列：（共个数据），中位数为第5、6个数的平均数，即，C正确． 、平均数为 ， 方差 ，D 错误． 故选：C． 3．（2025·四川德阳·中考真题）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择______参加比赛．（填甲或者乙） 【答案】乙 【分析】此题考查了平均数和方差，根据平均数相同时方差越小的成绩越稳定即可解答，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵他们射击训练成绩的平均数相同，，， ∴， ∴应该选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 4．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 5．（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 【答案】(1)①40；②见解析；③90 (2)280人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”课程的已知人数（16人）和对应百分比（）求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，最后通过样本比例估计总体人数． （1）①根据“部分数量对应百分比总体数量”，用科创实践的16人除以求出调查总人数；②用总人数减去“计算思维”（14人）和“科创实践”（16人）的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；③用“数字艺术”的人数除以总人数，再乘以，求出对应扇形圆心角； （2）先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再乘以该校参加课程的总人数800，估计总体人数． 【详解】（1）解：①∵ 科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，   ∴ 调查总人数为（名）．   故答案为：40；   ② 数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即（人）．   补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；   ③ 扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为 故答案为：90； （2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为， ∵ 该校共有800名学生参加课程，   ∴ 估计喜欢计算思维课程的学生人数为（人）．   答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析． 数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图 数据分析： 平均数 中位数 众数 A型号 a 14 12 B型号 12 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由． 【答案】(1)14，13，14 (2)建议多进B型号扫地机器人．理由见解析 【分析】本题考查平均数、中位数、众数，利用统计数据做决策： （1）根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解； （2）观察统计图，B型号需求逐渐上升的趋势，进而做出决策． 【详解】（1）解：A型号平均数：； 将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11， 12，14，14，15，17， 第4位和第5位的平均数为：， B型号中位数； B型销量中14出现了2次，出现的次数最多， B型号众数； 故答案为：14，13，14； （2）解：建议多进B型号扫地机器人． 理由：B 型销量从年初的较低水平逐渐上升，八月份已高于 A 型；基于这一走势，商场可适当增加 B 型的进货量以满足需求． 7．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94． 数据扇形统计图         数据统计表 分数段 等次 人数 A B 6 C 6 D E 2 (1)扇形统计图中 ，统计表中 ； (2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ； (3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人； (4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议． 【答案】(1)15；3； (2)87；78； (3)60 (4)大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度 【分析】本题主要考查了扇形统计图和统计表，利用样本估计总体，理解题意，根据图象获取相关信息是解题关键． （1）根据扇形统计图直接确定m的值即可；再用抽取的人数乘以相应比例即可； （2）根据题意得出▲在D组，★在A组，然后利用众数和中位数的定义求解即可； （3）用总数乘以相应比例即可； （4）提出合理建议即可． 【详解】（1）解：， ∴； ∴； 故答案为：15；3； （2）解：根据题意得：D组人数为：人， ∵20个数据为：54， 57，▲，65，67，71，73，76，76，77，79，82，87， 87，87，88， 89，★，92，94． ∴▲在D组，★在A组， ∵87出现的次数最多为3次， ∴众数为87； 中位数为第10、11位数据77,79的平均数即， 故答案为：87；78； （3）解：根据题意得：人， 故答案为：60； （4）解：大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 【答案】（1）不赞同，理由见解析；（2）见解析，；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查频数分布表，统计图，利用方差作决策： （1）根据分组方法，求出最大值与最小值的差，进而求出组数为5和组数为10的组距，进行判断即可； （2）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （3）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （4）利用相关数据进行说明即可。 【详解】解：（1）不赞同． 理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组数为5，则组距为4，是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律． （2）补全直方图如图： D组对应的圆心角为 （3）试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； （4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．综合以上信息，试验田长势好于对照田． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $