专题13数据分析同步讲义（2）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题13数据分析同步讲义（2） 【4.2方差4.7统计的简单应用】 【题型01 求方差】......................................................3 【题型02 利用方差求未知数据的值】......................................5 【题型03 根据方差判断稳定性】..........................................7 【题型04 运用方差做决策】..............................................9 【题型05 标准差】.....................................................10 【题型06 离差平方和及其应用】.........................................12 【题型07 求四分位数与画箱线图】.......................................14 【题型08 利用数据描述求频数】.........................................17 【题型09 利用数据描述求频率】.........................................18 【题型10 频数分布表】.................................................19 【题型11 频数分布直方图】.............................................22 【题型12 用样本平均数与方差估计总体】.................................24 【题型13 .由样本百分比估计总体数量】...................................26 【题型14 用样本的“率”估计总体相应的“率”】.........................28 【题型15 用样本频数估计总体频数】.....................................30 【解答题6题】.........................................................32 ★知识梳理 知识点01:方差 1.意义：衡量一组数据波动大小（离散程度），方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，越稳定、越集中。 2.方差公式 设数据：x1​,x2​,…,xn​，平均数 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.标准差：方差的算术平方根 s=​，单位与原数据一致。 4.常用结论 一组数据都加 / 减同一个数：平均数变，方差不变。 一组数据都乘同一个数 a：平均数乘 a，方差乘 a2。 知识点02:数据分类 1.按收集方式 观测数据：通过观察、测量、调查得到，没人为干预。 实验数据：通过控制变量做实验得到。 2.按取值形式 离散型数据：数值是孤立、可数的整数（如人数、个数）。 连续型数据：可取某一范围内任意实数（如身高、时间、成绩）。 3.按描述对象 定量数据：用数值表示（如身高、分数）。 定性数据：用类别、属性表示（如性别、品牌、等级） 知识点03:四分位数与箱线图 1.四分位数步骤 (1)把数据从小到大排序。 (2)找中位数（第 2 四分位数 Q2​）。 (3)中位数左边数据的中位数：下四分位数 Q1​。 (4)中位数右边数据的中位数：上四分位数 Q3​。 2.极差：最大值 − 最小值。 3.四分位距：IQR=Q3−Q1​，反映中间 50% 数据波动。 4.箱线图（五数概括）最小值、Q1​、中位数 Q2​、Q3​、最大值。 5.作用：直观比较多组数据的集中趋势、离散程度、对称性、异常值 知识点04:数据的频数分布 1.频数：某个数据 / 组别出现的次数。 2.频率：频率=​，所有频率和为 1。 3.频数分布表步骤 (1)求极差（最大值−最小值）。 (2)确定组距、组数。 (3)分组（注意不重不漏）。 (4)列频数、算频率。 4.频数直方图 横轴：数据分组；纵轴：频数。 矩形连续无空隙，面积代表频数大小。 5.用途：看出数据分布形态（集中、对称、偏斜）。 知识点05:总体的平均数与方差的估计 1.基本概念 总体：要考察的全体对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体。 样本容量：样本中个体数量。 2.统计思想：用样本估计总体（抽样调查）。 3.计算公式 知识点06:统计的简单应用 1.统计解决问题的一般步骤： 收集数据 → 整理表示（表、图）→ 计算（平均数、方差、频数等）→ 分析判断 → 决策。 2.常见应用： 比较成绩 / 产量 / 质量的平均水平（用平均数）。 比较稳定性（用方差）。 根据频数、频率做预测、估算总数。 结合直方图、箱线图说明数据分布。 3.答题要点：不只算数值，要结合实际意义下结论、提建议。 【题型1.求方差】 【典例】计算方差的过程中有：，则________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的计算公式为，其中n表示样本数据的个数，据此可得答案． 【详解】解：由方差公式可得这组数据为2，4，3，5，一共4个数， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练1】小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 【答案】D 【分析】本题考查求一组数据的方差，先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式计算即可． 【详解】解：∵这组数据为9、4、7、4、6， ∴平均数， 将代入方差公式得： ． 故选D． 【跟踪专练2】已知数据：，，，，，则它们的方差为_________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，求出这些平方数的和，最后除以数据的个数即可得到方差． 【详解】解：平均数， 方差． 【跟踪专练3】已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差．根据题意可得，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组数据、、、、的平均数是，方差是， ∴，， ∴数据、、2、、的平均数为 ； 数据、、2、、的方差为 故选C. 【题型2.利用方差求未知数据的值】 【典例】小明用s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]计算一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝__________________． 【答案】20 【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案． 【详解】解：由方差计算公式s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]可知，这组数据的平均数是2，一共有10个数据， x1＋x2＋x3＋…＋x10＝2×10=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数． 【跟踪专练1】在计算一组数据的方差时，，则x表示的数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式． 根据方差公式可得这组数据的平均数为6，即可求解． 【详解】解：∵方差公式中每个数据均减去6，数据为3、4、6、x、9， ∴这组数据的平均数为6． ∴， 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 _____． 【答案】9 【分析】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9， 所以这组数据的众数为9， 故答案为：9． 【跟踪专练3】若一组数据的方差与另一组数据的方差相等，则x的值为(    ) A．1 B．6 C．1或6 D．5或6 【答案】C 【分析】先求出数据的方差，再求出数据的方差，可得到关于x的方程，即可求解． 【详解】解：数据的平均数为：， ∴该组数据的方差为， 数据的平均数为， ∴该组数据的方差为， ∵两组数据的方差相同， ∴， 解得：或6． 故选C． 【点睛】本题主要考查了方差，熟练掌握方差的求法是解题的关键． 【题型3.根据方差判断稳定性】 【典例】已知甲、乙两支仪仗队各有10名队员，这两支仪仗队队员身高的平均数都是，方差分别为0.8和1.1，则这两支仪仗队身高更整齐的是______仪仗队． 【答案】甲 【详解】解：∵甲仪仗队队员身高方差为，乙仪仗队队员身高方差为， ∴，即甲队方差小于乙队方差， ∴甲仪仗队身高波动更小，身高更整齐． 【跟踪专练1】义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方差．根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越整齐，通过比较两班方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴乙班成绩较为整齐． 故选：B． 【跟踪专练2】甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示： ： 设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由扇形图得出甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可解答． 【详解】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有5人，6个的有5人，7个的有5人，8个的有5人；乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有6人，6个的有4人，7个的有4人，8个的有6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定， ∴． 【跟踪专练3】某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了根据平均数与方差做决策，熟练掌握它们的意义是解题的关键； 根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】解：∵四名同学的平均数相同， ∴说明他们的成绩一样好，因此需要根据成绩的稳定性来选择， ∵=0.75，=1.1，=1，=0.7， ， ∵方差越小表示成绩越稳定， ∴丁的成绩更稳定， 故选：D． 【题型4.运用方差做决策】 【典例】某校从甲、乙两位同学中选拔一位参加年市级青少年科技运动会气功枪项目比赛，甲气功枪射击训练平均成绩是，方差是；乙气功枪射击训练平均成绩是，方差是，该校应选______参加比赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查的知识点是运用方差做决策，解题关键是理解方差并熟练运用方差做决策． 根据方差的定义分析即可得解． 【详解】解：甲乙气功枪射击训练的平均成绩相同， 乙气功枪射击训练成绩的方差甲气功枪射击训练成绩的方差， 乙的成绩更稳定，该校应选乙参加比赛． 故答案为：乙． 【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了用平均数，方差做决策，首先比较平均数，平均数较小的用时较少，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可． 【详解】解：甲和丙的平均数较小，用时较短 从甲和丙中选择一人参加竞赛， 丙的方差较小， 选择丙参加比赛， 故选：C． 【跟踪专练2】甲、乙两个旅游团的游客人数相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这两个团游客年龄的方差分别是，．导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，若在这两个团中选择一个，则她应选______队． 【答案】甲 【分析】本题主要考查方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：， 故选择甲队， 故答案为：甲． 【跟踪专练3】甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B． C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的意义，熟练掌握平均数和方差的意义是解题的关键；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛． 【详解】解：由于甲的平均数较大且方差较小， 故选：A 【题型5.标准差】 【典例】一组数据的方差为4，则标准差是_______________． 【答案】2 【分析】根据标准差的定义进行计算．标准差=方差的算术平方根． 【详解】解：标准差==2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了标准差的定义，解题的关键是根据方差算出标准差． 【跟踪专练1】测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（   ）． A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数 【答案】B 【分析】本题考查求平均数，中位数，方差和标准差，根据平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响，中位数与数据个数和排序有关，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数受极端值影响，方差受平均数的影响，标准差是方差的算术平方根，受方差影响， ∴当将最高成绩写得更高了时，平均数，方差，标准差均会受到影响， ∵中位数与数据个数和排序有关，当将最高成绩写得更高了时，数据个数不变，排序不变， ∴中位数不受影响； 故选B． 【跟踪专练2】已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 ， 所以方差不变，标准差为2． 故答案为：2． 【跟踪专练3】若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【答案】D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 【题型6.离差平方和及其应用】 【典例】已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是_______． 【答案】5 【分析】本题考查方差与离差平方和，根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为4，离差平方和为20，代入公式计算即可 【详解】解：一组数据的离差平方和， ∴这组数据的方差的值是， 故答案为：5． 【跟踪专练1】下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【答案】B 【分析】“组内离差平方和最小”是聚类分析中的核心原则，用于将数据划分为组内相似度高的组，选项B中的学生成绩分组直接应用此原则进行分组优化． 【详解】解：∵“组内离差平方和最小”原则主要用于数据分组，如聚类分析，旨在使组内数据点尽可能相似； A、比较疗效，涉及假设检验而非分组，不符合题意； B、将学生按成绩分组，最适合使用该原则，符合题意； C、分析波动。涉及时间序列分析，不符合题意； D、预测变化，涉及回归分析，均不直接适用分组原则，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了“组内离差平方和最小”的原则，解决本题的关键是熟练掌握“组内离差平方和最小”的原则，核心是在对数据进行分组时，让同一组内的数据差异尽可能小，不同组之间的数据差异尽可能大． 【跟踪专练2】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为___________． 【答案】 10 【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法． 先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】数据2，3，4，5，6的平均数为． 离差平方和为． 故答案为：10． 【跟踪专练3】在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【答案】D 【分析】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键． 先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断． 【详解】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误； 选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误； 选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误； 选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确． 故选：． 【题型7.求四分位数与画箱线图】 【典例】有一组被墨水污染的数据：，，，，★，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法正确的是______． ①这组数据的下四分位数是4；②这组数据的中位数是10； ③这组数据的上四分位数是15：④被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13． 【答案】①③④ 【分析】本题考查中位数，以及数字变化，属于中档题．根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法①正确； 箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法②错误； 箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法③正确； 箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法④正确； 故答案为：①③④ 【跟踪专练1】将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四分位数与箱线图，理解箱线图各数字表示的含义是解题的关键．根据箱线图从上到下的数据依次是极大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值求解即可． 【详解】解：根据题意得，这10名同学身高的上四分位数是． 故选：B． 【跟踪专练2】课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了下四分位数，先将数据从小到大排序，求出中位数，进而确定下半部分数据，再求出下半部分数据的中位数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：数据排序后为：， ∵数据个数为偶数， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下半部分数据为：， ∵下半部分数据个数为， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下四分位数为， 故答案为：． 【跟踪专练3】关于如图所示的箱线图，下列说法正确的是（   ） A．这组数据最大值是163 B．这组数据的平均数是150 C．到的数据较到的数据集中 D．此箱线图不能反映这组数据的分布情况 【答案】C 【分析】本题考查了求中位数，求四分位数，画箱线图等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据箱线图的构成，识别图中的关键数据，逐项分析选项，再作出判断． 【详解】解：从图中看，163是上四分位数​（即），不是最大值．最大值在虚线右端，标注为200． 故A错误； 150是中位数，中位数≠平均数，除非数据对称分布，故B错误； ∵，， ∴区间长度：， ∵，， ∴区间长度： 区间越短，说明数据在该四分位区间内越集中（离散程度越小）． ∴​区间长度更短，数据更集中． 故C正确； 此箱线图能反映这组数据的分布情况 故D错误， 故选：C． 【题型8.利用数据描述求频数】 【典例】小王将一个骰子随意抛了10次，出现的点数分别是6，2，1，2，3，4，3，5，2，4．在这10次中，“3”出现的频数是_____． 【答案】 2 【分析】根据频数的定义，统计给定数据中“3”出现的次数即可求解． 【详解】解：在出现的点数6，2，1，2，3，4，3，5，2，4中，数字“3”共出现2次， 依据频数的定义（频数是指一组数据中某个数据出现的次数），可得“3”出现的频数是2． 【跟踪专练1】某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图的性质，频数分布直方图中各小长方形的高度比等于各组频数的比，计算第三个小长方形的频数占总人数的比例，再乘总人数即可得到结果． 【详解】解：∵总共有200名学生，各小长方形高度比为，频数分布直方图中小长方形高度之比等于对应频数之比， ∴第三个小长方形对应的频数为． 【跟踪专练2】某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是___________． 【答案】0.2 【分析】此题主要考查了频数与频率，先结合已知求出第5组的频数，然后直接利用频率的定义求出频率即可． 【详解】解：∵某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8， ∴第5组的频数是：， 故第5组的频率是：． 故答案为：0.2． 【跟踪专练3】八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 首先根据各小组频率之和等于1求出男生出现的频率．再根据频率、频数的关系先求出全班人数，再求出女生出现的频数． 【详解】解：男生出现的频率， 全班人数，女 生出现的频数． 故选：D． 【题型9.利用数据描述求频率】 【典例】某班50名学生一次数学测试，在分这组人数有11人，则这组频率为_________． 【答案】0.22 【详解】由题意可知，数据总数为，该组的频数为， 则这组频率为． 【跟踪专练1】在一次调查中，出现种情况的频率为0.3，其余情况出现的频数之和为70，则调查的总数为（    ） A．100 B．90 C．80 D．70 【答案】A 【分析】先求出其余情况的频率，再结合其余情况的频数，利用“总数频数频率” 计算调查总数． 【详解】解：已知种情况的频率为，因此其余情况的频率为． 又已知其余情况的频数之和为，根据“总数频数频率” ，可得调查总数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了频率与频数的关系，解题关键是掌握“总数频数频率” 的变形公式，并利用所有频率之和为的性质求出未知频率． 【跟踪专练2】某学校200名学生参加生命安全知识测试，测试成绩均不低于60分且小于100分（分数均为整数），测试成绩情况如下表所示．结合表中的信息，测试成绩在分的频率是______，这个分数段的学生有______名． 成绩 59.5~69.5分 69.5~79.5分 79.5~89.5分 89.5~99.5分 频率 0.1 0.3 0.2 【答案】 80 【分析】本题考查了频数与频率．先求出测试分数在分的频率，然后再利用频数=总次数×频率，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得测试分数在分的频率是， ∴（名）， ∴测试分数在分数段的频率是，这个分数段的学生有80名， 故答案为：；80． 【跟踪专练3】下列说法中正确的是（    ） A．频数越大，频率越大 B．随着试验次数的增多，某事件发生的频率就会不断增大 C．频率与总次数成反比 D．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 【答案】D 【分析】本题考查了频数与频率，掌握频数和频率的定义是解题的关键．根据频数和频率的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：、频数越大，总次数越大，但频率不变，该选项说法错误，不合题意； 、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，该选项说法错误，不合题意； 、频数一定时，频率与总次数成反比，该选项说法错误，不合题意； 、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 【题型10.频数分布表】 【典例】某女子排球队的30名运动员的身高情况如下表，填写下表中的“组中值”． 身高 人数 组中值 4 10 9 7 【答案】， ，，． 【分析】组中值是每个身高区间的中点值，通过计算每个区间的下限和上限的平均值得到； 本题考查了组中值的计算，熟练掌握组中值的计算方法是解题的关键． 【详解】解：对于区间，组中值为； 对于区间，组中值为； 对于区间，组中值为； 对于区间，组中值为． 故答案为：，，，． 【跟踪专练1】已知一组数据的最大值为130，最小值为45，若选取组距为10，则这组数据可以分为（    ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 【答案】B 【分析】本题考查了求组数，用最大值减去最小值然后除以组距，若结果为整数，则结果即为可分成的组数，若结果不为整数，则取比结果大的最小整数为组数，据此求解即可得到答案． 【详解】解：， ∴这组数据可分成9组， 故选：B． 【跟踪专练2】一个频数分布表共分为6组，其中5组的频数分别为20，40，30，60，28．若频数为28这组的频率为0.14，则样本容量为____________，剩下1组的频率为____________． 【答案】 200 0.11 【分析】根据频率公式计算样本容量，再通过总频数求剩余组频数，最后计算频率． 【详解】设样本容量为，由频数为28组的频率为0.14， 得， 解得． 故答案为：200. 已知五组频数之和为， 故剩余组频数为． 剩余组频率为． 故答案为：0.11． 【点睛】本题考查了频率公式计算样本容量，再通过总频数求剩余组频数，最后计算频率，解决本题的关键是熟练掌握概念及公式． 【跟踪专练3】某班统计了该班全体学生60秒内高抬腿的次数，绘制出频数分布表： 次数 频数 1 2 4 14 17 13 4 下列说法错误的是（   ） A．组距是20 B．该班有55名学生 C．组数是6 D．60秒内高抬腿次数在范围内的学生占该班学生的 【答案】C 【分析】本题主要考查频数分布表，掌握组数，组距，频数的概念，是解题的关键．根据频数分布表，直接可得组数和组距，可判断A、C，把所有频数相加，可判断B，用的频数总人数，即可判断D． 【详解】解：组距为每组上限与下限之差，如，，…，均为20，故 A正确，不符合题意； 总频数，故 B正确，不符合题意； 根据表格可知：组数有7个，故C错误，符合题意； 范围内频数，总频数55， ， 即60秒内高抬腿次数在范围内的学生占该班学生的，故 D正确，不符合题意． 故选：C． 【题型11.频数分布直方图】 【典例】如图是某校七年级（1）班50名同学体育模拟测试成绩统计图（满分为40分，成绩均为整数），若高于34分的成绩为合格，则该班此次成绩的合格率是___________． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布直方图，解题的关键是读懂统计图，运用数据算出结果．根据合格数除以总数乘即可计算． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练1】某校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组，绘制出如图所示的频数分布直方图，已知这一组中的4个数据为：83，84，86，88，则抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数为（    ） A．83.5 B．84 C．85 D．86 【答案】A 【分析】本题考查了中位数定义，频数直方图的理解等相关问题，解题关键在于熟悉中位数定义． 根据数据找出排名第5位，第6位的成绩，再结合中位数定义求解，即可解题． 【详解】解：∵10名学生的竞赛成绩的中位数为第5位，第6位 根据频数分布直方图可知，排名第5位，第6位在这一组中， ∵80~90这一组中的4个数据为：83，84，86，88， ∴10名学生的竞赛成绩的中位数为 故选：A． 【跟踪专练2】李老师为了了解本班学生一天零花钱（单位：元）的花费情况，对本班学生展开调查，将他们一天花费的零花钱以2元为组距，绘制了频数分布直方图（如图），已知从左到右各组的频数之比为．若每组的平均花费额按组中值计算，则该班学生这天平均花费额是____________元． 【答案】 【分析】根据频数分布直方图中的组距、频数比例以及每组平均花费额的计算方法，利用加权平均数公式求解该班学生这天平均花费额即可； 本题考查了频数分布直方图，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：该班学生这天平均花费额为（元）； 故答案为：． 【跟踪专练3】“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，现已成为城市交通出行的新方式．小张对他所在的小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（） A．组数为5 B．每个小组的组距为5 C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D．样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数多于40次~60次的人数 【答案】C 【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出样本容量及各组具体人数．从直方图中有效地获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、组数为6，故此选项不符合题意； B、每个小组的组距为10，故此选项不符合题意； C、样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人，故此选项符合题意； D、样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有（人），40次～60次的人数有（人），因为，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型12.用样本平均数与方差估计总体】 【典例】某灯泡厂为测试一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，若抽出的50只灯泡的平均使用寿命为，则这批灯泡的平均使用寿命大约是______． 【答案】1680 【分析】根据样本平均数即可估计总体平均数． 【详解】解：样本平均数为，则估计总体平均数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 【跟踪专练1】李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是中位数、用样本估计总体以及算术平均数，解题的关键是熟练掌握中位数、用样本估计总体以及算术平均数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出6棵树上的樱桃的平均产量，然后利用样本估计总体的思想即可求出樱桃的总产量． 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21．位于最中间的两个数是19和19， 所以这组数据的中位数是； 从100棵樱桃树中随机采摘6棵的平均产量为（千克）， 所以估计樱桃的总产量（千克）， 故选：B． 【跟踪专练2】某班开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从全班40名同学中选取8名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，从中可以估计这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________． 节水量/ 0.1 0.2 0.3 0.4 家庭数/个 1 3 3 1 【答案】/10立方米 【分析】此题考查的是根据样本估计总体．先计算这8名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数40即可解答． 【详解】解：8名同学各自家庭一个月平均节约用水是： ， 因此这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 【答案】B 【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数1500即可解答． 【详解】解：∵某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7， ∴平均每户使用方便袋的数量为：（6+5+7+8+7+9+10+5+6+7）=7（只）， ∴该小区1500户家庭一周内共需要环保方便袋约：7×1500=10500（只）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 【题型13.由样本百分比估计总体数量】 【典例】为了了解某所中学生对6月5日“世界环境日”是否知道，从该校全体20000名学生中，随机抽查了100名学生，结果显示有10名学生“不知道”，由此，估计该校全体学生中对“世界环境日”约有_______名学生“不知道”． 【答案】2000 【分析】考查了用样本估计总体的知识，首先计算样本中不知道的学生所占的百分比，再进一步估算总体中不知道的学生人数．根据样本中不知道的学生所占的百分比估算总体百分比计算即可得解． 【详解】解：估计该校全体学生中对“世界环境日”“不知道”的学生约为（名）． 故答案为：2000． 【跟踪专练1】某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有名学生，估计喜欢种植的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．用乘以样本中喜欢“种植”的人数占比即可得到答案． 【详解】解：（人）， ∴估计喜欢“种植”的人数为人， 故选：B． 【跟踪专练2】为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有__________人． 【答案】2000 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出七年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可． 【详解】解：参加竞赛的总人数为：（人） 则七年级学生总人数为：， ∴该校获得奖励的七年级学生有：（人） 故答案为：2000 【跟踪专练3】为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：∵打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条， ∴有标记的鱼占， ∵共有n条鱼做上标记， ∴鱼塘中估计有n÷＝（条）． 故选：A． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 【题型14.用样本的“率”估计总体相应的“率”】 【典例】某工厂生产了一批产品，从中随机抽取了件来检查，发现有件优等产品，试估计这批产品的优等率是（    ） A．85% B．90% C．95% D．98% 【答案】B 【分析】本题考查用样本估计总体的统计思想，通过计算样本的优等率来估计总体的优等率，优等率即优等品数量占总数量的百分比． 【详解】解：∵抽取的件样本中优等品有件． ∴样本优等率为 ∴用样本估计总体，这批产品的优等率估计为， 故选：B． 【跟踪专练1】某校共有学生1800人，为了了解学生用手机参与“空中课堂”学习的情况，随机调查了该校200名学生，其中120人用手机参与“空中课堂”学习，由此估计该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为______． 【答案】 1080 【分析】本题考查用样本估计总体． 用该校的总人数乘以参与“空中课堂”学习的人数所占的百分比即可． 【详解】解：该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为（人）． 故答案为：1080． 【跟踪专练2】永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩 90≤x≤100 80≤x<90 70≤x<80 60≤x<70 x<60 人数 25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有________人． 【答案】480 【分析】用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案． 【详解】600×=480（人） 故答案为：480． 【点睛】本题考查了频数分布图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体； 【跟踪专练3】某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息，下列对这次数学测试描述不正确的是（    ）    A．本次抽查了50名学生的成绩 B．估计测试及格率（60分以上为及格）为 C．抽取学生的成绩的中位数落在第三组 D．抽取学生的成绩的众数是第三组的数 【答案】D 【分析】将各组的人数相加即可判断选项A；利用60分以上的人数除以抽查的总人数即可判断选项B；根据中位数的定义即可判断选项C；根据众数的定义即可判断选项D． 【详解】解：本次抽取的学生人数为（人），则选项A正确； 估计测试及格率（60分以上为及格）为，则选项B正确； 将抽取学生的成绩从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数 ，， 抽取学生的成绩的中位数落在第三组，选项C正确； 因为不能确定出现次数最多的数在哪一组， 所以抽取学生的成绩的众数不一定是第三组的数，选项D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、利用样本估计总体、中位数与众数，读懂频数分布直方图是解题关键． 【题型15.用样本频数估计总体频数】 【典例】2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”是蛇的形象表达，如图所示．在对某校九年级学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有50名．若该校共有九年级学生1000名，据此样本估计，该校知道上述传统文化知识的九年级学生大约有______名． 【答案】250 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用1000乘以样本中知道上述传统文化知识的学生人数占比即可得到答案． 【详解】解：名， ∴该校知道上述传统文化知识的九年级学生大约有250名， 故答案为：250． 【跟踪专练1】某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了样本估计总体，通过摸球试验中黄球的频率估计总体中黄球的比例，从而计算红球个数． 【详解】∵随机摸出5个球中有3个黄球， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计袋中黄球个数为（个）， ∴红球个数为（个）． 故选：C． 【跟踪专练2】学校为七年级学生订做校服，校服有小号、中号、大号、特大号四种，随机抽取了100名学生调查他们的身高，得到如下表格，已知该校七年级学生有800名，那么中号校服大约应订制_______________套． 型号 身高（） 频数（人数） 小号 22 中号 45 大号 28 特大号 5 【答案】360 【分析】首先确定样本中中号校服的人数为45人，求出七年级学生穿中号校服的频率；然后用该校七年级的学生人数乘上述频率，估算出中号校服大约需要几套． 【详解】解：七年级学生在抽取的100个样本中，中号校服有45套， ∴穿中号校服的频率， ∴应订制中号校服（套）． 故中号校服大约应定制360套， 故答案为：360． 【点睛】题主要考查了频数统计表的知识，需要掌握样本估计总体的思想． 【跟踪专练3】某小区居民利用“爱健康APP”开展“健康走出来”活动，为了解居民的行走步数情况，文文同学调查了部分居民某天行走的步数（单位：千步），并将样本数据整理绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图. ①文文此次一共调查了200位小区居民；②行走步数为4~8千步的人数为50人；③行走步数为8~16千步的人数超过调查总人数的一半；④若该小区有3000名居民，则行走步数为0~4千步的人数约为380人.根据统计图提供的信息，上述推断合理的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据条形图和扇形图的数据计算出有关结果后依次对①②③④的判断进行比较即可得解 . 【详解】解：①由70÷35%=200可知文文此次一共调查了200位小区居民，合理； ②由200×25%=50知行走步数为4~8千步的人数为50人，合理； ③由35%+20%=55%>50%可知行走步数为8~16千步的人数超过调查总人数的一半，合理； ④由可知若该小区有3000名居民，则行走步数为0~4千步的人数约为420人，不合理； 故选A. 【点睛】本题考查统计图的应用，熟练掌握条形图与扇形图的有关知识和计算是解题关键. 【解答题】 1．某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生的成绩（满分为分）． 收集数据： 七年级：，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： (1) ， ， ， ； (2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由； (3)若规定测试成绩分及其以上为优秀，请你根据抽查学生的测试成绩估计参加防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)；；； (2)八年级的成绩比较好，理由见解析 (3)成绩为优秀的学生约有人 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数和方差的定义进行计算即可； （2）从平均数、中位数、众数和方差四个维度比较两个年级的成绩，得出结论； （3）根据抽取学生中成绩优秀的占比，估算全校的成绩为优秀的学生数即可． 【详解】（1）解：将七年级名学生的成绩从小到大排列得， ，，，，，，，，，， 这组数的第个数为，第个数为， ∴七年级的中位数， 八年级的平均数， 八年级的方差， ∵八年级名学生的成绩中，分出现次，出现次数最多， ∴八年级的众数， ∴，，，； （2）解：八年级的成绩较好，理由：从平均数和众数上看，七年级和八年级一致；从平均数上看，八年级高于七年级；从方差上看，八年级小于七年级，成绩更加稳定，因此八年级的成绩比较好． （3）解：由题意可知，抽取的学生中，七年级优秀的人数为人，八年级优秀的人数也为人， 则全校学生优秀人数约为：（人）． 答：成绩为优秀的学生约有人． 2．4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成如下表格： 月阅读数量（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 8 15 14 10 3 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)被调查的学生月平均阅读数量为_______本； (2)被调查的学生月阅读数量的中位数是_______本，众数是_______本； (3)在平均数、中位数这两个统计量中，_______更能反映被调查学生月阅读数量的一般水平； (4)若该中学共有学生1000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本． 【答案】(1)2.7 (2)3；2 (3)平均数 (4)2700本 【分析】本题主要考查平均数、中位数，众数，用样本总体，解题的关键是掌握加权平均数、中位数、众数的定义与意义． （1）根据加权平均数的定义列式计算即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据中位数和平均数的意义求解即可； （4）总人数乘以样本平均数即可． 【详解】（1）解：被调查的学生月平均阅读数量为： （本）． 故答案为2.7． （2）解：被调查的学生月阅读数量的中位数是（本）， 众数是2本． 故答案为：3；2． （3）解：在平均数、中位数这两个统计量中，平均数更能反映被调查学生月阅读数量的一般水平， 故答案为：平均数． （4）解：（本）． 答：估计四月份该校学生共阅读课外书籍2700本． 3．某校“信息”兴趣小组从该校七年级学生中随机抽查20名学生进行了睡眠时间调查．数据如下（单位：h）： 9.5  8.5  8.5  7.5  7.3  8.3  9.1  6.5  7.8  8.5 8.0  7.1  6.3  8.2  5.6  8.5  8.2  7.6  7.4  6.6 (1)整理上面的数据，完成以下表格： 睡眠时间 人数 (2)根据（1）中信息，画出频数分布直方图； (3)该校七年级抽查的学生中，睡眠时间在8小时及以上的有______人． 【答案】(1)1，3，6，8，2 (2)作图见解析 (3)10 【分析】（1）对给定的数据进行整理，统计出不同睡眠时间区间的人数； （2）根据整理后的数据绘制频数分布直方图； （3）通过频数分布表直接读取符合条件的数据频数，注意区间端点的包含关系． 【详解】（1）解：在的分组中，5.6满足条件，人数为1；在的分组中，6.3、6.5、6.6满足条件，人数为3；在的分组中，7.5、7.3、7.8、7.1、7.6、7.4满足条件，人数为6；在的分组中，8.5、8.5、8.3、8.5、8.0、8.2、8.5、8.2满足条件，人数为8；在的分组中，9.5、9.1满足条件，人数为2． （2）解：如图所示，频数分布直方图为所求： （3）解：睡眠时间在8小时及以上为和这两组， ∴在抽查的学生中，人数为（人）， 4．某校组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩（单位：分）都不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机选取其中200名学生的海选成绩（总分为100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表如下： 抽取的200名学生海选成绩统计表 组别 海选成绩/分 人数 百分比 组 10 组 30 组 40 组 组 70 请根据所给信息解答下列问题： (1)填空：____________，____________，____________． (2)若把统计表每组中各个成绩用这组数据的组中值代替，请估计被选取的200名学生海选成绩的平均数． 【答案】(1)50；15；35 (2)（分） 【分析】（1）用总人数乘以组的百分比即可得到的值；用的频数除以总人数即可求出的值；用的频数除以总人数即可求出的值； （2）根据加权平均数的计算方法，可以计算出被选取的名学生成绩的平均数． 【详解】（1）解：50，15，35． 由题意可知，样本总人数为：（人） ， ，即； ，即 （2）解：被选取的名学生海选成绩的平均数约为（分）． 答：所选取的200名学生的平均成绩约82分． 【点睛】本题考查频数分布表、加权平均数，掌握“”是解答本题的关键． 5．在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 【答案】与 【分析】求出组内离差平方和最小值． 【详解】解：数据排序为105，110，120，125，135，140．分组列表如下： 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为与． 6．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： A B C D E 平均分 方差 数学 71 72 69 68 70 2 英语 88 82 94 85 76 85 （公式：方差，其中是平均数．） (1)求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差． (2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分个人成绩平均成绩标准差（说明：标准差为方差的算术平方根）．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 【答案】(1)数学成绩的平均分为70分，英语成绩的方差为36分； (2)A同学在本次考试中，数学学科考得更好，理由见解析 【分析】（1）由平均数的概念计算平均数，再根据方差的定义得出即可； （2）根据标准分的计算公式：标准分个人成绩平均成绩标准差，计算数学和英语的标准分，然后比较． 【详解】（1）解：数学成绩的平均分为：； 英语成绩的方差为：； 答：数学成绩的平均分为70分，英语成绩的方差为36分； （2）解：A同学数学标准分为：， A同学英语标准分为：， 因为，所以，A同学在本次考试中，数学学科考得更好． 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13数据分析同步讲义（2） 【4.2方差4.7统计的简单应用】 【题型01 求方差】......................................................3 【题型02 利用方差求未知数据的值】......................................4 【题型03 根据方差判断稳定性】..........................................4 【题型04 运用方差做决策】..............................................5 【题型05 标准差】......................................................6 【题型06 离差平方和及其应用】..........................................6 【题型07 求四分位数与画箱线图】........................................7 【题型08 利用数据描述求频数】..........................................7 【题型09 利用数据描述求频率】..........................................8 【题型10 频数分布表】..................................................8 【题型11 频数分布直方图】..............................................9 【题型12 用样本平均数与方差估计总体】.................................10 【题型13 .由样本百分比估计总体数量】...................................11 【题型14 用样本的“率”估计总体相应的“率”】.........................12 【题型15 用样本频数估计总体频数】.....................................13 【解答题6题】.........................................................14 ★知识梳理 知识点01:方差 1.意义：衡量一组数据波动大小（离散程度），方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，越稳定、越集中。 2.方差公式 设数据：x1​,x2​,…,xn​，平均数 s2=[(x1−)2+(x2−)2+⋯+(xn−)2] 3.标准差：方差的算术平方根 s=​，单位与原数据一致。 4.常用结论 一组数据都加 / 减同一个数：平均数变，方差不变。 一组数据都乘同一个数 a：平均数乘 a，方差乘 a2。 知识点02:数据分类 1.按收集方式 观测数据：通过观察、测量、调查得到，没人为干预。 实验数据：通过控制变量做实验得到。 2.按取值形式 离散型数据：数值是孤立、可数的整数（如人数、个数）。 连续型数据：可取某一范围内任意实数（如身高、时间、成绩）。 3.按描述对象 定量数据：用数值表示（如身高、分数）。 定性数据：用类别、属性表示（如性别、品牌、等级） 知识点03:四分位数与箱线图 1.四分位数步骤 (1)把数据从小到大排序。 (2)找中位数（第 2 四分位数 Q2​）。 (3)中位数左边数据的中位数：下四分位数 Q1​。 (4)中位数右边数据的中位数：上四分位数 Q3​。 2.极差：最大值 − 最小值。 3.四分位距：IQR=Q3−Q1​，反映中间 50% 数据波动。 4.箱线图（五数概括）最小值、Q1​、中位数 Q2​、Q3​、最大值。 5.作用：直观比较多组数据的集中趋势、离散程度、对称性、异常值 知识点04:数据的频数分布 1.频数：某个数据 / 组别出现的次数。 2.频率：频率=​，所有频率和为 1。 3.频数分布表步骤 (1)求极差（最大值−最小值）。 (2)确定组距、组数。 (3)分组（注意不重不漏）。 (4)列频数、算频率。 4.频数直方图 横轴：数据分组；纵轴：频数。 矩形连续无空隙，面积代表频数大小。 5.用途：看出数据分布形态（集中、对称、偏斜）。 知识点05:总体的平均数与方差的估计 1.基本概念 总体：要考察的全体对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体。 样本容量：样本中个体数量。 2.统计思想：用样本估计总体（抽样调查）。 3.计算公式 知识点06:统计的简单应用 1.统计解决问题的一般步骤： 收集数据 → 整理表示（表、图）→ 计算（平均数、方差、频数等）→ 分析判断 → 决策。 2.常见应用： 比较成绩 / 产量 / 质量的平均水平（用平均数）。 比较稳定性（用方差）。 根据频数、频率做预测、估算总数。 结合直方图、箱线图说明数据分布。 3.答题要点：不只算数值，要结合实际意义下结论、提建议。 【题型1.求方差】 【典例】计算方差的过程中有：，则________． 【跟踪专练1】小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 【跟踪专练2】已知数据：，，，，，则它们的方差为_________． 【跟踪专练3】已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【题型2.利用方差求未知数据的值】 【典例】小明用s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]计算一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝__________________． 【跟踪专练1】在计算一组数据的方差时，，则x表示的数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 _____． 【跟踪专练3】若一组数据的方差与另一组数据的方差相等，则x的值为(    ) A．1 B．6 C．1或6 D．5或6 【题型3.根据方差判断稳定性】 【典例】已知甲、乙两支仪仗队各有10名队员，这两支仪仗队队员身高的平均数都是，方差分别为0.8和1.1，则这两支仪仗队身高更整齐的是______仪仗队． 【跟踪专练1】义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（   ） A．甲班 B．乙班 C．两班一样 D．无法确定 【跟踪专练2】甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示： ： 设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则_______．（填“”“”或“”） 【跟踪专练3】某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型4.运用方差做决策】 【典例】某校从甲、乙两位同学中选拔一位参加年市级青少年科技运动会气功枪项目比赛，甲气功枪射击训练平均成绩是，方差是；乙气功枪射击训练平均成绩是，方差是，该校应选______参加比赛．（填“甲”或“乙”） 【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练2】甲、乙两个旅游团的游客人数相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这两个团游客年龄的方差分别是，．导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，若在这两个团中选择一个，则她应选______队． 【跟踪专练3】甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B． C．丙 D．丁 【题型5.标准差】 【典例】一组数据的方差为4，则标准差是_______________． 【跟踪专练1】测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（   ）． A．方差 B．中位数 C．标准差 D．平均数 【跟踪专练2】已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 【跟踪专练3】若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【题型6.离差平方和及其应用】 【典例】已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是_______． 【跟踪专练1】下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【跟踪专练2】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为___________． 【跟踪专练3】在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【题型7.求四分位数与画箱线图】 【典例】有一组被墨水污染的数据：，，，，★，★，，，，，，，这组数据的箱线图如图所示，下列说法正确的是______． ①这组数据的下四分位数是4；②这组数据的中位数是10； ③这组数据的上四分位数是15：④被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13． 【跟踪专练1】将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是_____． 【跟踪专练3】关于如图所示的箱线图，下列说法正确的是（   ） A．这组数据最大值是163 B．这组数据的平均数是150 C．到的数据较到的数据集中 D．此箱线图不能反映这组数据的分布情况 【题型8.利用数据描述求频数】 【典例】小王将一个骰子随意抛了10次，出现的点数分别是6，2，1，2，3，4，3，5，2，4．在这10次中，“3”出现的频数是_____． 【跟踪专练1】某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 【跟踪专练2】某班50名学生的身高被分为5组，第组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是___________． 【跟踪专练3】八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型9.利用数据描述求频率】 【典例】某班50名学生一次数学测试，在分这组人数有11人，则这组频率为_________． 【跟踪专练1】在一次调查中，出现种情况的频率为0.3，其余情况出现的频数之和为70，则调查的总数为（    ） A．100 B．90 C．80 D．70 【跟踪专练2】某学校200名学生参加生命安全知识测试，测试成绩均不低于60分且小于100分（分数均为整数），测试成绩情况如下表所示．结合表中的信息，测试成绩在分的频率是______，这个分数段的学生有______名． 成绩 59.5~69.5分 69.5~79.5分 79.5~89.5分 89.5~99.5分 频率 0.1 0.3 0.2 【跟踪专练3】下列说法中正确的是（    ） A．频数越大，频率越大 B．随着试验次数的增多，某事件发生的频率就会不断增大 C．频率与总次数成反比 D．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 【题型10.频数分布表】 【典例】某女子排球队的30名运动员的身高情况如下表，填写下表中的“组中值”． 身高 人数 组中值 4 10 9 7 【跟踪专练1】已知一组数据的最大值为130，最小值为45，若选取组距为10，则这组数据可以分为（    ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 【跟踪专练2】一个频数分布表共分为6组，其中5组的频数分别为20，40，30，60，28．若频数为28这组的频率为0.14，则样本容量为____________，剩下1组的频率为____________． 【跟踪专练3】某班统计了该班全体学生60秒内高抬腿的次数，绘制出频数分布表： 次数 频数 1 2 4 14 17 13 4 下列说法错误的是（   ） A．组距是20 B．该班有55名学生 C．组数是6 D．60秒内高抬腿次数在范围内的学生占该班学生的 【题型11.频数分布直方图】 【典例】如图是某校七年级（1）班50名同学体育模拟测试成绩统计图（满分为40分，成绩均为整数），若高于34分的成绩为合格，则该班此次成绩的合格率是___________． 【跟踪专练1】某校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组，绘制出如图所示的频数分布直方图，已知这一组中的4个数据为：83，84，86，88，则抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数为（    ） A．83.5 B．84 C．85 D．86 【跟踪专练2】李老师为了了解本班学生一天零花钱（单位：元）的花费情况，对本班学生展开调查，将他们一天花费的零花钱以2元为组距，绘制了频数分布直方图（如图），已知从左到右各组的频数之比为．若每组的平均花费额按组中值计算，则该班学生这天平均花费额是____________元． 【跟踪专练3】“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，现已成为城市交通出行的新方式．小张对他所在的小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（） A．组数为5 B．每个小组的组距为5 C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D．样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数多于40次~60次的人数 【题型12.用样本平均数与方差估计总体】 【典例】某灯泡厂为测试一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，若抽出的50只灯泡的平均使用寿命为，则这批灯泡的平均使用寿命大约是______． 【跟踪专练1】李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【跟踪专练2】某班开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从全班40名同学中选取8名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，从中可以估计这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________． 节水量/ 0.1 0.2 0.3 0.4 家庭数/个 1 3 3 1 【跟踪专练3】随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 【题型13.由样本百分比估计总体数量】 【典例】为了了解某所中学生对6月5日“世界环境日”是否知道，从该校全体20000名学生中，随机抽查了100名学生，结果显示有10名学生“不知道”，由此，估计该校全体学生中对“世界环境日”约有_______名学生“不知道”． 【跟踪专练1】某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该校有名学生，估计喜欢种植的人数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有__________人． 【跟踪专练3】为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为（　　） A． B． C． D． 【题型14.用样本的“率”估计总体相应的“率”】 【典例】某工厂生产了一批产品，从中随机抽取了件来检查，发现有件优等产品，试估计这批产品的优等率是（    ） A．85% B．90% C．95% D．98% 【跟踪专练1】某校共有学生1800人，为了了解学生用手机参与“空中课堂”学习的情况，随机调查了该校200名学生，其中120人用手机参与“空中课堂”学习，由此估计该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为______． 【跟踪专练2】永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩 90≤x≤100 80≤x<90 70≤x<80 60≤x<70 x<60 人数 25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有________人． 【跟踪专练3】某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息，下列对这次数学测试描述不正确的是（    ）    A．本次抽查了50名学生的成绩 B．估计测试及格率（60分以上为及格）为 C．抽取学生的成绩的中位数落在第三组 D．抽取学生的成绩的众数是第三组的数 【题型15.用样本频数估计总体频数】 【典例】2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”是蛇的形象表达，如图所示．在对某校九年级学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有50名．若该校共有九年级学生1000名，据此样本估计，该校知道上述传统文化知识的九年级学生大约有______名． 【跟踪专练1】某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【跟踪专练2】学校为七年级学生订做校服，校服有小号、中号、大号、特大号四种，随机抽取了100名学生调查他们的身高，得到如下表格，已知该校七年级学生有800名，那么中号校服大约应订制_______________套． 型号 身高（） 频数（人数） 小号 22 中号 45 大号 28 特大号 5 【跟踪专练3】某小区居民利用“爱健康APP”开展“健康走出来”活动，为了解居民的行走步数情况，文文同学调查了部分居民某天行走的步数（单位：千步），并将样本数据整理绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图. ①文文此次一共调查了200位小区居民；②行走步数为4~8千步的人数为50人；③行走步数为8~16千步的人数超过调查总人数的一半；④若该小区有3000名居民，则行走步数为0~4千步的人数约为380人.根据统计图提供的信息，上述推断合理的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答题】 1．某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生的成绩（满分为分）． 收集数据： 七年级：，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，． 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： (1) ， ， ， ； (2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由； (3)若规定测试成绩分及其以上为优秀，请你根据抽查学生的测试成绩估计参加防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 2．4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成如下表格： 月阅读数量（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 8 15 14 10 3 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)被调查的学生月平均阅读数量为_______本； (2)被调查的学生月阅读数量的中位数是_______本，众数是_______本； (3)在平均数、中位数这两个统计量中，_______更能反映被调查学生月阅读数量的一般水平； (4)若该中学共有学生1000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本． 3．某校“信息”兴趣小组从该校七年级学生中随机抽查20名学生进行了睡眠时间调查．数据如下（单位：h）： 9.5  8.5  8.5  7.5  7.3  8.3  9.1  6.5  7.8  8.5 8.0  7.1  6.3  8.2  5.6  8.5  8.2  7.6  7.4  6.6 (1)整理上面的数据，完成以下表格： 睡眠时间 人数 (2)根据（1）中信息，画出频数分布直方图； (3)该校七年级抽查的学生中，睡眠时间在8小时及以上的有______人． 4．某校组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩（单位：分）都不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机选取其中200名学生的海选成绩（总分为100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表如下： 抽取的200名学生海选成绩统计表 组别 海选成绩/分 人数 百分比 组 10 组 30 组 40 组 组 70 请根据所给信息解答下列问题： (1)填空：____________，____________，____________． (2)若把统计表每组中各个成绩用这组数据的组中值代替，请估计被选取的200名学生海选成绩的平均数． 5．在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 6．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： A B C D E 平均分 方差 数学 71 72 69 68 70 2 英语 88 82 94 85 76 85 （公式：方差，其中是平均数．） (1)求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差． (2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分个人成绩平均成绩标准差（说明：标准差为方差的算术平方根）．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $