热点05 二次函数图象性质及应用（培优热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

热点05 二次函数图象性质及应用 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 函数值大小的比较 题型02 二次函数图象与系数的关系 题型03 二次函数的图象平移问题 题型04 几何图形面积的最值问题 题型05 二次函数的营销问题 题型06 二次函数实际建模问题 题型07 二次函数与相似三角形的综合应用 题型08 二次函数与线段问题 题型09 二次函数与特殊三角形的存在性问题 题型10 二次函数与特殊四边形的存在性问题题型 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“二次函数”部分分值占比约12%-18%，是解答题压轴题的首选内容。考查覆盖三大核心模块：图象与性质基础（函数性质比较、图象与系数关系、图象综合判断、平移变换、与坐标轴交点）、实际应用问题（面积问题、动点问题、拱桥问题、喷水问题、营销问题、生活中的二次函数）、代几综合压轴题（与三角形、四边形综合，涉及存在性问题、面积比例、最值问题）。试题突出数形结合、分类讨论思想，重视二次函数与方程、不等式的内在联系，综合题难度大、区分度高。 预测2026年：图象与性质基础：基础性保持稳定，含参函数图象与系数关系判断仍是热点，可能增加新定义函数图象的辨析。 实际应用问题：情境设计更加多元，跨学科融合（物理运动、经济利润）题型增多，需关注自变量取值范围对最值的影响。 代几综合压轴题：与特殊四边形、相似三角形存在性问题成为核心，面积比例分析、动点轨迹与函数关系探究难度进一步提升。 题型01 函数值大小的比较 解｜题｜策｜略 先确定开口方向和对称轴，开口向上时离对称轴越远函数值越大，开口向下时离对称轴越近函数值越大。计算各点到对称轴的距离进行比较。 1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 3．（2022·江苏常州·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)当时，求函数y的取值范围 (3)设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 题型02 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜策｜略 一看开口定a（上正下负），二看与y轴交点定c（交于正半轴则c>0），三看对称轴位置结合a定b符号（左同右异）。特殊点代入（如x=1时y=a+b+c）辅助判断。 5．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·江苏南京·月考）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：①；②；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 二次函数的图象平移问题 解｜题｜策｜略 牢记“左加右减自变量，上加下减常数项”。将一般式化为顶点式再平移不易出错。 9．（2026·河南周口·一模）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的函数解析式为________． 10．（2026·陕西商洛·一模）将抛物线（为常数，且）向右平移个单位长度得到抛物线，若点均在抛物线上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 12．（2026·河南郑州·一模）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 题型04 几何图形面积的最值问题 解｜题｜策｜略 先根据几何图形面积公式建立函数关系式，注意自变量的实际意义（边长非负、墙长限制等）。配方法求顶点纵坐标即为最值，但要验证顶点横坐标是否在定义域内——若不在，则利用函数增减性在边界处取最值。 13．（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，，点从点出发，以的速度沿折线方向运动到点停止；同时，动点从点出发，以的速度沿方向运动到点停止，设的面积为，运动时间为，则与之间关系的图像如图2所示． （1）写出当时函数图象的解析式为__________． （2）当面积时，对应的运动时间的值是__________． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 15．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 16．（2026·江西吉安·一模）问题背景：已知二次函数的一般表达式是，如果a为非0的确定常数，，我们就称该函数为“b值函数”．例如：当，时，此二次函数为，它就是一个“b值函数”．某数学兴趣小组围绕该定义，做以下探究． 探究1 (1)对“b值函数”进行探究后，得到下列结论： ①“b值函数”的图象与x轴一定有两个交点； ②随着b值增大，函数的顶点纵坐标一直增大； ③当b值取相反数时，两函数的顶点关于y轴对称． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． (2)对于“b值函数”，随着b值的变化，函数图象与x轴的交点也在变化．设其与x轴的一交点为，若时，求b的取值范围． 探究2 (3)设“b值函数”的顶点坐标为，请用含b的式子表示m与n的关系． 探究3 (4)如图，某人想用长的栅栏，借用围墙围成一个矩形羊圈，围墙足够长，设矩形的边，面积为，请写出S关于x的函数表达式，判断该函数是不是“b值函数”，并说明该函数的顶点变化规律；当羊圈最大面积是时，求需要用多长的栅栏． 题型05 二次函数的营销问题 解｜题｜策｜略 确定单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售量。销售量通常随价格呈一次函数变化，代入得二次函数。注意售价范围及取整要求（通常x为正整数）。 17．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 18．（2026·四川南充·一模）某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）． (1)若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示） (2)若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； (3)若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 19．（2025·江苏南通·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为： ，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 20．（25-26九年级上·广东韶关·期末）根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1：经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1：分析数量关系 根据素材1中的信息，请求出“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2：分析变量关系 根据素材2中的信息，设该系列手办的售价为a元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于a（元/件）的函数关系式． 任务3：探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，为使月销售利润w达到最大值，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 题型06 二次函数实际建模问题 解｜题｜策｜略 合理建立坐标系是关键。通常以顶点为原点或对称轴为y轴，设顶点式求解。注意水流轨迹与地面的交点即落水点，对应y=0的解。 21．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 隧道限高问题 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 工具 皮尺、标杆等 测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆． 测量数据 测量项目 数值 矩形的尺寸 长，宽； 标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为； 问题解决 (1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离； (2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过． 22．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示，是垂直于水平地面的柱子，已知，是平行于地面的一根支架，拱门的最高点在点C处，测得，． (1)求出图中支架的长度； (2)从柱子上的点M处拉一条横幅到拱门的点N处（），拉上横幅后，若要使身高是的小明不弯腰通过该拱门，横幅长度最多为多少米？ (3)小明想在毕业拱门顶部挂一盏高为米的灯笼（如图2）．如图3，灯笼与立柱的水平距离为m米，灯笼须在（2）中最长横幅的上方，底端（点Q）与横幅的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点P）与悬挂点（T点）的距离为d米．若，，求d的最小值． 23．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知，与时间的关系为．    方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30    解决问题： (1)根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度_________，重力加速度_______； (2)写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 24．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 题型07 二次函数与相似三角形的综合应用 解｜题｜策｜略 建立“解析式→点的坐标→线段长→几何问题”的转化链条。代数论证与几何论证双线并进——利用相似三角形性质建立方程求解。 25．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 26．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2026·湖北孝感·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 28．（2026·湖南永州·一模）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 题型08 二次函数与线段问题 解｜题｜策｜略 将线段表示为关于动点横坐标的二次函数，利用顶点坐标求最值，注意定义域限制。 29．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 30．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 31．（2026·重庆巴南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 32．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 题型09 二次函数与特殊三角形的存在性问题 解｜题｜策｜略 涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形时，需按顶点对应关系分类讨论，不重不漏。 33．（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 34．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 35．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2021·重庆永川·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10 二次函数与特殊四边形的存在性问题 解｜题｜策｜略 先假设存在，设出动点坐标（通常用参数表示），根据几何条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为代数方程，求解后验证是否在自变量范围内。 37．（2026九年级下·青海西宁·学业考试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2022·江苏扬州·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 40．（2022·海南海口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点两点，与轴交于点，连接直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)点是位于直线上方抛物线上的一个动点， ①如图1所示，过点作平行于轴与抛物线另一个交点为，当点位于上方时，过点作与轴平行的直线交于点，连接线段、、．当四边形的面积等于时，求点坐标； ②如图2所示，连接与直线交于点，当时，求的值； (3)是抛物线上一个动点，在平面内是否存在，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． （20分钟限时练） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·一模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，给出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③当时，或；④；⑤若二次函数经过点，则其图象必经过点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 3．（2023·四川成都·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，抛物线上点C的横坐标为点坐标为，连接，点M为平面内任意一点，将绕点M旋转得到对应的(点，D的对应点分别为点，若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为___________(点不与点A重合)． 4．（2026·上海虹口·一模）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； (2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 5．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． (1)求扑救点时抛物线的函数表达式； (2)成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； (3)在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式． 注：图上各点均在同一平面内． 6．（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系 ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值； (3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． (1)求的值； (2)如图1，点在第四象限的抛物线上，连接交于点．若点的横坐标为，设线段长为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过作轴交于点，连接，，在线段上取点，连接使，过作于点交于点，若，求点的坐标，并直接写出点是否在直线上． 8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点，连接，过点作，交抛物线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作交于．当取最大值时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移使得新抛物线经过线段的中点，为轴上的一点，连接，将射线绕着点旋转后与轴上方新抛物线交于点，且满足，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 9．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 试卷第90页，共90页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点05 二次函数图象性质及应用 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 函数值大小的比较 题型02 二次函数图象与系数的关系 题型03 二次函数的图象平移问题 题型04 几何图形面积的最值问题 题型05 二次函数的营销问题 题型06 二次函数实际建模问题 题型07 二次函数与相似三角形的综合应用 题型08 二次函数与线段问题 题型09 二次函数与特殊三角形的存在性问题 题型10 二次函数与特殊四边形的存在性问题题型 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“二次函数”部分分值占比约12%-18%，是解答题压轴题的首选内容。考查覆盖三大核心模块：图象与性质基础（函数性质比较、图象与系数关系、图象综合判断、平移变换、与坐标轴交点）、实际应用问题（面积问题、动点问题、拱桥问题、喷水问题、营销问题、生活中的二次函数）、代几综合压轴题（与三角形、四边形综合，涉及存在性问题、面积比例、最值问题）。试题突出数形结合、分类讨论思想，重视二次函数与方程、不等式的内在联系，综合题难度大、区分度高。 预测2026年：图象与性质基础：基础性保持稳定，含参函数图象与系数关系判断仍是热点，可能增加新定义函数图象的辨析。 实际应用问题：情境设计更加多元，跨学科融合（物理运动、经济利润）题型增多，需关注自变量取值范围对最值的影响。 代几综合压轴题：与特殊四边形、相似三角形存在性问题成为核心，面积比例分析、动点轨迹与函数关系探究难度进一步提升。 题型01 函数值大小的比较 解｜题｜策｜略 先确定开口方向和对称轴，开口向上时离对称轴越远函数值越大，开口向下时离对称轴越近函数值越大。计算各点到对称轴的距离进行比较。 1．（25-26九年级下·吉林长春·月考）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 3．（2022·江苏常州·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，然后根据两点距对称轴的距离判断大小即可． 【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口向下， ∴两点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． (1)求出抛物线的解析式； (2)当时，求函数y的取值范围 (3)设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）写出两点式即可得出结果； （2）根据增减性，进行求解即可； （3）直接根据图象法确定范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点和， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴； （3）解：由图象可知，时，或． 题型02 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜策｜略 一看开口定a（上正下负），二看与y轴交点定c（交于正半轴则c>0），三看对称轴位置结合a定b符号（左同右异）。特殊点代入（如x=1时y=a+b+c）辅助判断。 5．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴在轴的右侧， ∴， ∵与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 当时，， 即，故④不正确； 综上可得：正确的结论为：①③，有个． 6．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象得到，，根据对称轴得到，可知；根据二次函数的对称性可知；根据可知；分别求出当和时y的正负，进而根据平方差公式得到，即． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，A错误； ∵，对称轴为直线， ∴，B错误； ∵， ∴，C错误； 由图象可知，当时，， 当时，， ∴， ∴ 即， ∴，D正确． 7．（25-26九年级下·江苏南京·月考）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象开口向下，与轴负半轴有交点，得到、，对称轴，利用图象在处的函数值大于0，在处的函数值小于0，判断④⑤即可． 【详解】解：由图象可知，函数的对称轴为、且、， ， ， ， ， 故①错误，②正确； 由图象可知，该二次函数与轴有两个交点， 则令得：， 判别式， 故③正确； 由图象可知，在处的函数值大于零， 则将代入函数得：， 故④正确； 当时，， ， ，即， 故⑤正确； 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个． 8．（2026·安徽合肥·一模）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为．与轴负半轴交于点，在下列结论中：①；②；③当时，；④有两个不相等的实数根，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，，得出对称轴为，判断①，结合图象过点，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，方程的解即为函数与交点的横坐标即可判断④． 【详解】解：①二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为，， 该二次函数图象对称轴为：直线， ，即，故①错误； ②由题意可知：图象过点， ， 又， ，即，故②正确； ③由①可知，二次函数图象的顶点为， ， 又在二次函数中，当时， ， ，故③正确； ④由上知，，， ∴，而 ∴， ∴函数与有两个不同的交点， ∵方程的解即为函数与交点的横坐标， ∴有两个不相等的实数根，故④正确， ∴正确的有3个． 题型03 二次函数的图象平移问题 解｜题｜策｜略 牢记“左加右减自变量，上加下减常数项”。将一般式化为顶点式再平移不易出错。 9．（2026·河南周口·一模）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式，代入顶点坐标即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为． 10．（2026·陕西商洛·一模）将抛物线（为常数，且）向右平移个单位长度得到抛物线，若点均在抛物线上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求原抛物线对称轴，根据平移规律得到平移后抛物线的对称轴，再利用开口向上的二次函数的性质：点离对称轴越远，函数值越大，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵且， ∴原抛物线开口向上，对称轴为直线； 将原抛物线向右平移个单位后，抛物线的对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，且， ∴点到对称轴的距离不小于点到对称轴的距离， 即， 解得． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：∵原抛物线解析式为． 根据平移规则，图象向右平移2个单位，对x进行“右减”操作，得． 再向下平移3个单位，对整体进行“下减”操作，得． ∴所得抛物线的表达式为． 12．（2026·河南郑州·一模）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【答案】(1)； (2)n的值为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数表达式，再配方即可求得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为； ∵， ∴； （2）解：当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而,且新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 题型04 几何图形面积的最值问题 解｜题｜策｜略 先根据几何图形面积公式建立函数关系式，注意自变量的实际意义（边长非负、墙长限制等）。配方法求顶点纵坐标即为最值，但要验证顶点横坐标是否在定义域内——若不在，则利用函数增减性在边界处取最值。 13．（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，，点从点出发，以的速度沿折线方向运动到点停止；同时，动点从点出发，以的速度沿方向运动到点停止，设的面积为，运动时间为，则与之间关系的图像如图2所示． （1）写出当时函数图象的解析式为__________． （2）当面积时，对应的运动时间的值是__________． 【答案】 4或 【分析】本题考查了二次函数的解析式，根据函数图象获取信息，根据题意得出；然后代入计算，最后再由图象确定另一个值即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ ∵，， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴， 根据函数图象得，当时，函数为过原点的二次函数， ∴设当时函数图象的解析式为， 将点M代入得：， 解得：， ∴； 当时， ， 解得：（负值舍去）； 根据图象得，当的图象上，当时，； ∴当面积时，对应的运动时间x的值是4或． 14．（2026·陕西西安·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设，则， ∴，     ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 15．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 16．（2026·江西吉安·一模）问题背景：已知二次函数的一般表达式是，如果a为非0的确定常数，，我们就称该函数为“b值函数”．例如：当，时，此二次函数为，它就是一个“b值函数”．某数学兴趣小组围绕该定义，做以下探究． 探究1 (1)对“b值函数”进行探究后，得到下列结论： ①“b值函数”的图象与x轴一定有两个交点； ②随着b值增大，函数的顶点纵坐标一直增大； ③当b值取相反数时，两函数的顶点关于y轴对称． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． (2)对于“b值函数”，随着b值的变化，函数图象与x轴的交点也在变化．设其与x轴的一交点为，若时，求b的取值范围． 探究2 (3)设“b值函数”的顶点坐标为，请用含b的式子表示m与n的关系． 探究3 (4)如图，某人想用长的栅栏，借用围墙围成一个矩形羊圈，围墙足够长，设矩形的边，面积为，请写出S关于x的函数表达式，判断该函数是不是“b值函数”，并说明该函数的顶点变化规律；当羊圈最大面积是时，求需要用多长的栅栏． 【答案】(1)③ (2) (3) (4)，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏 【分析】（1）设“b值函数”为，且a为非0的确定常数，结合二次函数的性质逐项分析即可得出结果； （2）先求出“b值函数”与轴的交点坐标为或，再结合题意得出，求解即可； （3）由（1）可得“b值函数”的顶点坐标为，结合题意得出，，由此计算即可得出结果； （4）由矩形的性质可得，求出，结合矩形的面积公式可得，再由二次函数的性质解答即可 【详解】（1）解：设“b值函数”为，且a为非0的确定常数， 令，则， 当时，，此时有两个相等的实数根，则与轴只有一个交点，故①错误； ∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵是大于0，还是小于0，是不确定的， ∴增大时，无法确定是增大还是减小，故②错误； 当b值取相反数时，新的顶点为，即， 两顶点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，故它们关于轴对称，故③正确； （2）解：令，则， 解得：，， ∴“b值函数”与轴的交点坐标为或， ∵对于“b值函数”，与x轴的一交点为，且， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：“b值函数”的顶点坐标为， ∴，， ∴，即； （4）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是“b值函数”， ∵，且， ∴顶点坐标为， ∴当增大时，顶点的横纵坐标均增大， ∵当时，取得最大值为，羊圈最大面积是， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，理解“b值函数”的定义是解此题的关键． 题型05 二次函数的营销问题 解｜题｜策｜略 确定单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售量。销售量通常随价格呈一次函数变化，代入得二次函数。注意售价范围及取整要求（通常x为正整数）。 17．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【答案】(1) (2)①，280元；②当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大 【分析】（1）由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，即可设销售额与销售单价之间的关系式为，再代入求解即可； （2）①利用即可求解销售数量与销售单价之间的关系式，再由每件利润乘以销售数量即可求解单价为18元/个时的销售利润； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，由①得，销售数量，由建立起二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为， 设销售额与销售单价之间的关系式为， 将代入得， 解，得， 销售额与销售单价之间的关系式为； （2）解：①由（1）得， 由题意得，， ， 销售数量与销售单价之间的关系式为， 当时，销售利润为（元）； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元， 由①得，销售数量， ， 此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数， ，且， 当时，取得最大值， 当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大． 18．（2026·四川南充·一模）某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）． (1)若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示） (2)若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； (3)若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)为了扩大销量，应上涨元 (3)当该种剪纸的销售单价上涨元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先得出销售单价上涨元后的销售量，再求出投入元的广告费后的销售量即可； （2）把代入（1）中表达式，根据总销售利润达到元列一元二次方程，解方程求出的值，根据销售单价不高于元得出符合条件的的值即可； （3）把代入（1）中表达式得销售量为幅，根据利润每件利润销售量即可得出与之间的函数表达式，根据二次函数的性质，结合求出的最大值即可． 【详解】（1）解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元， ∴每天销售量为， ∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅， ∴实际销售量为幅． （2）解：当时，，销售量为幅， ∵每天的总销售利润达到元， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵销售单价不高于元，即， 解得：， ∴不符合题意，舍去． 答：为了扩大销量，应上涨元． （3）解：不投入广告费时，则，销售量为幅， ∴ ． ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵销售单价不高于元，即， ∴当时，取最大值，最大值为（元）． ∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 19．（2025·江苏南通·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为： ，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为整数） (2)第天的日销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设日销售量与时间的函数解析式为，根据图象把，代入即可求解； （2）设日销售利润为为元， 则，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为，将，代入，得， ，解得， ∴（，为整数）； （2）解：设日销售利润为元， 则， ①当时， ， ∵， ∴当时，有最大值元； ②当时， ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∵， ∴第天的日销售利润最大，最大利润为元． 20．（25-26九年级上·广东韶关·期末）根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1：经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1：分析数量关系 根据素材1中的信息，请求出“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2：分析变量关系 根据素材2中的信息，设该系列手办的售价为a元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于a（元/件）的函数关系式． 任务3：探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，为使月销售利润w达到最大值，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 【答案】任务1： 任务2： 任务3：65元/件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数、一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． 任务1：设“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为，利用4月份的销售量月份的销售量，解方程取符合题意的解即可得出结论； 任务：利用月销售量（该系列手办的售价，可找出关于的函数关系式； 任务：利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的二次函数，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设从2月份到4月份销售量的月增长率为， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为； 任务2：根据题意得， 由得，，解得， ∵， ∴， ∴； 任务三：由题意得，， ∵ ∴当时，w取得最大值 答：该文创公司应将手办的实际售价定为65元/件． 题型06 二次函数实际建模问题 解｜题｜策｜略 合理建立坐标系是关键。通常以顶点为原点或对称轴为y轴，设顶点式求解。注意水流轨迹与地面的交点即落水点，对应y=0的解。 21．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 隧道限高问题 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 工具 皮尺、标杆等 测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆． 测量数据 测量项目 数值 矩形的尺寸 长，宽； 标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为； 问题解决 (1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离； (2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过． 【答案】(1)，隧道最高点P到路面的距离为 (2)大货车可以安全通过，理由见解析 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，设函数表达式为，根据题意，得点的坐标为，，利用待定系数法求解即可； （2）隧道内设双向行车道，求出纵坐标与作比较即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图： 设函数表达式为， 根据题意，得点的坐标为，， 代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：， 当时，， ∴隧道最高点P到路面的距离为； （2）解：大货车可以安全通过，理由如下： 隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道， ∴当时，， ∴这辆大货车能安全通过这个隧道． 22．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示，是垂直于水平地面的柱子，已知，是平行于地面的一根支架，拱门的最高点在点C处，测得，． (1)求出图中支架的长度； (2)从柱子上的点M处拉一条横幅到拱门的点N处（），拉上横幅后，若要使身高是的小明不弯腰通过该拱门，横幅长度最多为多少米？ (3)小明想在毕业拱门顶部挂一盏高为米的灯笼（如图2）．如图3，灯笼与立柱的水平距离为m米，灯笼须在（2）中最长横幅的上方，底端（点Q）与横幅的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点P）与悬挂点（T点）的距离为d米．若，，求d的最小值． 【答案】(1) (2)横幅长度最多为5米； (3)d的最小值为． 【分析】（1）作交于F，交于E，可知，，根据三角函数得到，，求出，则，根据二次函数的对称性得到，即可求出支架的长度； （2）以O为原点，为一个单位建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，当横幅最长时，，求出x的值即可； （3）根据“求d的最小值”可知应取最大值，进而求出底端（点Q）与地面的铅垂高度，根据抛物线图象可知抛物线下方直线上的点离对称轴越远，离抛物线的铅垂高度越小，即d的值越小，得到当时，d的值最小，求出当时y的值，即可求出d的最小值． 【详解】（1）解：如图，作交于F，交于E，可知，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，拱门的最高点在点C处， ∴， ∴； （2）解：如图，以O为原点，为一个单位建立平面直角坐标系， 由（1）可知， ∴，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当横幅最长时，取， 解得：（负值舍去）， ∴， 即横幅长度最多为5米； （3）解：∵灯笼须在（2）中最长横幅的上方，，求d的最小值， ∴底端（点Q）与地面的铅垂高度为， ∵抛物线开口向下，灯笼在抛物线下方， ∴抛物线下方直线上的点离对称轴越远，离抛物线的铅垂高度越小，即d的值越小， ∵， ∴当时，d的值最小， 当时，， ∴． 23．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知，与时间的关系为．    方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： 1 2 3 10 20 30    解决问题： (1)根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度_________，重力加速度_______； (2)写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1)10，10 (2)；前进了 (3) 【分析】（1）根据表格解题即可； （2）根据待定系数法即可求出解析式，计算当时自变量的值，即可得解； （3）推出小球进入纸箱时的高度，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，代入到中， 得； 代入到中， 得， 解得； （2）解：∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得（负值舍去）， 即它在水平方向上前进了； （3）解：∵桌面高度为，正方体纸箱高度为，小球要落入纸箱，则小球要在时进入纸箱， 将代入中， 解得（负值舍去）， ∴纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为， ∴的取值范围为． 24．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)无人机升至某高度时需向右移动 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入计算即可得出结果； （2）求出点的坐标为，由二次函数的平移规律可得向右移动后的表达式为，代入计算即可得出结果； （3）当时，，，求出，即可得出无人机升至某高度时需向右移动，设顶点向右平移米，则，，当时，，，表示出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为， 代入得， 解得：， ∴此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∵向右移动后的表达式为， ∴代入可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴信息3中移动距离的值为； （3）解：当时，，， ∵， ∴无人机升至某高度时需向右移动， 设顶点向右平移米，则，， 当时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴无人机升至某高度时需向右移动． 题型07 二次函数与相似三角形的综合应用 解｜题｜策｜略 建立“解析式→点的坐标→线段长→几何问题”的转化链条。代数论证与几何论证双线并进——利用相似三角形性质建立方程求解。 25．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 26．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 27．（2026·湖北孝感·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)①有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，；②，或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可； （2）求出点B，C的坐标，再利用勾股定理逆定理解答即可； （3）①分三种情况：当顶点G，H都在边上时，只有一个顶点H落在上时，当点E与点C重合时，结合相似三角形的判定和性质解答即可；②结合①，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 对于， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：①当顶点G，H都在边上时，如图，设与交于点K， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴．， ∴， ∴，即， ∴； 当顶点G在边上，顶点H在边上时，如图， 此时点F与点C重合， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E与点C重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，； ②有两个顶点G，H落在上时，， 只有一个顶点H落在上时，； 当点E与点C重合时，点G在上，， ∴当或或时，矩形的面积最大， 当时，，，即点E的纵坐标为1， 当时，，解得：， ∴矩形在边上的顶点的坐标分别为，； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点H为的中点， ∴点H的坐标为； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点G为的中点， ∴点G的坐标为； 综上所述，矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标为，或． 28．（2026·湖南永州·一模）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求得m即可； （2）由（1）知直线 的解析式为，可设点，且点，则求解即可； （3）结合已知可得，则D点纵坐标为，进一步得出点D的坐标，再求出点A的坐标，然后求出的解析式，然后联立的解析式和抛物线解析式即可求出点P的坐标． （4）在x轴取点P，使，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）知直线 的解析式为， ∵P是直线下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作平行于y轴交于N， ∴点， 那么， 则最大值为； （3）解：∵点， ∴， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得，， ∴点， 设的解解析式为：， 则， 解得： 则的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）解：在x轴取点P，使，连接，如图， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，正确作出辅助线是解题的关键． 题型08 二次函数与线段问题 解｜题｜策｜略 将线段表示为关于动点横坐标的二次函数，利用顶点坐标求最值，注意定义域限制。 29．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，再将代入得出c的值即可； （2）设，则，分两种情况：①当P在直线的下方时，如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设点C关于对称轴的对称点为E，则，验证，可得点P与点E重合；当P在直线的上方时，作点P关于的对称点，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求解； （3）在上取一点F，使得，得出，在上取一点G，使得轴，垂足为B，则，作B关于的对称点，连接交于点T，根据轴对称的性质得当M在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法计算出，进而计算出，再证，根据即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即， ， 将代入，得：， 解得， 二次函数关系式为； （2）解：在中，令，得， 解得或， ，， 当时，， ， ，， 设，则， ①当P在直线的下方时，如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ，， 设点C关于对称轴的对称点为E，则， ， ， ， ，， ， 点P与点E重合， ； 当P在直线的上方时，作点P关于的对称点， ，都是等腰直角三角形，， 点在y轴上，， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，抛物线上存在点P，使，坐标为或； （3）解：如图，在上取一点F，使得， 设，则， 在中，，，， 由，得， 解得， ， ， ， 在上取一点G，使得轴，垂足为B， ， ， 即， 如图，作B关于的对称点，连接交于点T， ， ∴当M在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 30．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 31．（2026·重庆巴南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)最大值时，点的坐标为；的最小值为 (3)点的横坐标为或，见解析 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设点，进而得到，，求出，证明，得到，求最值即可，设滑动后的对应点分别为，将点B向上平移2个单位到点，进而得到四边形是平行四边形，推出，进行求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，设点的坐标为，在中，勾股定理求出点坐标，证明，进而得到，设，根据，列式计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，对称轴是直线， 将点，代入抛物线中，得 ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）∵，当时，． ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点， ，， ， 轴， ， ； ， ∴当时，有最大值；此时，点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为， 将点B向上平移2个单位到点 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当且仅当三点共线时，取得最小值． ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：点的横坐标为或，理由如下： 如图，在轴负半轴上取点，使得，连接， 设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 设， 在中，， ， 解得或． 点的横坐标为或时，． 32．（2026·湖北十堰·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或 【分析】（1）由得，得，把B的坐标代入得，求出a的值即可； （2）解：设，则，过E作于F，根据等腰直角三角形的性质可求出，，则，然后把E的坐标代入求解即可； （3）①分，，讨论，根据相似三角形的判定与性质求出M的坐标，根据轴求出N的坐标，然后数学结合求出即可； ②分，讨论，分别求出抛物线于直线，的交点坐标，然后画出草图，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 过E作于F， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当时，解得，， ∴， 当P和B重合时，， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴，此时M、N重合， 当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合， 设， 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 则轴， 又轴， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵轴， ∴N的横坐标为， ∵N在抛物线上， ∴N的纵坐标为， ∴， ∴； 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 同理可求，， ∴； 当时，如图， 同理可求， 综上，； ②当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当时，， 当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 综上，当或或时，． 题型09 二次函数与特殊三角形的存在性问题 解｜题｜策｜略 涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形时，需按顶点对应关系分类讨论，不重不漏。 33．（2026·宁夏银川·一模）二次函数图象经过，，三点． (1)如图①，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结，分别与、y轴交于点M、N，记的面积为S，的面积为T，求的最大值； (3)若点Q为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角若其直角顶点G恰好落在抛物线的对称轴上，求点G的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解： 设抛物线的解析式为， 将点代入得 ， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）解：∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴； 如图，当是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； 综上，点G的坐标为或或或． 34．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 35．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 36．（2021·重庆永川·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为(−3，4) (3)存在，点M的坐标为：，， 【分析】（1）由直线方程可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式，再令y=0可求得C点坐标； （2）过E作EH⊥PD于H，可求得EH，设出P点坐标，则可表示出D、E、F的坐标，从而可表示出PD和EF，利用梯形面积公式可表示出四边形PDEF的面积，根据二次函数的最值，可求得P点坐标； （3）可求得直线AG和A′G′的方程，从而可表示出M、N点的坐标，从而可表示出MN、FM、FN的长，分MN=FM、MN=FN和FM=FN三种情况分别求解即可． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，∴A(−4，0)，B(0，4)． ∵抛物线经过A、B两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA． ∵OA=OB=4， ∴∠OAB=45°． ∴∠HDE=45°，且DE=． ∴HE=HD=2． 设点P的坐标为(，--3+4)， 则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．    ∴|PD|=-−3+4-(+4)=--4，   |EF|=--7-6-(+6)=--8-12． ∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF) = ×2(--4--8-12) =-2-12-12 =-2(+3)2+6． ∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6． 此时点P的坐标为(−3，4)． （3）满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下： ∵OG=2， ∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)． 设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得． ∴直线AG的方程为． ∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0） 令=0可得−+-2=0，解得=-4， ∴点M的坐标为(-4，0)． 联立直线与直线AB方程可得，解得． ∴点N的坐标为(，)． ∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)． ∴MF2=(-4+2)2=-4+4， MN2=(-4-)2+(0−)2=()2+()2=， NF2=(+2)2+()2=． 当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论： ①当MN=MF时，即=-4+4， 解得=或=． 此时点M的坐标为或． ②当MN=NF时，即=， 解得=-6(舍去)或=2． 此时点M的坐标为(-2，0)．    (点M与点F重合，舍去)． ③当MF=NF时，即-4+4=， 解得=0(舍去)或=． 此时点M的坐标为(，0)． 综上所述，平移后点M的坐标为，， 【点睛】本题为二次函数的综合，涉及知识点有待定系数法、四边形的面积、二次函数的最值、平移、勾股定理及分类讨论思想．在（1）中求得A、B坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标表示出四边形PDEF的面积是解题的关键，在（3）中分别表示出MF、NF、MN的长是解题的关键．本题考查知识点多，综合性强，计算量大，难度较大． 题型10 二次函数与特殊四边形的存在性问题 解｜题｜策｜略 先假设存在，设出动点坐标（通常用参数表示），根据几何条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为代数方程，求解后验证是否在自变量范围内。 37．（2026九年级下·青海西宁·学业考试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）分别将、代入抛物线，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接，则，易证得、、是等腰直角三角形，进而得到点的纵坐标为，从而求出点的坐标，根据进行求解即可； （3）设点，点，分情况讨论：当为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， 点在点的左侧， 、， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 令，， 解得或（舍去）， 、； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 由（1）知、， 设点，点， 分情况讨论： ①当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； ②当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或（舍去）， ； ③当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质、分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 38．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形；见解析 (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 39．（2022·江苏扬州·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 40．（2022·海南海口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点两点，与轴交于点，连接直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)点是位于直线上方抛物线上的一个动点， ①如图1所示，过点作平行于轴与抛物线另一个交点为，当点位于上方时，过点作与轴平行的直线交于点，连接线段、、．当四边形的面积等于时，求点坐标； ②如图2所示，连接与直线交于点，当时，求的值； (3)是抛物线上一个动点，在平面内是否存在，使得、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或或 【分析】（1）由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，进而求得点的坐标，根据四边形的面积等于，得出，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设，则，将的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求解； ②证明，列比例式可得的长，设，，表示的长，求得，进而根据正切的定义，即可求解； ③分三种情况讨论，当为矩形的对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形，根据矩形的性质，利用勾股定理以及解直角三角形的方法求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，解得， ∴解析式为； （2）①解析式为 ∴对称轴为直线 ∵， ∴关于直线对称 当时，， ， ∴ ∴ ∵四边形的面积等于， ∴ ∴ 设直线的解析式为， 将，分别代入得， 解得：， 直线的解析式为：， 设，则即 ∵在上 ∴ 解得：或（与点重合舍去） ∴ ②过点作轴的平行线，交直线于点，交轴于点， 过点作轴的平行线，交直线于点， ， 当时，， ，， 轴， ， ， ， ， 设，， ， 解得：， ， ，， 在中，； （3）解：∵， ∴ ∴ 设 当为矩形的对角线时， ∵， ∴ 整理得， 即 ∴ ∵， ∴ 解得：或 当时，，则 当时，，则 当为对角线时，如图，设交轴于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 当为对角线时， ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，或或或 （20分钟限时练） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性比较函数值的大小是解题的关键；先求出对称轴，再根据时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ，， ， 故选：． 2．（2025·陕西西安·一模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，给出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③当时，或；④；⑤若二次函数经过点，则其图象必经过点．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断选项①④；由图象性质即可判断②；由二次函数性质结合即可判断③；根据二次函数的性质即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴正半轴相交， ， 对称轴在轴右侧， ，异号， ， ，，故①正确，④错误； 对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； ∴当时，随的增大而减小；故②正确， ∵对称轴为直线，且经过点， ∴抛物线经过， ∴当时，；故③错误； ∵二次函数经过点，对称轴为直线， ∴抛物线图象必经过点，故⑤正确． 故选：C． 3．（2023·四川成都·一模）如图，抛物线与x轴交于两点，抛物线上点C的横坐标为点坐标为，连接，点M为平面内任意一点，将绕点M旋转得到对应的(点，D的对应点分别为点，若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为___________(点不与点A重合)． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线的性质、中心旋转的坐标变换及中点坐标公式，解题的关键是分情况讨论中落在抛物线上的两个点，结合抛物线解析式与坐标变换列方程求解． 先求出抛物线与x轴交点A、B及点C的坐标；再分三种情况与在抛物线上、与在抛物线上、与在抛物线上），利用抛物线对称轴、中点坐标公式或平移规律表示对应点坐标，代入抛物线解析式求解，舍去重合的情况后得到点的坐标． 【详解】解：令，解得：或，则函数的对称轴为， 当时，则， 即点； 以下分三种情况讨论： ①当点、在抛物线上时，如图， 由，抛物线的对称轴为， 则点的横坐标为， 当时，， 则点， 设点为， 由中点坐标公式得：且， 解得：，， 即点的坐标为：； ②当在抛物线上时， 设点的坐标为：， 由点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：； ③当、在抛物线上时， 设点的坐标为：， 由点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：， 该点和点重合，故舍去； 综上，点的坐标为：或， 故答案为：或． 4．（2026·上海虹口·一模）“已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； (2)将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标； （1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，经过， ∴是的一个根， 由根与系数关系，得，即， 解得， ∴添加的条件为； （2）解：将抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 关于原点的对称点为， 将代入， 得即， 解得． 5．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． (1)求扑救点时抛物线的函数表达式； (2)成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； (3)在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式． 注：图上各点均在同一平面内． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法把点，的坐标代入的解析式中求出、的值，即可得到结果； （2）设平移后抛物线的函数表达式为，把点、的坐标代入函数表达式，求出的最大值和最小值，即可得到的取值范围； （3）设抛物线的解析式为，把点、的坐标代入解析式求出、的值，即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得，， 抛物线经过点，， ， 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴于点， 山坡的坡度为， ， 设，， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ，， ， ， 同理可得， 喷射角度需维持不变， 平移后抛物线的形状不变． 设平移后抛物线的函数表达式为， 把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 的取值范围为； （3）解：如下图所示，过点作轴， ， 设，， 米， ， 解得：（负值舍去）， ，， ， ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 即． 6．（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系 ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值； (3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【答案】(1) (2)当汽车刹车后行驶了时， (3)该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）求出时，t的值即可得到答案； （3）利用二次函数的性质求出s的最大值即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 则， 解得， ∴． （2）解：由题意可得，， 解得， ∵， ∴， ∴． 答：当汽车刹车后行驶了时，． （3）解：该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，理由如下： ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． (1)求的值； (2)如图1，点在第四象限的抛物线上，连接交于点．若点的横坐标为，设线段长为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过作轴交于点，连接，，在线段上取点，连接使，过作于点交于点，若，求点的坐标，并直接写出点是否在直线上． 【答案】(1)； (2)； (3)，点E不在直线上． 【分析】（1）先求出点A坐标，进而得出C点坐标，进一步得出结果； （2）作轴于Q，可证得，从而，进而得出，从而； （3）作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，，可求得，从而得出，可证得，从而，进而证得四边形是平行四边形，从而，进而得出，作，交的延长线于R，作于T，作轴于X，可证得，从而，，，进而证得，从而，，进而证得矩形是正方形，从而设，代入抛物线的解析式，从而得出P点坐标；由（2）得出，从而，设，则，则，根据勾股定理列出关于n的方程，进而求得点E坐标，从而得出的解析式，根据和抛物线的解析式得出Q点坐标，根据直线和直线的关系得出直线的解析式，进而得出点E不在直线上． 【详解】（1）解：由得， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于Q， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，， ∴，，， ∴C、V、B在以O为圆心，为半径的圆上， 设交x轴于I， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 作，交的延长线于R，作于T，作轴于X， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴，四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， 则设， ∴， ∴，（舍去）， ∴ 由（2）得， ， ∴， 设，则，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理求得直线的解析式为， 设直线交轴于点，作轴于点，如图， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 同理得直线的解析式为：， 当时， ， ∴点E不在直线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的判定和性质等知识． 8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点，连接，过点作，交抛物线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作交于．当取最大值时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移使得新抛物线经过线段的中点，为轴上的一点，连接，将射线绕着点旋转后与轴上方新抛物线交于点，且满足，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法，将点，点分别代入，即可求解； （2）分别求得直线、直线的函数表达式，得直线与轴的交点的坐标为，设，求得，进而可得当时，有最大值，此时点的坐标为，进而求出；作，交轴于，可得，推导出当三点共线时， 最小，问题得解； （3）先求得中点的坐标为，得新抛物线相当于先将抛物线向右平移4个单位再向上平移1个单位，得，分①当射线绕着点顺时针旋转后，②当射线绕着点逆时针旋转后，结合图像分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，点，由题意得， 解得， ； （2）解：当时，， ， 设直线解析式为， 将，分别代入得， ， 解得， 直线解析式为， ， 可设直线解析式为， 将代入，得， 解得， 直线解析式为， 当时，， 设直线与轴的交点为， 则它的坐标为， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时点的坐标为， ， 点和点的纵坐标相同，都是3， 令，解得， ， 作，交轴于， 轴， 四边形是平行四边形， ，， 同理可得， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， 的最小值为； （3）解：，， 中点的坐标为，即， 将原抛物线沿射线方向平移使得新抛物线经过线段的中点，相当于先将抛物线向右平移4个单位再向上平移1个单位，得， 当射线绕着点顺时针旋转后，如图所示： 作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得，， ， ， 当时， ， ， 当射线绕着点逆时针旋转后，如图所示： 的坐标为， 同理可求； 点在轴上方， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，难度较大，涉及知识点较多，准确计算，数形结合，分类讨论是正确解答此题的关键． 9．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①0或3或或；②存在，理由见解析；③ 【分析】（1）根据，是方程的两个根求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①分情况讨论：当为平行四边形的对角线、为对角线、为对角线时，根据两条对角线的中点相同，进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可． 【详解】（1）解：，是的两个根， ，， ，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得， 令得：， 则点、， 抛物线与y轴相交于点C， 则点， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时， 的中点为、的中点为， 则 解得或， 令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 整理得， 判别式， 则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②解：存在，理由如下： 直线与x、y轴分别交于点D、E， 时，， 当时，，， ∴点、， ，， ， 由抛物线可知：当时，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 设，则，， ， （舍去）或， ； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为； 联立方程组， 得， ， 将代入，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， ， 解得：， 联立方程组， 得出， 点Q在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则， 由轴对称性质可得， 的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、轴对称—最短路径问题、解直角三角形的应用，数形结合思想方法的运用是解题的关键． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 试卷第90页，共90页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $