精品解析：吉林长春市力旺实验初级中学2025-2026学年九年级下学期数学学科综合练习题

数学学科综合练习题 一．选择题（共8小题，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数加法法则． 根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2a+3a＝5a2 B. a2•a3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （a2）3＝a6 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则判断A；根据同底数幂的乘法法则判断B；根据同底数幂的除法法则判断C；根据幂的乘方的法则判断D． 【详解】A．2a+3a＝5a，故A错误； B．a2•a3＝a5，故B错误； C．a6÷a2＝a4，故C错误； D．（a2）3＝a6，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的地面温度，以及温度随海拔的变化规律，列出对应关系式即可． 【详解】解：∵ 地面温度为，每升高1千米温度下降， ∴ 高度为千米处，温度一共下降， ∴ 该处温度． 5. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. 3a＜3b B. ac2＞bc2 C. a﹣c＞b﹣c D. ﹣ac＜﹣bc 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】A、若a＞b，两边同乘以3得3a>3b，故本选项不符合题意； B、若a＞b，则ac2≥bc2（当c=0时，ac2=bc2），故本选项不符合题意； C、若a＞b，两边同减去c得：a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意； D、若a＞b，当c＜0时，则-c>0得-ac>-bc，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是关键；由题意得米，，由正弦函数关系式即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：B． 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意； 而不一定成立，故C符合题意． 故选：C． 8. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（共6小题，共18分） 9. 当式子有意义时，实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为零，求值即可. 【详解】解：当式子有意义时， x-2≠0，即：x≠2， 故答案为：x≠2. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为零是解题关键． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 11. 请写出的一个同类项_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 根据题意，写出一个含有字母且的指数为的指数为2的单项式即可求解． 【详解】写出的一个同类项可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 13. 如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得正九边形每个内角的度数是解题的关键． 利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求得正九边形每个内角的度数，然后利用角的和差即可求得答案． 【详解】解：正九边形每个内角的度数为， 则， 故答案为：． 14. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于，连接交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由等边三角形及正方形的性质求出，，从而判断①；证可判断②；作，设，则，，，由求出，从而求得的长，据此可判断③，证，过点作于点，求出，根据求解可判断④． 【详解】∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，， ∴， 则，故①正确； ， ， 又， ，故②正确； 如图，过点作于， 则， 则设，则， ∵ ∴， ， 由知， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 过点作于点， ， ， 又°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，故④正确； 故正确的是①②④． 三．解答题（共10小题，共72分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等，请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种， ∴． 17. 小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市，公司的运输速度是公司的倍，选用公司送此文件会比公司早到5小时，求公司的运输速度． 【答案】60千米/小时 【解析】 【分析】设B公司的运输速度为x千米/小时，B公司的时间为，A公司的时间为，根据A公司送此文件会比B公司早到5小时可以建立等式． 【详解】解：设B公司的运输速度为x千米/小时，则公司的运输速度是千米/小时，根据题意得： 解得 经检验是原方程的解且符合题意， 答：B公司的运输速度为60千米/小时． 18. 如图，在中，过点作于点，交的延长线于点，且，连结，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， 点在的延长线上，且， ， 四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形说明四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出答案．本题主要考查了平行四边形的性质和判定以及菱形的判定，熟练掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 【详解】略 19. 如图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均是格点，点是非格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，在中，作出弦，使得； （2）在图②中，过点作的切线，点为格点； （3）在图③中，是的一条切线，点为切点，过点作的另一条切线，点为切点． 【答案】（1） 如图，弦即为所求； （2） 如图，直线即为所求； （3） 如图，直线即为所求； 【解析】 【分析】（1）由正方形网格的特征即可求解； （2）连接，则由勾股定理以及逆定理即可证明，而为半径，即可得到直线即为所求； （3）取格点，由对称性可得在圆上，连接交格线于点，作直线交圆于点，则直线即为所求；由对称性可得，则，可证明，则，再由是半径即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取名学生对食堂进行满意度评分（满分分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．高中部名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：，，，） b．高中部名学生所评分数在这一组的是： c．初中部、高中部各名学生所评分数的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 初中部 高中部 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________； （2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于分为“非常满意”． ①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为、，则________；（填“>”“<”或“=”） ②高中部共有名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数． 【答案】（1） （2）①；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第位数的平均数，即，计算求解即可； （1）①利用中位数进行决策即可；②根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，高中部评分的中位数为第位数的平均数，即， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：由题意知，初中部评分的中位数为，高中部评分的中位数为， ∴， 故答案为：； ②解：∵， ∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键． 21. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】（1） 描点并连线如图所示： （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 22. 【模型探究】如图①，在中，，，为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ， 证明过程缺失 ． 【模型应用】如图②，在中，的半径为2，点为圆上一动点，求最小值． 小明按照上述结论去构造相似三角形，得到一条长度等于的线段，下面是他的具体操作步骤． 第一步：连接圆心与动点； 第二步；以半径为公共边，构造“反”型相似； 第三步：由可得，即．进而在上找到点的位置； 第四步：可得：，因此当、、三点共线时最小． （1）请你补全证明过程． （2）请你根据小明的步骤，利用无刻度的直尺和圆规找出点的位置，并计算出的最小值是______． 【答案】（1） 证明：， ， ∴， 又∵， ∴， ， ． （2） 如图所示，点M即为所求； 【解析】 【分析】（1）可证明，结合，可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）根据题意可得，且点M在上，结合线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；根据题意可得当、、三点共线时最小，最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，，且当、、三点共线时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为． 23. 在中，，，，点是边上的中点，点在边上运动（点不与点、点重合），作点关于点的中心对称点，以为斜边构造等腰直角三角形，使点与点在的同侧． （1）______； （2）连接，求证：； （3）当与的一条边垂直时，求的值； （4）连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）4 （2） 证明：∵点是边上的中点，点与点关于点中心对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）的值为或； （4）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2），求得，据此求解即可证明； （3）分当或时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可； （4）当点在左侧，作出适当辅助线，利用相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形求解即可；当点在右侧，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，此时点在上，作于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，作于点，如图， ∴，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：当点在左侧，连接，，将线段逆时针旋转得到线段，连接，作交延长线于点，延长交于点，作交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴也是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 当点在右侧，如图， 同理， ∴； 综上，的值为． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，过点向轴作垂线，垂足为点，连接、．以和为边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若，求的周长； （3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，设图象上的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的值． （4）当时，连结、、、，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或； （4）的值为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求得点A与点B的水平距离为，点A与点B的垂直距离为，根据，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）分和两种情况讨论，据此求解即可； （4）利用平移的性质求得点C的坐标为，直线与y轴的交点的坐标为，再利用三角形的面积比列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点A，B横坐标分别为m，， ∴，， ∴点A与点B的水平距离为， 点A与点B的垂直距离为， 由勾股定理得， ∵， ∴，解得， ∵轴， ∴， ∴的周长； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为， ∵点、是该抛物线上不重合的两点， ∴， 分以下两种情况讨论， 当时，图象的横坐标范围是， 若抛物线顶点在此范围内， 即，解得，此时，范围内的最低点纵坐标为顶点纵坐标， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， ∴点到对称轴的距离更远， ∴最高点在处取得， ∴最高点纵坐标为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）或； 若抛物线顶点不在此范围内，即， 此时，图象中随的增大而增大，最高点与最低点的纵坐标之差为， 令，解得，不符合题意，舍去； 当时，图象的横坐标范围是，若抛物线顶点在此范围内， 即，解得， 此时，范围内的最低点纵坐标为顶点纵坐标， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， ∴点到对称轴的距离更远， ∴最高点在处取得， ∴最高点纵坐标为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）或； 若抛物线顶点不在此范围内，同理无解； 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴线段平行且等于线段， ∵从点平移到点， ∴横坐标的变化量为， ∴点B按同样的规律平移得到点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 对于，以y轴上的为底边，底边的长为， 作底边上的高为点C到y轴的距离，即，， 设直线解析式为，交y轴于点E， 将，代入：， 解得， ∴点的坐标为， 连接， 将分割成两个同底的三角形： 和它们的公共底为，长度为， 它们的高分别是点A和点B到y轴的距离， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 当时， 当时， 整理得， 解得，（舍去）； 当和时， 当时，整理得， 解得，； 综上，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科综合练习题 一．选择题（共8小题，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2a+3a＝5a2 B. a2•a3＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （a2）3＝a6 4. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（ ） A. B. C. D. 5. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A. 3a＜3b B. ac2＞bc2 C. a﹣c＞b﹣c D. ﹣ac＜﹣bc 6. 如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 若连接，则 8. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 二、填空题（共6小题，共18分） 9. 当式子有意义时，实数的取值范围是_____． 10. 计算：_______． 11. 请写出的一个同类项_____________． 12. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 13. 如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中___________度． 14. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于，连接交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 三．解答题（共10小题，共72分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有A、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等，请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 17. 小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市，公司的运输速度是公司的倍，选用公司送此文件会比公司早到5小时，求公司的运输速度． 18. 如图，在中，过点作于点，交的延长线于点，且，连结，．求证：四边形是菱形． 19. 如图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均是格点，点是非格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，在中，作出弦，使得； （2）在图②中，过点作的切线，点为格点； （3）在图③中，是的一条切线，点为切点，过点作的另一条切线，点为切点． 20. 某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取名学生对食堂进行满意度评分（满分分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．高中部名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：，，，） b．高中部名学生所评分数在这一组的是： c．初中部、高中部各名学生所评分数的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 初中部 高中部 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________； （2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于分为“非常满意”． ①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为、，则________；（填“>”“<”或“=”） ②高中部共有名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数． 21. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 22. 【模型探究】如图①，在中，，，为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ， 证明过程缺失 ． 【模型应用】如图②，在中，的半径为2，点为圆上一动点，求最小值． 小明按照上述结论去构造相似三角形，得到一条长度等于的线段，下面是他的具体操作步骤． 第一步：连接圆心与动点； 第二步；以半径为公共边，构造“反”型相似； 第三步：由可得，即．进而在上找到点的位置； 第四步：可得：，因此当、、三点共线时最小． （1）请你补全证明过程． （2）请你根据小明的步骤，利用无刻度的直尺和圆规找出点的位置，并计算出的最小值是______． 23. 在中，，，，点是边上的中点，点在边上运动（点不与点、点重合），作点关于点的中心对称点，以为斜边构造等腰直角三角形，使点与点在的同侧． （1）______； （2）连接，求证：； （3）当与的一条边垂直时，求的值； （4）连接，当时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，过点向轴作垂线，垂足为点，连接、．以和为边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若，求的周长； （3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，设图象上的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的值． （4）当时，连结、、、，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $