重难点02 四边形综合（专项训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 专题02 四边形综合 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：四边形折叠中求长度问题 易｜混｜易｜错 1）把未知边长设为，用折叠性质把相关边长用表示，在直角三角形中列勾股方程求解； 2）若有平行线/等角，优先找相似三角形（如型、型相似），用比例关系快速求边长。 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 3．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 5．（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接．根据折叠的性质和垂直平分线的性质，证明是等边三角形，即可得到结论； （2）连接．设，证明，从而得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 由图形折叠的特征可得：，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． 设，则． 由图形折叠的特征可得：，，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 考点二：四边形折叠中求角度问题 易｜混｜易｜错 1）利用折叠得到等角，结合矩形/平行四边形的对边平行、直角等性质，通过内角和、外角定理推导角度； 2）遇到折叠后点落在边上/对角线上的情况，优先找等腰三角形（折叠+平行线=等腰）。 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以矩形折叠为背景，先利用矩形性质与中点条件得出边长，再根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出 且，通过同角的余角相等，证得，因此，最后在中计算从而得到． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， 又∵ 折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得： ∴， ∵， ∴， ∵矩形纸片沿边折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴． 2．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 3．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三：四边形折叠中求面积问题 易｜混｜易｜错 1）折叠求三角形面积：折叠前后图形全等，面积相等，直接利用“全等图形面积相等”转化计算，无需额外推导； 2）折叠求四边形面积：折叠前后四边形全等，面积相等，直接转化为原四边形（或已知全等四边形）的面积计算；若为新四边形，可通过“分割成两个三角形”，分别计算三角形面积再求和。 1．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，一张矩形纸片，厘米，厘米．将边沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕，再将沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕．则四边形的面积为______平方厘米． 【答案】 【分析】证明四边形是正方形，得到，，，由折叠可知，，求出，得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴四边形是正方形， ∴，， 由折叠可知， 如图，是等腰直角三角形，，设，则，延长到点，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、矩形的折叠、解直角三角形、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，求出的长度是解题的关键． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，有一矩形纸片，对其进行第一次折叠操作，使与重合，展开后，得到折痕；再对纸片进行第二次折叠操作，使点A的对应点恰好落在上，且折痕经过点B，展开后得到折痕． （1）如图（1），延长交于点G，则________°； （2）如图（2），对矩形纸片进行第三次折叠操作，使得点D的对应点落在上，且折痕经过点C，展开后得到折痕，已知点在点左侧．若，则矩形纸片的面积是________． 【答案】 60 【分析】（1）解直角三角形求得，据此求解即可得到； （2）证明四边形是平行四边形，求得，同理，设，则，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，点E是的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，设与交于点P，与交于点Q， 同（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴矩形的面积． 考点四：动点问题 易｜混｜易｜错 1）核心：动中找静，抓住运动过程中的不变量（如线段长度、角度、相似关系）； 2）技巧：用参数表示所有动态量，将几何问题转化为代数函数问题，结合函数图像分析最值、取值范围。 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作矩形，边所在直线交轴于点．设点的坐标为，若矩形的面积始终为，则下列说法不正确的是（   ）． A．当点在轴上时，点的坐标为 B． C．OE的长始终为 D．的取值范围为 【答案】B 【分析】对于A与B，画出点A在轴上的图，由图可得点的坐标为，同时，故A正确，B错误；对于C，作轴于点，容易证明，则，故C正确；对于D，由定弦定角可判断点在以为直径的圆上，从而得到． 【详解】解：对于A与B：如图， 由题意可知，点的坐标为， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为，即，故B错误， 在矩形中，， ∴点的坐标为，故A正确； 对于C：如图，作轴于点， ∵轴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； 对于D：∵，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，设中点为， ∴， ∵点到轴的距离为， 又∵垂线段最短， ∴，即， ∴，故D正确． 3．（2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是线段的点（），则，设，则，然后通过勾股定理得，然后求出的值即可； （）由题意得，，设，则，，证明，所以，则，从而求证； （）由点是线段的点，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的点（）， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴； （2）证明：∵点分别是线段、线段的点（）， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的点； （3）解：∵点是线段的点， ∴如图，当时，在上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，在延长线上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：线段的长为或． 考点五：三角形存在性问题 易｜混｜易｜错 1）等腰三角形：分3类讨论（、、），用两点间距离公式列方程； 2）直角三角形：分3类讨论（、、），用勾股定理/斜率垂直（）列方程； 3）相似三角形：先找固定等角，再分对应边成比例的两种情况（如和）。 1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积S关于运动时间t的函数解析式为； (3)当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 【分析】（1）解方程得出的长度，由菱形的性质与锐角函数综合，可得和的长度，即可得点的坐标； （2）分类讨论，分别由运动时间表示出线段长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可； （3）根据运动时间，确定点和点的坐标，分类讨论，根据等腰三角形的性质即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由解得，，， ∵的长是一元二次方程的根， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴ 答：点的坐标为． （2）解：根据题意可知，，， 如图，作于点，则， ∵，，， ∴， 作轴于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴的面积， 当时，， ∴的面积， 综上所述，， 答：的面积关于运动时间t的函数解析式为． （3）解：如图，当时，，点和点重合，，，， 假设在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握分类讨论的思想方法． 2．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； (3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即即可； （2）根据平移后点的对应点坐标为，代入反比例函数解析式即可求出答案； （3）求出，，是，的直角三角形，则点P在直线上，得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，反比例函数的图象经过点． ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，平移后点的对应点坐标为， ∵平移后点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， （3）解：存在点，使得是，的直角三角形， ∵四边形是矩形，顶点，， ∴，， ∵是，的直角三角形， ∴点P在直线上， ∵， ∴， ∴点P的坐标为或 3．（2026·上海杨浦·二模）如图，在梯形中，，，， (1)当，，时，求的值 (2)若等腰梯形的腰长等于上、下底的比例中项，F为边上一点，E为边上一点； ①若，求证：． ②连接，是否存在等腰梯形，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请写出理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②存在，，理由见解析 【分析】（1）过点A作于点G，过点D作于点H，则四边形是矩形，得出，，再证明，求出，即可求解； （2）①由等腰梯形腰长是上下底的比例中项，得出，结合，得出，过点作延长线于点T，过点作延长线于点R，证明，再求出，，代入化简即可求解； ②设，，，其中，由等腰梯形腰长是上下底的比例中项，得出，同（1）可得，分当时、当时、当时，分别进行讨论判断即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点G，过点D作于点H， ∵在梯形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵等腰梯形腰长是上下底的比例中项， ∴，变形得， ∵， ∴，得， 如图，过点作延长线于点T，过点作于点R， ∵在等腰梯形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； ②存在，理由： 设，，，其中， ∵等腰梯形腰长是上下底的比例中项， ∴， 过点A作于点G，过点D作于点H， 同（1）可得， 当时， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴，即与共线，不存在； 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，得，即，不存在； 当时，如图，过点作于点P， ∴， ∴， ∵， ∴，得， ∵， ∴，得， ∴，得， ∴； 综上，存在，． 考点六：四边形存在性问题 易｜混｜易｜错 1）平行四边形：核心是对角线互相平分，用中点坐标公式： 若为平行四边形顶点，则，，分3类讨论对角线（为对角线、为对角线、为对角线）； 2）特殊平行四边形：在平行四边形基础上，加额外条件： 矩形：对角线相等/邻边垂直； 菱形：邻边相等/对角线垂直； 正方形：同时满足矩形+菱形的条件。 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 2．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； (2)点C的坐标为； (3)点N的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）分别把代入和，计算即可求解； （2）设点，过点作轴的垂线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）分两种情况讨论，①当点在轴上时，过作直线轴交轴于点，过作于点，证明，求得，得到，利用平移的性质求得点N的坐标为；②当点在轴上时，同理即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于， ∴点， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：①当点在轴上时， 如图：过作直线轴交轴于点，过作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴点N的坐标为； ②当点在轴上时， 同理，点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 3．（2025·山东聊城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）利用函数图象即可得解； （3）设，分两种情况：当以为边时，当以为对角线时，分别由平行四边形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数得， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可得：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形 ∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或， 解得：或，即或， 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：， 解得：，即， 综上所述，点的坐标为或或． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积； （3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 考点七：其他存在性问题 易｜混｜易｜错 1）解题步骤： ①先假设存在；②再用性质列等式；③解未知数；④检验未知数是否在范围内。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 3．（2025·山东青岛·一模）如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）首先证明出，然后证明出当时，此时四边形为矩形，得到，，表示出，，然后代入求解即可； （2）如图所示，连接，过点P作交于点H，证明出，得到，表示出，，同理表示出，然后根据代入表示即可； （3）如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F，勾股定理求出，表示出，由角平分线的性质得到，然后根据等面积得到，代数求出，得到，然后证明出，得到，代数求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ 当时，四边形四边形为平行四边形 又∵ ∴此时四边形为矩形 ∴此时 ∴， ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为，设运动时间为， ∴， ∴， ∴代入得， 解得 ∴当时，四边形为矩形； （2）如图所示，连接，过点P作交于点H    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴S与t的函数关系式为； （3）存在，，理由如下： 如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F，    ∵四边形为平行四边形，，，， ∴ ∴ ∴ 当点N在的平分线上时 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． ∴当时，点N在的平分线上． 【点睛】此题考查了二次函数和几何动点问题，平行四边形的性质，动点问题函数图象，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为． ①求正比例函数及反比例函数的表达式； ②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【答案】(1) ①正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为 ②存在，或 (2)见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出正比例函数及反比例函数的表达式即可； ②设点的坐标为，将的面积转化为梯形面积，根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，设点的坐标为，点的坐标为，根据矩形的性质用、表示出点、的坐标，求出直线的解析式，判断得到，，三点共线，根据矩形的性质得到，得到，证明，进而得到． 【详解】（1）解：①把点的坐标代入得， ， 正比例函数的表达式为， 把点的坐标代入得， ， 反比例函数的表达式为． ②设点的坐标为， 过作轴于，过作轴于， ∴， 解得或（负值舍去）， 当时，； 当时，； 在反比例函数图象上存在点，使，或； （2）证明：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，设交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意得：四边形为矩形， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点在直线上，即，，三点共线； 轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 考点八：与中点四边形有关的问题 易｜混｜易｜错 1）任意四边形的中点四边形都是平行四边形，其形状由原四边形的对角线决定： 原四边形对角线相等 → 中点四边形是菱形； 原四边形对角线垂直 → 中点四边形是矩形； 原四边形对角线垂直且相等 → 中点四边形是正方形。 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【详解】如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ． ∴ 在中 ． 故选：B． 3．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）；（3）5 【分析】（1）根据旋转性质或全等三角形的判定与性质证明，，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得结论； （2）根据（1）中结论，得到，，，，从而可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质求得，过H作于M，利用正弦函数定义求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）连接，取的中点M，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质和三角形的外角性质可推导出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 操作2．延长到点F，使，连接． ∵E分别为的中点， ∴，又， ∴, ∴，， ∴，即， ∵D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； ∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 （2）∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形； ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， 过H作于M，则， ∴四边形的面积为； （3）连接，取的中点M，连接，， ∵点P和点Q分别为边和边的中点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 即小路的长度为5． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 考点九：四边形中新定义型问题 易｜混｜易｜错 1）坑点：用已学的四边形知识替代新定义，比如新定义“等邻边四边形”，错误按“邻边相等的平行四边形（菱形）”解题，忽略一般四边形的情况； 2）避坑：严格按题目给的定义解题，不添加额外条件。 1．（2025·山东青岛·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形与正方形的性质得其对角线相等，由等对四边形的定义即可求解； （2）画一个对角线等于，顶点在格点的矩形即可； （3）连接，，证明，得到，即可由等对四边形的定义得出结论． 【详解】（1）解：∵①矩形和③正方形的对角线相等，②菱形和④平行四边形对角线不一定相等， ∴①矩形和③正方形是等对四边形，②菱形和④平行四边形不一定是等对四边形， 故答案为：①③ （2）解：如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可知：． （3）证明：如图，连接，， ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是等对四边形． 【点睛】本题考查新定义，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解新定义，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 2．（2025·山西太原·二模）阅读下列研究性学习报告内容，并完成相应的任务． 课题：关于“等邻边四边形”的研究报告 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1所示的四边形为“等邻边四边形”，其中． 性质探究： 性质：等邻边四边形的两组邻边分别相等． 如图2，，，对角线恰好平分．求证：四边形是“等邻边四边形”． 证明：，．（依据1） 又∵平分，． ，．（依据2） ，，∴四边形是等腰梯形． ，．∴四边形是“等邻边四边形”． 任务： (1)根据“等邻边四边形”的定义，下列四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______．（请填写正确的两个选项） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)填空：材料中的“依据1”是指______，“依据2”是指______； (3)如图3，四边形ABCD是“等邻边四边形”，，，，，请直接写出“等邻边四边形ABCD”的面积． 【答案】(1)B，D (2)两直线平行，内错角相等；等角对等边 (3) 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义判断即可； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，推出四边形是等腰梯形，得到，根据“等邻边四边形”的定义得到四边形是“等邻边四边形”； （3）连接交于O，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由“等邻边四边形”的定义得到菱形和正方形是“等邻边四边形”， 故答案为：B，D； （2）证明：， ， 又平分， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 四边形是“等邻边四边形”． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等角对等边； （3）连接交于O， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， “等邻边四边形”的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，等边三角形的性质，正确地理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键． 3．（2025·河南·模拟预测）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 【答案】（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或4． 【分析】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：； （2）如图， 连接，， ， ， ， 故答案为：； 操作探究：解：如图， 取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：； 拓展延伸 （1）证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 实践应用：解：如图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 考点十：四边形中旋转问题 易｜混｜易｜错 1）错误：把对应边的夹角当成旋转角，而非对应点与旋转中心连线的夹角，导致角度计算错误； 2）正确：旋转角是旋转中心到对应点的连线的夹角，标注旋转中心和对应点，再确定旋转角。 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 2．（2025·山东聊城·二模）在正方形中，边长为4，为对角线，将绕的中点O旋转，当与重合时停止，如图是旋转至的位置，交于点M，交于点N． (1)试猜想在整个旋转过程中与始终相等吗？并说明理由； (2)旋转过程结束时，求点B走过的路径长度． 【答案】(1)相等，见解析 (2) 【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质得出，从而证明猜想正确； （2）由题意可知，旋转结束时，点B与点A重合，点B的路径是以为半径，圆心角为的圆弧，先求出，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1） 理由：为正方形，O是中点 ，， 在和中， ，，       （2）旋转结束时，点B与点D重合，点B的路径是以为半径，圆心角为的圆弧 在中，   ， ． 【点睛】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，利用图形旋转前后对应线段以及对应角相等得出两个三角形全等是解题的关键． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，． (1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：； (2)如图，如果，，，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可； （2）连接、，延长交与．当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，根据，进行求解即可。 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，． 在和中， ， ∴． ． （2）连接、，延长交于． 当时，则． ． ． 又， ． 又，， 为等腰直角三角形． ．， ，与平行． ． 1．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 2．（2026·湖北十堰·一模）点E，F分别是矩形的边，上的点，将矩形沿折叠，点C落在上处，点D落在平面内的点处，连接，． (1)如图1，当与点A重合时． ①求证：； ②若，，求的值； (2)如图2，若点E是的中点，且，求的值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】本题考查了矩形的翻折问题，涉及到相似三角形的判定与性质，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键． （1）①先由矩形的性质可知，，可得，由翻折知，，从而得到，证得；②设，先运用矩形的性质和勾股定理，通过建立关于x的方程，并解方程求出x的值．再证明，运用相似三角形的性质求得； （2）连接，同②证明可得，同①证明可得，证明，为等边三角形，从而求出，即，结合，最后求出的值． 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴； ②解：设，则， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵由①可知， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折知，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 同②证明可得， 同①证明可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在正方形中，点在边上（点不与点重合），沿折叠正方形，使点落在正方形内部的点处．展开后，连接，并延长交于点，过点作，分别交，于点． (1)如图1，当时， ①证明：是等边三角形； ②判断的值是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由． (2)如图2，若正方形边长为4，求的最小值． 【答案】(1)①见解析；②为定值， (2)最小值为28 【分析】（1）①由折叠得，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理以及对顶角相等分别求出，进而可证明． ②设正方形边长为，则．分别表示出，由等边三角形的性质可知，即，整理即可得出答案． （2）设，则利用全等三角形的判定和性质得出，设，则．利用相似三角形的判定和性质得出，由等角对等边得出，然后把各式代入，最后利用二次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形为正方形， ． 由折叠得， ， ． 在中， ， ． 在中， ， ， ， 是等边三角形； ②，为定值．理由如下： 设正方形边长为，则． 在Rt中，， ． 在中，，， ， ∵， ， 解得， ． （2）解：设， 在和中， ， ， 设， 则． 又， ，， ， ． 又， ， ， ， ， ， ∴当时，取得最小值为28． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，是的弦，过点作交于点，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)连接，过点作交于点，连接，根据题意，补全图形，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是矩形，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得，根据直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，得出，故是的切线； （2）结合圆周角定理得，根据平行线的性质得，即四边形是矩形， （3）根据四边形是的圆内接四边形，得，证明，把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：四边形是矩形，理由如下所示： 依题意， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， （3）解：连接， ∴， 设， 由（1）得， ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴（舍）， ∴． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析，； (2)12 (3)，理由见解析； (4)4 【分析】（1）根据正方形和旋转的性质，先证明点、、三点共线，再利用“”可证明，从而得出，即可得解； （2）利用勾股定理可得，结合（1）所得结论，可得，即可求出正方形的边长； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，根据正方形和旋转的性质可证明，再证明四边形是平行四边形，从而推出，最后结合勾股定理求解即可； （4）延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，四边形是正方形，得到，证明，求出，，同（1）理可证，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 由旋转的性质可知，，，，， ， 点、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， ， ， ，即正方形的边长是12； （3）解：，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ； （4）解：如图，延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接， 在矩形中，，， ，，， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 同（1）理可证， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即的长为4． 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合． 【研究对象】 如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________； 【性质探究】 （2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在筝形中，，求对角线，的长． 【答案】（1）菱形；（2）性质：筝形对角线互相垂直，证明见解析；（3）； 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据筝形定义求解即可； （2）根据筝形的定义可知其是轴对称图形、对角线互相垂直，利用全等证明即可； （3）依据特殊角构造直角三角形，解求得，再利用等面积求即可． 【详解】解：（1）由定义可知：菱形的对角线互相垂直，故菱形是筝形， 故答案为：菱形； （2）性质：筝形对角线互相垂直； 证明：如图， 在和中， （）， ， ， ，； （3）如图，过作于点，连接、交于点， ， ， ， ，， ， 在中， 由（2）知，且， ， ， ． 2．（2026·山西太原·一模）拼接、折叠、旋转等一系列生动的图形运动，会给我们带来无穷无尽的变化，这些变化中又蕴藏着许多有趣的数学结论．下面就是数学活动小组某次活动的记录 (1)将两个全等的矩形、组合成一个新的图形，如图1，如果连接、、，那么的度数是确定的，请你直接写出的度数； (2)如果这两个矩形不全等，换成任意两个矩形，按照相同的方式组合成新的图形，（1）中的结论还成立吗？针对这个问题，大家认为换成任意两个矩形的条件后，结论不一定成立，小明说如果添加条件：矩形与矩形相似（，），那么（1）中结论就仍然成立，如图2．小明的说法正确吗？如果正确，请你说明理由． (3)在（2）的条件下，如果，，，，保持矩形不动，将矩形绕点旋转，点的对应点为，当时，请你直接写出的长度． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明，得出，根据，即可得出结果； （2）证明，得出，根据，即可证明结论； （3）分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：小明的说法正确；理由如下： ∵矩形与矩形相似， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：当点在上方时，延长，过点作于点H，如图所示： 则， 在矩形中，，，， ∴， 在矩形中，，，， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 当点在下方时，延长，交于点Q，过点作于点H， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 综上分析可知：的长度为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 专题02 四边形综合 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：四边形折叠中求长度问题 易｜混｜易｜错 1）把未知边长设为，用折叠性质把相关边长用表示，在直角三角形中列勾股方程求解； 2）若有平行线/等角，优先找相似三角形（如型、型相似），用比例关系快速求边长。 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（2025·福建泉州·一模）在一次数学活动课中，小明对“折纸中的数学问题”进行探究． 【活动1】折叠矩形纸片： 第一步：如图1，把矩形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上，再次沿折叠纸片，使点落在上的点处． 【活动2】折叠正方形纸片： 第一步：如图2，把正方形纸片对折，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：点在上（不与点，重合），再次沿折叠纸片，使点落在下方的点处，延长交于点． (1)在活动1中，求证：； (2)在活动2中，若正方形的边长为8，，求的长． 考点二：四边形折叠中求角度问题 易｜混｜易｜错 1）利用折叠得到等角，结合矩形/平行四边形的对边平行、直角等性质，通过内角和、外角定理推导角度； 2）遇到折叠后点落在边上/对角线上的情况，优先找等腰三角形（折叠+平行线=等腰）。 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 考点三：四边形折叠中求面积问题 易｜混｜易｜错 1）折叠求三角形面积：折叠前后图形全等，面积相等，直接利用“全等图形面积相等”转化计算，无需额外推导； 2）折叠求四边形面积：折叠前后四边形全等，面积相等，直接转化为原四边形（或已知全等四边形）的面积计算；若为新四边形，可通过“分割成两个三角形”，分别计算三角形面积再求和。 1．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，一张矩形纸片，厘米，厘米．将边沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕，再将沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕．则四边形的面积为______平方厘米． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，有一矩形纸片，对其进行第一次折叠操作，使与重合，展开后，得到折痕；再对纸片进行第二次折叠操作，使点A的对应点恰好落在上，且折痕经过点B，展开后得到折痕． （1）如图（1），延长交于点G，则________°； （2）如图（2），对矩形纸片进行第三次折叠操作，使得点D的对应点落在上，且折痕经过点C，展开后得到折痕，已知点在点左侧．若，则矩形纸片的面积是________． 考点四：动点问题 易｜混｜易｜错 1）核心：动中找静，抓住运动过程中的不变量（如线段长度、角度、相似关系）； 2）技巧：用参数表示所有动态量，将几何问题转化为代数函数问题，结合函数图像分析最值、取值范围。 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 2．（2026·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作矩形，边所在直线交轴于点．设点的坐标为，若矩形的面积始终为，则下列说法不正确的是（   ）． A．当点在轴上时，点的坐标为 B． C．OE的长始终为 D．的取值范围为 3．（2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 考点五：三角形存在性问题 易｜混｜易｜错 1）等腰三角形：分3类讨论（、、），用两点间距离公式列方程； 2）直角三角形：分3类讨论（、、），用勾股定理/斜率垂直（）列方程； 3）相似三角形：先找固定等角，再分对应边成比例的两种情况（如和）。 1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； (3)在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·上海杨浦·二模）如图，在梯形中，，，， (1)当，，时，求的值 (2)若等腰梯形的腰长等于上、下底的比例中项，F为边上一点，E为边上一点； ①若，求证：． ②连接，是否存在等腰梯形，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请写出理由． 考点六：四边形存在性问题 易｜混｜易｜错 1）平行四边形：核心是对角线互相平分，用中点坐标公式： 若为平行四边形顶点，则，，分3类讨论对角线（为对角线、为对角线、为对角线）； 2）特殊平行四边形：在平行四边形基础上，加额外条件： 矩形：对角线相等/邻边垂直； 菱形：邻边相等/对角线垂直； 正方形：同时满足矩形+菱形的条件。 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东聊城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 考点七：其他存在性问题 易｜混｜易｜错 1）解题步骤： ①先假设存在；②再用性质列等式；③解未知数；④检验未知数是否在范围内。 1．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东青岛·一模）如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为． ①求正比例函数及反比例函数的表达式； ②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 考点八：与中点四边形有关的问题 易｜混｜易｜错 1）任意四边形的中点四边形都是平行四边形，其形状由原四边形的对角线决定： 原四边形对角线相等 → 中点四边形是菱形； 原四边形对角线垂直 → 中点四边形是矩形； 原四边形对角线垂直且相等 → 中点四边形是正方形。 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】 如图1．在中，D、E分别为的中点，连接： 操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．    【问题解决】 （3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．    考点九：四边形中新定义型问题 易｜混｜易｜错 1）坑点：用已学的四边形知识替代新定义，比如新定义“等邻边四边形”，错误按“邻边相等的平行四边形（菱形）”解题，忽略一般四边形的情况； 2）避坑：严格按题目给的定义解题，不添加额外条件。 1．（2025·山东青岛·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 (2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； (3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 2．（2025·山西太原·二模）阅读下列研究性学习报告内容，并完成相应的任务． 课题：关于“等邻边四边形”的研究报告 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1所示的四边形为“等邻边四边形”，其中． 性质探究： 性质：等邻边四边形的两组邻边分别相等． 如图2，，，对角线恰好平分．求证：四边形是“等邻边四边形”． 证明：，．（依据1） 又∵平分，． ，．（依据2） ，，∴四边形是等腰梯形． ，．∴四边形是“等邻边四边形”． 任务： (1)根据“等邻边四边形”的定义，下列四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______．（请填写正确的两个选项） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 (2)填空：材料中的“依据1”是指______，“依据2”是指______； (3)如图3，四边形ABCD是“等邻边四边形”，，，，，请直接写出“等邻边四边形ABCD”的面积． 3．（2025·河南·模拟预测）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 考点十：四边形中旋转问题 易｜混｜易｜错 1）错误：把对应边的夹角当成旋转角，而非对应点与旋转中心连线的夹角，导致角度计算错误； 2）正确：旋转角是旋转中心到对应点的连线的夹角，标注旋转中心和对应点，再确定旋转角。 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 2．（2025·山东聊城·二模）在正方形中，边长为4，为对角线，将绕的中点O旋转，当与重合时停止，如图是旋转至的位置，交于点M，交于点N． (1)试猜想在整个旋转过程中与始终相等吗？并说明理由； (2)旋转过程结束时，求点B走过的路径长度． 3．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，． (1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：； (2)如图，如果，，，连接，，求的面积． 1．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·湖北十堰·一模）点E，F分别是矩形的边，上的点，将矩形沿折叠，点C落在上处，点D落在平面内的点处，连接，． (1)如图1，当与点A重合时． ①求证：； ②若，，求的值； (2)如图2，若点E是的中点，且，求的值． 3．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在正方形中，点在边上（点不与点重合），沿折叠正方形，使点落在正方形内部的点处．展开后，连接，并延长交于点，过点作，分别交，于点． (1)如图1，当时， ①证明：是等边三角形； ②判断的值是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由． (2)如图2，若正方形边长为4，求的最小值． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，是的弦，过点作交于点，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)连接，过点作交于点，连接，根据题意，补全图形，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长． 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合． 【研究对象】 如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________； 【性质探究】 （2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在筝形中，，求对角线，的长． 2．（2026·山西太原·一模）拼接、折叠、旋转等一系列生动的图形运动，会给我们带来无穷无尽的变化，这些变化中又蕴藏着许多有趣的数学结论．下面就是数学活动小组某次活动的记录 (1)将两个全等的矩形、组合成一个新的图形，如图1，如果连接、、，那么的度数是确定的，请你直接写出的度数； (2)如果这两个矩形不全等，换成任意两个矩形，按照相同的方式组合成新的图形，（1）中的结论还成立吗？针对这个问题，大家认为换成任意两个矩形的条件后，结论不一定成立，小明说如果添加条件：矩形与矩形相似（，），那么（1）中结论就仍然成立，如图2．小明的说法正确吗？如果正确，请你说明理由． (3)在（2）的条件下，如果，，，，保持矩形不动，将矩形绕点旋转，点的对应点为，当时，请你直接写出的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $