热点06 三角形和特殊三角形（培优热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

热点06 三角形和特殊三角形 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01利用三角形内角和求角度 题型02三角形三边关系的应用 题型03利用勾股定理进行计算 题型04利用直角三角形的性质求解 题型05利用中位线求线段长 题型06利用中线和相似三角形性质求三角形面积 题型07全等三角形性质与判定的综合应用 题型08等腰三角形性质与判定的应用 题型09特殊三角形的分类讨论问题 题型10 三角形背景下的最值问题题型 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“三角形”部分分值占比约15%-20%，是几何板块的核心内容。考查覆盖三大核心模块：三角形的基础概念与性质（三边关系、内角和、外角、中线、高线、角平分线、中位线等）；特殊三角形（等腰三角形的等边对等角、三线合一，等边三角形的性质与判定，直角三角形的勾股定理、30°角性质、斜边中线等）；全等三角形（五种判定方法的灵活应用，涉及平移型、轴对称型、旋转型、手拉手模型、一线三等角模型等常考模型）。试题突出几何直观和逻辑推理能力，注重“变化中的不变性”的探究，综合题常与四边形、图形变换相结合。 预测2026年：三角形基础概念与性质：基础性保持稳定，将在尺规作图题中出现，考查高线、中线、角平分线的尺规作法；数形结合题型增多。 特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）：与函数图像结合的存在性问题成为新热点；折叠、动点最值问题考查频率上升，分类讨论要求更高。 全等三角形：命题更注重模型识别与构造，一线三等角、手拉手、截长补短、倍长中线等模型仍为高频考点；全等与相似“双雄合体”的综合题型持续升温。一次函数与反比例函数综合：命题更灵活，面积问题与k的几何意义仍是核心，交点与不等式结合考查频率上升，可能融入最值问题。 综合应用与代几综合：图形变换（平移、旋转、对称）成为新热点，与四边形综合的探究性题目增多，注重考查综合运用能力和高阶思维。 题型01 利用三角形内角和求角度 解｜题｜策｜略 识图定位目标角，利用内角和180°及外角定理转化；遇“8字”“A字”模型直接导角。关系复杂时设未知数列方程，将几何问题代数化，避免逐角推导。 1．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（    ） A． B． C． D． 2．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为_____ ． 4．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 题型02 三角形三边关系的应用 解｜题｜策｜略 验证“最短两边之和＞最大边”即能构成三角形；已知两边求第三边范围用“差＜c＜和”。等腰三角形分腰/底讨论，并用三边关系检验取舍。 5．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 7．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 8．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 题型03 利用勾股定理进行计算 解｜题｜策｜略 验证“最短两边之和＞最大边”即能构成三角形；已知两边求第三边范围用“差＜c＜和”。等腰三角形分腰/底讨论，并用三边关系检验取舍。 9．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 10．如图，中，，，点D是的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，若，则______． 11．如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______． 12．把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； (2)如图③，若，，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 题型04 利用直角三角形的性质求解 解｜题｜策｜略 核心性质：两锐角互余；30°角所对直角边＝斜边一半；斜边中线＝斜边一半。遇30°用比例；遇斜边中点连中线；遇特殊角结合三角函数。 13．如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 14．如图，，点分别在线段上，与交于点，，，，则（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 16．如图，两个边长都是1的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，过点作，垂足为，则的值为______． 题型05 利用中位线求线段长 解｜题｜策｜略 连接两边中点得中位线，平行且等于第三边一半。梯形中位线＝(上底+下底)/2。题目出现多个中点时，优先考虑构造中位线建立等量关系。 17．如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 19．如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 20．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 题型06 利用中线和相似三角形性质求三角形面积 解｜题｜策｜略 中线平分面积；重心分中线2∶1，面积比＝相似比的平方。设未知数，利用面积相等或比例关系列方程，将几何问题转化为代数运算求解。 21．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 23．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 24．如图是的正方形网格，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图中的线段上找一点D，连接，使平分的面积； (2)若每个小正方形的边长为1，则在（1）的条件下，直接写出的面积． 题型07 全等三角形性质与判定的综合应用 解｜题｜策｜略 判定五法（SAS、SSS、ASA、AAS、HL），挖掘公共边、公共角等隐含条件。条件不足时作辅助线（倍长中线、截长补短），熟悉平移、旋转、一线三等角模型。 25．在等边中，D是上一点，沿着将折叠，得到，F是上一点，沿着将折叠，得到． （1）如图1，______； （2）如图2，点G是上一点，已知，若，，则的长为______． 26．如图，在中，，在上截取，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 27．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 28．如图，等腰中，，，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接与相交于点． (1)如图1，当时， ①依题意补全图形， ②证明； (2)如图，当时，用等式表示和的数及关系，并证明． 题型08 等腰三角形性质与判定的应用 解｜题｜策｜略 三线合一（顶角平分线、底边中线、高重合）是核心工具；等边对等角建立角度等式。边长计算分腰/底讨论并用三边关系检验，常构造直角三角形。 29．如图，在中，，．分别以点、为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点、，作直线交于点，连接．则下列说法中不正确的是（    ） A．是线段的垂直平分线 B． C． D． 30．如图，在中，，点D在的延长线上，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，，D是的中点，连接，将沿折叠，使点A落在点E，连接，则的面积为________． 32．如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型09 特殊三角形的分类讨论问题 解｜题｜策｜略 等腰按“哪边为腰”讨论；直角按“哪个角为直角”分三类；相似按对应顶点排列分类。每类列出几何条件列方程，求解后验证是否满足三角形存在条件。 33．如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 34．如图，在直角中，，，，将直角边绕点顺时针旋转得到，旋转角为（），连接，.若是以边为直角边的直角三角形，则此时线段的长为______． 35．如图，在中，，，为边上一点，且满足最大内角与最小内角之差为，则的长为（） A． B． C．或 D．或 36．如图，已知在中，，，点在边上（点与点，不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点．当是等腰三角形时，的长为________． 题型10 三角形背景下的最值问题 解｜题｜策｜略 解决三角形最值问题，核心是转化轨迹，化折为直。第一步：识别动点轨迹——在直线上运动优先考虑将军饮马（作对称）或胡不归（构造正弦线）；在圆上运动则用阿氏圆（构造子母相似）或隐圆（先定圆）。第二步：若求多线段和（PA+PB+PC）最小值，用费马点旋转60°将折线拉直。第三步：遇主从联动，用瓜豆原理确定从动点轨迹再求解。关键是合理转化系数、构造辅助图形，将几何最值转化为两点间线段或点到直线垂线段问题。 37．【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 38．如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 39．如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为______． 40．如图，线段 ，点 在 上，且 ． 以 为顶点作等边三角形 ，连接 、． 当 最小时，的边长最小是_________________． （20分钟限时练） 41．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D．5 42．在中，，，平分交于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 43．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，则点A经过的路径长为___________． 44．如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 45．如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 46．能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． (1)任写一组勾股数满足第一类形式为________； (2)假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 47．（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 48．相似三角形的判定与应用 (1)如图1，已知，在上截取一点C，作的垂直平分线交于点D，作的垂直平分线交的延长线于点E，连接，则___________（用含的式子表示）； (2)如图2，在等腰中，，点P是射线上一点，当恰好为的平分线时，，，求的长； (3)如图3，在等腰中，，若点P为的垂直平分线与延长线的交点，，，请直接写出的长． 试卷第2页，共54页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点06 三角形和特殊三角形 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01利用三角形内角和求角度 题型02三角形三边关系的应用 题型03利用勾股定理进行计算 题型04利用直角三角形的性质求解 题型05利用中位线求线段长 题型06利用中线和相似三角形性质求三角形面积 题型07全等三角形性质与判定的综合应用 题型08等腰三角形性质与判定的应用 题型09特殊三角形的分类讨论问题 题型10 三角形背景下的最值问题题型 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“三角形”部分分值占比约15%-20%，是几何板块的核心内容。考查覆盖三大核心模块：三角形的基础概念与性质（三边关系、内角和、外角、中线、高线、角平分线、中位线等）；特殊三角形（等腰三角形的等边对等角、三线合一，等边三角形的性质与判定，直角三角形的勾股定理、30°角性质、斜边中线等）；全等三角形（五种判定方法的灵活应用，涉及平移型、轴对称型、旋转型、手拉手模型、一线三等角模型等常考模型）。试题突出几何直观和逻辑推理能力，注重“变化中的不变性”的探究，综合题常与四边形、图形变换相结合。 预测2026年：三角形基础概念与性质：基础性保持稳定，将在尺规作图题中出现，考查高线、中线、角平分线的尺规作法；数形结合题型增多。 特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）：与函数图像结合的存在性问题成为新热点；折叠、动点最值问题考查频率上升，分类讨论要求更高。 全等三角形：命题更注重模型识别与构造，一线三等角、手拉手、截长补短、倍长中线等模型仍为高频考点；全等与相似“双雄合体”的综合题型持续升温。一次函数与反比例函数综合：命题更灵活，面积问题与k的几何意义仍是核心，交点与不等式结合考查频率上升，可能融入最值问题。 综合应用与代几综合：图形变换（平移、旋转、对称）成为新热点，与四边形综合的探究性题目增多，注重考查综合运用能力和高阶思维。 题型01 利用三角形内角和求角度 解｜题｜策｜略 识图定位目标角，利用内角和180°及外角定理转化；遇“8字”“A字”模型直接导角。关系复杂时设未知数列方程，将几何问题代数化，避免逐角推导。 1．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，可知是等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等，可得：，根据三角形内角和定理可以求出，由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，利用三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：由旋转可知，， ， 在中，， ， 由旋转可知， ， 在中，． 故选：B． 2．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，从而得，根据三角形内角和定理得出，即可得． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接，分别与，交于点和； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③分别以点和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ④作射线，分别交，于点，，若，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图、三角形外角的性质、直角三角形的性质，利用三角形内角和定理可知，由作图可知是的平分线，所以可得，根据三角形外角的性质可以求出，根据直角三角形两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，， ，， ， 由作图可知是的平分线， ， 是的外角， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在等腰直角中，，M、N分别为、上的点，，P为上的点，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出，再分两种情况：①当点是的中点时，②当点不是的中点时，求出的度数，然后求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴． ①如图，当点是的中点时， ∴，符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1和图2，当点不是的中点时，取的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在图1中，，此时，不满足三角形的内角和定理，舍去； 在图2中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 题型02 三角形三边关系的应用 解｜题｜策｜略 验证“最短两边之和＞最大边”即能构成三角形；已知两边求第三边范围用“差＜c＜和”。等腰三角形分腰/底讨论，并用三边关系检验取舍。 5．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意； B、∵， ∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意； C、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； D、∵， ∴不能组成三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 6．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 7．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 8．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 题型03 利用勾股定理进行计算 解｜题｜策｜略 验证“最短两边之和＞最大边”即能构成三角形；已知两边求第三边范围用“差＜c＜和”。等腰三角形分腰/底讨论，并用三边关系检验取舍。 9．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，中心对称图形的性质等知识点． 根据等边三角形三线合一的性质和勾股定理得到线段的长度，根据中心对称图形的性质得到的长度，根据勾股定理得到的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，为的中点， ∴是边上的高，，，， ∴，， ∴在中，， ∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴， ∴在中，． 10．如图，中，，，点D是的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，若，则______． 【答案】 【分析】先根据点D是直角三角形斜边的中点，可得，由此可得为等边三角形，即可得，再由，可得，再求解的长度，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点D是斜边的中点， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴在中， ． 11．如图，在中，是平面上一动点，连接，是的中点，连接，当的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图， ∵是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， 又， ， ∵在中，， ， ， ∵， 当共线时取等号，如图 的最小值为． 12．把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； (2)如图③，若，，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合，即可得证； （2）①同（1）得到，得出，根据求出结果即可； ②设，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，都是等腰直角三角形， ，，， 则 ， ； （2）解：①是等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ∴， ∴； ②设， 由（1）得， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴ 解得（舍），． ∴的长是10． 题型04 利用直角三角形的性质求解 解｜题｜策｜略 核心性质：两锐角互余；30°角所对直角边＝斜边一半；斜边中线＝斜边一半。遇30°用比例；遇斜边中点连中线；遇特殊角结合三角函数。 13．如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】延长交于，由重心得，，即可求解． 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 14．如图，，点分别在线段上，与交于点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交于点，证明，设，，利用直角三角形的性质求得，，，，再证明是等腰直角三角形，求得，根据，求得，据此求解即可． 【详解】解：作交于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合折叠的性质以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 16．如图，两个边长都是1的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，过点作，垂足为，则的值为______． 【答案】 【分析】在中，由含的直角三角形性质得出相关边长，最后由正切函数值定义代值计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正六边形的边长为1， ， 在中，，，则，， ， ． 题型05 利用中位线求线段长 解｜题｜策｜略 连接两边中点得中位线，平行且等于第三边一半。梯形中位线＝(上底+下底)/2。题目出现多个中点时，优先考虑构造中位线建立等量关系。 17．如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到，再根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ∵为的中点， 是的中位线， ． 18．如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据中位线性质求出，，求出，然后由角平分线和平行线的性质推出，得到，，然后求出，证明出，得到． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 19．如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点F，连接，根据中位线的性质得，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：连接，取的中点F，连接， ∵点M，N，F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 20．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 题型06 利用中线和相似三角形性质求三角形面积 解｜题｜策｜略 中线平分面积；重心分中线2∶1，面积比＝相似比的平方。设未知数，利用面积相等或比例关系列方程，将几何问题转化为代数运算求解。 21．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得相似比．再根据点D，E分别是，的中点，得，从而求得，则，即；然后由点D是的中点，求得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴相似比． ∵点D，E分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点D是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 23．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质列方程． 由且为边的中线知，根据，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得． 【详解】解：∵，且为边的中线， ∴， ∵将沿边上的中线平移得到， ∴， ∴， 则，即， 解得或（舍）， 故答案为：2． 24．如图是的正方形网格，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图中的线段上找一点D，连接，使平分的面积； (2)若每个小正方形的边长为1，则在（1）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点D，连接，证明出，得到，即可得到平分的面积； （2）首先利用割补法求出的面积，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求． ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴平分的面积； （2）解：的面积， ∵平分的面积， ∴的面积． 题型07 全等三角形性质与判定的综合应用 解｜题｜策｜略 判定五法（SAS、SSS、ASA、AAS、HL），挖掘公共边、公共角等隐含条件。条件不足时作辅助线（倍长中线、截长补短），熟悉平移、旋转、一线三等角模型。 25．在等边中，D是上一点，沿着将折叠，得到，F是上一点，沿着将折叠，得到． （1）如图1，______； （2）如图2，点G是上一点，已知，若，，则的长为______． 【答案】 120 6 【分析】（1）由折叠的性质得，即可求解； （2）过点G分别作于点M，于点N，由判定、，由全等三角形性质得，，由线段和差得，，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 由折叠可知； （2）解：如图，过点G分别作于点M，于点N， 由折叠可知， ∴， ， （）， ∴， 同理可证， ， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 26．如图，在中，，在上截取，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行线性质得到，进而由两个三角形全等的判定定理即可求证； （2）由（1）中证得的得出相关角与边的关系，再由勾股定理求出，进而得出，最后再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，，， ，， ， ． 27．如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点，之间的距离为 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 28．如图，等腰中，，，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接与相交于点． (1)如图1，当时， ①依题意补全图形， ②证明； (2)如图，当时，用等式表示和的数及关系，并证明． 【答案】(1)①见详解；②证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】核心考查图形的旋转与全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点． （1）①依题意补全图形即可． ②根据旋转角和角都是，以及同角的余角相等，得到． （2）在上截取，连接，分别过点，作，，垂足分别为，首先证明，继而证明，得到对应边和对应角相等，再证明，得到对应边相等，从而得证，得到． 【详解】（1）解：①如图，依题意补全图形； ②当时，旋转角， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在上截取，连接，分别过点，作，，垂足分别为， ，， ∴， ， 又， ∴在和中， ， ， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型08 等腰三角形性质与判定的应用 解｜题｜策｜略 三线合一（顶角平分线、底边中线、高重合）是核心工具；等边对等角建立角度等式。边长计算分腰/底讨论并用三边关系检验，常构造直角三角形。 29．如图，在中，，．分别以点、为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点、，作直线交于点，连接．则下列说法中不正确的是（    ） A．是线段的垂直平分线 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形面积性质求解即可； 【详解】解：A.根据基本作图，可得是线段的垂直平分线，正确，不符合要求； B. 根据线段垂直平分线的性质，得，正确，不符合要求； C.  ，．，，， ， ， ， ，正确，不符合要求；     D. 根据题意，得，，， 故，错误，符合要求 30．如图，在中，，点D在的延长线上，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 31．如图，在中，，，，D是的中点，连接，将沿折叠，使点A落在点E，连接，则的面积为________． 【答案】/ 【分析】延长交的延长线于点，过C作于H，根据勾股定理求得斜边，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，以及折叠的性质得出，，证明得到，，利用三角形的等面积法和勾股定理分别求出，，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，过C作于H，则， ∵在中，，是的中点， ∴，， ∵将沿折叠， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， 由得， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握以上知识点，添加辅助线是解题的关键． 32．如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 题型09 特殊三角形的分类讨论问题 解｜题｜策｜略 等腰按“哪边为腰”讨论；直角按“哪个角为直角”分三类；相似按对应顶点排列分类。每类列出几何条件列方程，求解后验证是否满足三角形存在条件。 33．如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】可证明是等边三角形，得到，则，可证明，即点B不能为直角顶点；当时，则，利用勾股定理求解即可；当时，过点D作于点H，则，求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵点D始终在内， ∴，即点B不能为直角顶点； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 34．如图，在直角中，，，，将直角边绕点顺时针旋转得到，旋转角为（），连接，.若是以边为直角边的直角三角形，则此时线段的长为______． 【答案】或或 【分析】随着旋转角度的增大，对中点P的位置进行分类讨论，结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：在直角中，，，， ∴， ， ①如图1，当时，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； ②如图2，当时，过点作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； ③如图3，当时，， ∴； 综上所述，线段的长为或或． 35．如图，在中，，，为边上一点，且满足最大内角与最小内角之差为，则的长为（） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】分和，过点作于点，过点作于点，则，然后通过勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：若，如图所示， ∵，作， ∴，但此时不是最小角，故排除； 若，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，则， 则，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，，则， ∴， ∴， ∴， 此时． 36．如图，已知在中，，，点在边上（点与点，不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点．当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】由“一线三等角”模型容易证明，由平行可判定，因此，故只需分析是等腰三角形的可能情况．分类讨论，当时，存在这样的点，则；当时，通过可计算出；当时，点与点重合，不符合题意． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴也是等腰三角形， ①当时，如图， ∵， ∴； ②当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，此时点与点重合，不符合题意； 综上所述，的长或． 题型10 三角形背景下的最值问题 解｜题｜策｜略 解决三角形最值问题，核心是转化轨迹，化折为直。第一步：识别动点轨迹——在直线上运动优先考虑将军饮马（作对称）或胡不归（构造正弦线）；在圆上运动则用阿氏圆（构造子母相似）或隐圆（先定圆）。第二步：若求多线段和（PA+PB+PC）最小值，用费马点旋转60°将折线拉直。第三步：遇主从联动，用瓜豆原理确定从动点轨迹再求解。关键是合理转化系数、构造辅助图形，将几何最值转化为两点间线段或点到直线垂线段问题。 37．【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)的面积的最大值是． 【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 38．如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 【答案】2 【分析】取的中点，连接，利用含角的直角三角形的性质，得出边的关系，证明，得出，确定当时，的值最小，即的值最小，然后利用平行线分线段成比例进行求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为2． 39．如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线，掌握相关知识的灵活运用． 连接交于E，，可推出，，从而得出当B、Q、E共线时，最小，作于H，设，则，，利用勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，由即可得解． 【详解】解：如图，连接交于E， ∵于D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵Q是的中点， ∴是定值，当B、Q、E共线时，最小，即的周长最小， 作于H，设， ∵， ∴， ∵Q是的中点，，， ， ∴， 在中，， ∵的周长最小值为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 40．如图，线段 ，点 在 上，且 ． 以 为顶点作等边三角形 ，连接 、． 当 最小时，的边长最小是_________________． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，含角的三角形的性质，勾股定理等知识，将绕点C顺时针旋转得到可知，，当点、Q、B三点共线时，取最小，且最小值即为线段的长度．再由垂线段最短可知：当时，的边长最小，过作，利用含角的三角形的性质求解和等面积法求解即可．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， 将绕点C顺时针旋转得到，则有，， ∴，， ∴， ∴当点、Q、B三点共线时，取最小，且最小值即为线段的长度． 此时，由垂线段最短可知：当时，的边长最小， 过作，如下图所示，此时， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵ 即的边长最小是， 故答案为：． （20分钟限时练） 41．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于 ，平分， 在中，， ， 即 ∴ ∴ ∴ 42．在中，，，平分交于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，通过延长辅助线构造全等三角形，即，，利用全等三角形对应边相等的性质，推导出与的数量关系，即可求出的长． 【详解】解：延长、交于点， ∵ ，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ． 43．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，则点A经过的路径长为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再根据含的直角三角形的边长关系求得，即可解答． 【详解】解：， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负数舍去）， ， 将绕点B逆时针旋转， ， ∴点A经过的路径长为． 44．如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 【答案】 【分析】连接，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，证出，，即可得出的周长即为，故可得出结果． 【详解】解：连接，，如下图所示： ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为： ． 45．如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用尺作一个三角形，全等三角形的判定与性质综合，解直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． （1）法一，利用作全等三角形；法二：利用作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三角形；法四：通过作两次垂直构造全等三角形； （2）先利用等腰直角三角形的性质，说明，再设，可用表示出，接着用表示出，就可用表示出，然后利用全等三角形的性质证得，就可求得的值． 【详解】（1）解：作图． 法一：作．   法二：作． 法三：作．     法四：作． 如图所示，即为所作的三角形． （2）过点作，垂足为点， 等腰三角形中，， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 46．能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． (1)任写一组勾股数满足第一类形式为________； (2)假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)，证明见解析 【分析】（1）根据第一类每组勾股数的三个数之间的规律可得答案； （2）根据第二类每组勾股数的变化规律，猜想并证明即可． 【详解】（1）解：取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵，， ∴， 故一组勾股数满足第一类形式为（答案不唯一）； （2）解：可猜想：第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， m为偶数，且，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 47．（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 48．相似三角形的判定与应用 (1)如图1，已知，在上截取一点C，作的垂直平分线交于点D，作的垂直平分线交的延长线于点E，连接，则___________（用含的式子表示）； (2)如图2，在等腰中，，点P是射线上一点，当恰好为的平分线时，，，求的长； (3)如图3，在等腰中，，若点P为的垂直平分线与延长线的交点，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而得出相等的角，再利用三角形外角的性质求出； （2）先求出的长度，再根据角平分线和等腰三角形的性质得到相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求出； （3）通过作辅助线，作交于，作于，于，于，再利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式以及相似三角形的性质求出． 【详解】（1）的垂直平分线交于点， ， ， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， ， （2），， ， ， ，， 恰好为的平分线， ， ， ， ， ， ， ，， 的长是； （3）作交于，作于，于，于， 点为的垂直平分线与延长线的交点， ， ， ， ， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第2页，共54页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $