重难点01 特殊平行四边形的性质与判定综合（专项训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 专题01 特殊平行四边形的性质与判定综合 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：添加条件证平行四边形 易｜混｜易｜错 1）已知一组对边平行：优先证这组对边相等，或另一组对边也平行； 2）已知一组对边相等：优先证这组对边平行，或另一组对边也相等； 3）已知对角线：优先证对角线互相平分； 4）已知两组对角：证两组对角分别相等。 1．（2025·四川达州·一模）如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，连接，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，无法证明四边形 是平行四边形，故不符合题意； B、当时，根据一组对边平行另一组对边相等无法证明四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，故符合题意； D、当时，可知，一组对边平行无法证明四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：C. 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理．根据尺规作图找一点P使得四边形是平行四边形，结合各选项所涉及的判定定理进行分析． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．由尺规作图可知，所作的四边形两组对边分别平行，根据此判定定理可直接判定其为平行四边形，故该选项符合题意； B、题干中未明确体现所作四边形两组对边分别相等这一判定条件，故该选项不符合题意； C、题干中未提及所作四边形的对角线情况，故该选项不符合题意； D、题干中未明确体现所作四边形一组对边平行且相等这一判定条件，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形． 【答案】（符合题意即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先判定四边形是平行四边形，求得，，当添加时，得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：添加， 如图，连接，，，与交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 当添加时， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 考点二：添加条件证矩形 易｜混｜易｜错 1）已知平行四边形：优先补一个直角（最常用）或对角线相等； 2）已知普通四边形：优先补三个直角，或先证平行四边形再补直角/对角线相等。 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等 ）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， ∴ 平行四边形是矩形，该选项正确． 故选：D ． 2．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是__________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是矩形的判定，根据矩形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 添加： ∴四边形是矩形； 或添加，可得四边形是矩形； 故答案为： 考点三：添加条件证棱形 易｜混｜易｜错 1）已知平行四边形：优先补一组邻边相等（最常用）或对角线垂直； 2）已知普通四边形：优先补四边相等，或先证平行四边形再补邻边相等/对角线垂直。 1．（2025·河南许昌·二模）如图，要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：当，则为菱形，故A符合要求； 当，则为矩形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则为矩形，故D不符合要求； 故选：A． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 考点四：添加条件证正方形 易｜混｜易｜错 1）已知矩形：补“邻边相等”或“对角线垂直”； 2）已知菱形：补“一个直角”或“对角线相等”； 3）已知平行四边形：补“一个直角+一组邻边相等”（最简洁）。 1．（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 2．（2025·上海·模拟预测）在平行四边形中，，对角线、相交于点O．若要添加一个条件使四边形为正方形，这个条件可以是_______． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形中，，得到平行四边形是矩形，再添加菱形有的但矩形没有的性质，例如对角线互相垂直或者一组邻边相等即可得到四边形为正方形． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴当或时，四边形为正方形， 故答案为：或（答案不唯一）． 3．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是________． 【答案】有一组邻边相等或对角线互相垂直 【分析】本题主要考查特殊平行四边形（矩形、正方形）的性质这一知识点．解题关键在于清晰掌握矩形和正方形的性质，通过对比两者性质上的差异，找出能使矩形满足正方形定义的条件．本题是在特殊平行四边形知识体系中，寻找能使矩形转化为正方形的条件．需要明确矩形和正方形的性质差异，从边、角、对角线等方面去思考补充条件． 【详解】解：矩形的性质是四个角都是直角，对角线相等且互相平分 ． 正方形具有四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直、平分且相等． 对比矩形和正方形的性质，发现当矩形满足 “有一组邻边相等” 时，就满足了正方形四条边都相等的性质；当矩形满足 “对角线互相垂直” 时，结合矩形本身对角线相等且平分的性质，就符合正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质． ∴ “有一组邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 这两个条件能使矩形成为正方形． 故答案为：有一组邻边相等或对角线互相垂直． 考点五：利用性质与判定求长度 易｜混｜易｜错 1）易错1：菱形中直接用“对角线=边长”计算（菱形对角线≠边长，仅特殊菱形如60°内角的菱形，短对角线=边长）； 2）易错2：矩形中混淆“对角线相等”与“对角线平分”，漏用“平分”求半长； 3）易错3：勾股定理应用时，误将对角线直接作为直角边（菱形对角线互相垂直，半长才是直角边）。 1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 3．（2025·四川成都·二模）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、作角平分线，勾股定理，解决本题的关键是证明．由作图过程可得是的角平分线，结合题意，证明，得出根据矩形的性质进而得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点 四边形是矩形， ，， 由作图过程可知：是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，则， ， 故答案为：． 4．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点A作于点O，取点H为的中点，连接，证明，则的最小值即为的最小值．当时取最小值，证明的长为，所以根据勾股定理求出的长，则的最小值即为的长． 【详解】解：如图，过点A作于点O，取点H为的中点，连接， 则， 点G是的中点， ， 在菱形中，，， ， ， 即， ， ， 则当最小时，最小， 如图，当时，取最小值， 点是的中点，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， 即最小值为． 5．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形得到，再由互余关系得到，再由垂直得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解．连接，，求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ． 又， ． 在中，， ． 在和中， ． （2）解：正方形的边长为6，，， ． 连接， ∴． ， ， 解得． 由（1）得， ． 考点六：利用性质与判定求角度 易｜混｜易｜错 1）用性质提取已知角的关系（如矩形90°、正方形45°、菱形对角线平分角）； 2）结合三角形内角和（180°）、外角性质、平行线的内错角/同位角/同旁内角计算。 1．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 3．（2026·河南周口·一模）如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质证明，得到，进而即可求解； 【详解】四边形和四边形都是正方形，恰好落在正方形的对角线上， ，，， 在和中， ， ， ， ． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得出，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴． 考点七：利用性质与判定求面积 易｜混｜易｜错 1）易错1：菱形中用“底×高”时，高与底不对应（高必须是底边上的高，不能用邻边的高）； 2）易错2：平行四边形中用“邻边乘积”算面积（仅矩形/正方形适用，普通平行四边形必须用底×对应高）； 3）易错3：正方形中用“对角线乘积”直接算面积（必须除以2，）； 4）易错4：组合图形中漏算/多算部分面积，割补法逻辑错误。 1．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 4．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得， ，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可求：， 在中， ， 同理可求：， 四边形是菱形， 四边形的面积是： ； 故选：A． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积； 故答案为：． 考点八：利用性质与判定证明该特殊平行四边形 易｜混｜易｜错 1）证平行四边形：用平行四边形的5种判定（对边平行/相等、对角相等、对角线平分）； 2）证矩形：先证平行四边形，再补“一个直角/对角线相等”，或直接证“三个直角”； 3）证菱形：先证平行四边形，再补“一组邻边相等/对角线垂直”，或直接证“四边相等”； 4）证正方形：先证矩形+菱形条件（如矩形+邻边相等、菱形+直角），或先证平行四边形+直角+邻边相等。 1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是菱形，理由见详解 【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答． （2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）解：左边同学的思路： 过点O作，连接，，如图所示： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 右边同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，记切点为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，再根据，，得到，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形． 考点九：利用性质与判定证明线段之间的数量关系 易｜混｜易｜错 1）先判定图形类型，用性质提取线段的边/对角线关系； 2）构造全等三角形/直角三角形/中位线，推导线段关系； 3）用判定定理验证，写出完整逻辑链。 1．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 3．（2026·湖北十堰·一模）已知：如图，点为矩形内一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形中，点是直线上的一点（不与点重合），连接，过点作于点，过点作，与所在直线交于点． 猜想证明： (1)如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，在（1）的条件下，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，，见解析 (3)或 【分析】（1）根据“”证明即可求解； （2）根据“”证明，再结合角的关系证明垂直即可； （3）分①当、在点同侧时，②当、在点异侧，两种情况进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，记与交于点， 四边形是正方形， ， ， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当、在点同侧时， ， 设，则， ， ，即，解得， 即， 由（1）知， ， ； ②当、在点异侧时： 由①可知，， ， ， 综上，的长为或． 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 连接，根据两点之间线段最短可知的最小值为，再结合菱形的性质得，然后根据勾股定理得，可得，结合等腰三角形的性质得，，接下来根据勾股定理得，此题可解． 【详解】解：如图，连接， 作点P关于直线的对称点，则，点是的中点， ∴． 根据两点之间线段最短，可知的最小值为， ∵四边形是菱形， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． ∵点是的中点， ∴，． 在中，． 所以的最小值为． 故答案为：． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由等腰三角形的判定求得，进而由菱形的判定定理得结论； （2）根据（1）可得，，证明，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵， 根据（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 1．（2025·福建宁德·二模）如图，已知矩形，，，一束光线从边上的点出发，沿的方向射出，经边反射后，得到反射光线，又经边反射后，得到反射光线…根据光的反射原理，每一次的反射，反射的角度等于入射的角度，例如：． (1)如图1，不难发现：光线经过两次反射后，得到反射光线与原入射光线平行．请加以证明； (2)请用尺规在图2作出反射点，使得光线经边反射后得到的反射光线能经过边上的点；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如果要让光线依次经，，边三次反射后回到出发点，则入射光线的角度应满足怎样的条件？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当时，光线经过三次反射后回到出发点 【分析】（1）先求得，，推出，即可得到； （2）根据题意画出图形即可； （3）先证明四边形是平行四边形，得到，证明，推出，再证明，推出，整理得，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点为求作的点． （3）解：如图，光线经过三次反射后回到出发点，反射点分别是，，，得到四边形，连接． ∵四边形为矩形， ∴，， 由（1）结论得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，光线经过三次反射后回到出发点． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 专题01 特殊平行四边形的性质与判定综合 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：添加条件证平行四边形 易｜混｜易｜错 1）已知一组对边平行：优先证这组对边相等，或另一组对边也平行； 2）已知一组对边相等：优先证这组对边平行，或另一组对边也相等； 3）已知对角线：优先证对角线互相平分； 4）已知两组对角：证两组对角分别相等。 1．（2025·四川达州·一模）如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，连接，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件___________．使四边形是平行四边形． 考点二：添加条件证矩形 易｜混｜易｜错 1）已知平行四边形：优先补一个直角（最常用）或对角线相等； 2）已知普通四边形：优先补三个直角，或先证平行四边形再补直角/对角线相等。 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是__________．（只写一个） 考点三：添加条件证棱形 易｜混｜易｜错 1）已知平行四边形：优先补一组邻边相等（最常用）或对角线垂直； 2）已知普通四边形：优先补四边相等，或先证平行四边形再补邻边相等/对角线垂直。 1．（2025·河南许昌·二模）如图，要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件_______，使平行四边形为菱形． 3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 考点四：添加条件证正方形 易｜混｜易｜错 1）已知矩形：补“邻边相等”或“对角线垂直”； 2）已知菱形：补“一个直角”或“对角线相等”； 3）已知平行四边形：补“一个直角+一组邻边相等”（最简洁）。 1．（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）在平行四边形中，，对角线、相交于点O．若要添加一个条件使四边形为正方形，这个条件可以是_______． 3．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是________． 考点五：利用性质与判定求长度 易｜混｜易｜错 1）易错1：菱形中直接用“对角线=边长”计算（菱形对角线≠边长，仅特殊菱形如60°内角的菱形，短对角线=边长）； 2）易错2：矩形中混淆“对角线相等”与“对角线平分”，漏用“平分”求半长； 3）易错3：勾股定理应用时，误将对角线直接作为直角边（菱形对角线互相垂直，半长才是直角边）。 1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 2．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 3．（2025·四川成都·二模）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则__________． 4．（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______． 5．（2026·湖南张家界·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 考点六：利用性质与判定求角度 易｜混｜易｜错 1）用性质提取已知角的关系（如矩形90°、正方形45°、菱形对角线平分角）； 2）结合三角形内角和（180°）、外角性质、平行线的内错角/同位角/同旁内角计算。 1．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 3．（2026·河南周口·一模）如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，正方形内接于，点在上，则的度数为___________． 考点七：利用性质与判定求面积 易｜混｜易｜错 1）易错1：菱形中用“底×高”时，高与底不对应（高必须是底边上的高，不能用邻边的高）； 2）易错2：平行四边形中用“邻边乘积”算面积（仅矩形/正方形适用，普通平行四边形必须用底×对应高）； 3）易错3：正方形中用“对角线乘积”直接算面积（必须除以2，）； 4）易错4：组合图形中漏算/多算部分面积，割补法逻辑错误。 1．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 4．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 考点八：利用性质与判定证明该特殊平行四边形 易｜混｜易｜错 1）证平行四边形：用平行四边形的5种判定（对边平行/相等、对角相等、对角线平分）； 2）证矩形：先证平行四边形，再补“一个直角/对角线相等”，或直接证“三个直角”； 3）证菱形：先证平行四边形，再补“一组邻边相等/对角线垂直”，或直接证“四边相等”； 4）证正方形：先证矩形+菱形条件（如矩形+邻边相等、菱形+直角），或先证平行四边形+直角+邻边相等。 1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 3．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 考点九：利用性质与判定证明线段之间的数量关系 易｜混｜易｜错 1）先判定图形类型，用性质提取线段的边/对角线关系； 2）构造全等三角形/直角三角形/中位线，推导线段关系； 3）用判定定理验证，写出完整逻辑链。 1．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 3．（2026·湖北十堰·一模）已知：如图，点为矩形内一点，，求证：． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形中，点是直线上的一点（不与点重合），连接，过点作于点，过点作，与所在直线交于点． 猜想证明： (1)如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，在（1）的条件下，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，若，，请直接写出的长． 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 5．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 1．（2025·福建宁德·二模）如图，已知矩形，，，一束光线从边上的点出发，沿的方向射出，经边反射后，得到反射光线，又经边反射后，得到反射光线…根据光的反射原理，每一次的反射，反射的角度等于入射的角度，例如：． (1)如图1，不难发现：光线经过两次反射后，得到反射光线与原入射光线平行．请加以证明； (2)请用尺规在图2作出反射点，使得光线经边反射后得到的反射光线能经过边上的点；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如果要让光线依次经，，边三次反射后回到出发点，则入射光线的角度应满足怎样的条件？请说明理由． 2．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $