精品解析：甘肃省陇南市康县阳坝镇初级中学2021-2022学年九年级数学上学期期末试卷

2021年九年级数学上册期末试卷 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，关于抛物线，下列说法错误的是 （ ） A. 顶点坐标为(1，) B. 对称轴是直线x=l C. 开口方向向上 D. 当x>1时，y随x的增大而减小 4. 如图，是的圆周角，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中是必然事件的是（ ）. A. 抛出一枚硬币，落地后正面向上 B. 明天太阳从西边升起 C. 实心铁球投入水中会沉入水底 D. 篮球队员在罚球线投篮2次，至少投中一次 6. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. 10° D. 20° 7. 一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元，如果每次降价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的弦，半径于点D，且，．则的长为 A. B. C. D. 10. 函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 12. 一元二次方程的解是 ________． 13. 如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为，则图中的阴影部分的面积是_____（用表示）． 14. 抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为__． 15. 10名学生的身高如下（单位：），159、169、163、170、166、165、156、172、165、160，从中任选一名学生，其身高超过的概率是_____________________． 16. 抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____． 17. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于___ 18. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是___________． 三、解答题（28分） 19. 解一元二次方程：． 20. 已知二次函数的图象过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）写出该二次函数的顶点坐标和对称轴． 21. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 要从甲、乙、丙、丁四位同学中选出两位同学进行一场乒乓球比赛，那么恰好选中甲、丙两人的概率是多少？ B卷（50分） 23. 已知方程的一根是，求它的另一根及的值． 24. 已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F． 求证： （1）AD=BD； （2）DF是⊙O的切线． 25. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO． （1）所对的圆心角∠AOB= ； （2）求证：PA=PB； （3）若OA=3，求阴影部分的面积． 26. 如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标； （2）求二次函数的表达式． 27. 商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施．经调查发现，一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件． （1）设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式； （2）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？ （3）每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年九年级数学上册期末试卷 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式计算，通过判别式与0的大小关系判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图，关于抛物线，下列说法错误的是 （ ） A. 顶点坐标为(1，) B. 对称轴是直线x=l C. 开口方向向上 D. 当x>1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，根据a=1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2-2， A、因为顶点坐标是（1，-2），故说法正确； B、因为对称轴是直线x=1，故说法正确； C、因为a=1＞0，开口向上，故说法正确； D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误． 故选D． 4. 如图，是的圆周角，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴． 故选：D． 5. 下列事件中是必然事件的是（ ）. A. 抛出一枚硬币，落地后正面向上 B. 明天太阳从西边升起 C. 实心铁球投入水中会沉入水底 D. 篮球队员在罚球线投篮2次，至少投中一次 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．关键是熟练掌握：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．是随机事件，故A选项不符合题意； B．是不可能事件，故B选项不符合题意； C．是必然事件，故C选项符合题意； D．是随机事件，故D选项不符合题意． 故选C． 6. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. 10° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】先利用互余计算出∠BAC=90°﹣∠B=30°，再根据旋转的性质得∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A=45°，然后利用∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠BAC=90°﹣∠B=30°， ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C， ∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°， ∴△ACA′为等腰直角三角形， ∴∠CA′A=45°， ∴∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′=45°﹣30°=15°． 故选A． 7. 一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元，如果每次降价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据原价为121元，表示出第一次降价后的价钱为元，然后再根据价钱为元，表示出第二次降价的价钱为元，根据两次降价后的价钱为100元，列出关于x的方程． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：． 8. 如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长． 【详解】解：设底面圆的半径为，则：，解得， ∴圆锥的底面周长为. 故选B． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长． 9. 如图，是的弦，半径于点D，且，．则的长为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵半径， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A． 【详解】解：∵在y=ax-2， ∴b=-2， ∴一次函数图象与y轴的负半轴相交， ∵①当a＞0时， ∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限， ∵②当a＜0时， ∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 解：点关于原点对称的点的坐标是(， 故答案为：． 12. 一元二次方程的解是 ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 可得或， 解得． 13. 如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为，则图中的阴影部分的面积是_____（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】因为阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，所以只要求出两个的面积，就可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形内接于圆O， ∴是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为， ∴正方形对角线的长为， ∵是正方形对角线的一半， ∴，， ， ∴阴影部分的面积． 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，扇形的面积公式等知识，掌握以上知识是解题的关键． 14. 抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为__． 【答案】1 【解析】 【分析】首先求出抛物线与x轴的交点，进而得出AB的长． 【详解】当y=0，则0=x2﹣5x+6， 解得：x1=2，x2=3， 故AB的长为：3﹣2=1． 【点睛】考点：抛物线与x轴的交点．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图象与x轴交点是解题关键． 15. 10名学生的身高如下（单位：），159、169、163、170、166、165、156、172、165、160，从中任选一名学生，其身高超过的概率是_____________________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，由题意可知10人中，身高超过的有4人，用概率公式求解即可． 【详解】解：10名学生中，其身高超过的有4人， 所以从中任选一名学生，其身高超过165cm的概率是． 故答案为： 16. 抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____． 【答案】（2，5）． 【解析】 【详解】试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为：（2，5）． 故答案为（2，5）． 考点：二次函数的性质． 17. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于___ 【答案】140 O 【解析】 【详解】 18. 正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可知，∠OAB=60°，再利用锐角三角函数求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边心距为， ∴OB=，∠OAB=60°， ∴AB= ∴AC=2AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正六边形和圆，关键是熟练掌握正六边形的外接圆的半径等于正六边形的边长． 三、解答题（28分） 19. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握常用的解一元二次方程的方法．直接用因式分解法即可得到答案． 【详解】解：， 整理，得， ∴， ∴或 ∴． 20. 已知二次函数的图象过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）写出该二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2） 顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）将原解析式化为顶点式，进而作答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得， 即此二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 则该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 21. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据等量代换即可解答； （2）根据垂径定理可得，设的半径为r，则、结合可得，最后在中运用勾股定理列式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的直径，且于点E，， ∴． 设的半径为r，则，． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴的半径为3． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解答本题的关键． 22. 要从甲、乙、丙、丁四位同学中选出两位同学进行一场乒乓球比赛，那么恰好选中甲、丙两人的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、丙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲、丙两位选手的有2种， 则恰好选中甲、丙两位选手的概率． B卷（50分） 23. 已知方程的一根是，求它的另一根及的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】把x1=2代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根． 【详解】设它的另一根为，根据题意得，， 解得，． 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 24. 已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F． 求证： （1）AD=BD； （2）DF是⊙O的切线． 【答案】详见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得． （2）连接OD，再证明OD⊥DE即可． 试题解析：（1）连接CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴CD⊥AB． ∵AC=BC， ∴AD=BD． （2）连接OD； ∵AD=BD，OB=OC， ∴OD是△BCA的中位线， ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴DF⊥OD． ∵OD为半径， ∴DF是⊙O的切线． 考点：切线的判定；圆周角定理． 25. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO． （1）所对的圆心角∠AOB= ； （2）求证：PA=PB； （3）若OA=3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）120°；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】试题分析：（1）根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解： ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°． ∵∠APB=60°，∴∠AOB=180°﹣60°=120°． （2）证明Rt△OAP≌Rt△OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得． （3）求得△OPA的面积和扇形OAB的面积，根据求解． 试题解析：解：（1）120°． （2）证明：如答图，连接OP． 在Rt△OAP和Rt△OBP中，∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）．∴PA=PB； （3）∵Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴∠OPA=OPB=∠APB=30°， 在Rt△OAP中，OA=3，∴AP=． ∴， ．∴． 考点：1．切线的性质；2．四边形内角和定理；3．全等三角形的判定和性质；4．三角形和扇形面积的计算；5．转换思想的应用． 【详解】 26. 如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标； （2）求二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标； （2）设二次函数的解析式为（，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可． 【小问1详解】 解：∵如图，二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴对称轴是直线． 又点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴； 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为（，a、b、c常数）， 根据题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为． 27. 商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施．经调查发现，一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件． （1）设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式； （2）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？ （3）每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 【答案】（1） （2）降价20元 （3）每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元 【解析】 【分析】（1）根据每天盈利等于每件利润×销售件数得到y=（40-x）（20+2x），整理即可； （2）令y=1200，得到，整理得，然后利用因式分解法解即可； （3）把配成顶点式得到，然后根据二次函数的最值问题即可得到答案． 【小问1详解】 解：y=（40-x）（20+2x） =， 所以y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 令y=1200， ∴， 整理得，解得x1=10（舍去），x2=20， 所以商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价20元； 【小问3详解】 ， ∵a=-2＜0， ∴当x=15时，y有最大值，其最大值为1250， 所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据题意列出二次函数关系式，再配成顶点式，当a＜0，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了一元二次方程的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $