专题01二次根式期中复习讲义（10大常考题型+重点知识梳理）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期

专题01二次根式期中复习讲义 期中复习◆重点 概念：形如(a≥0)的式子即为二次根式，兼具双重非负特质 —— 二次根式本身非负，其被开方数a亦恒为非负；这也是根式有意义的核心前提，缺一不可。 性质：牢记两大核心公式：）2=a(a≥0）、=∣a∣）；最简二次根式需满足双重标准，不含分母、不含小数，且无开得尽方的因数或因式。 运算：乘除运算可直接合并根号，将被开方数相乘除后，结果务必化为最简；加减运算需先将所有根式化简，仅能合并被开方数相同的同类根式，分母含根号时需完成有理化。 常考题型：重点考查取值范围求解、根式化简求值、二次根式大小比较、代入计算，以及结合整式、分式的综合应用题型。 核心题型◆归纳 题型1二次根式有意义的条件 题型2二次根式的性质 题型3化为最简二次根式 题型4二次根式加减运算 题型5二次根式乘除与分母有理化 题型6二次根式混合运算 题型7已知字母的值，化简求值 题型8比较二次根式的大小 题型9二次根式的应用 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二次根式定义 形如（其中a≥0）的式子，叫做二次根式。注意：(根指数是2，省略不写；a为非负数） 知识点02二次根式有意义的条件 1.核心：被开方数为非负数，即a≥0； 2.补充：若二次根式在分母上，需同时满足a>0（分母不为0）。 知识点03二次根式的核心性质（高频考点） 1.）2=a(a≥0）； 2.=｜a｜=； 3.=·(a≥0,b≥0); 4.=(a≥0,b>0)。 知识点04二次根式的加减运算 核心：先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）； 注意：非同类二次根式不能合并（如与无法合并）。 知识点05二次根式的乘除运算 1.乘法：·=(a≥0,b≥0)，结果化为最简； 2.除法：=(a≥0,b>0)，也可转化为乘法（乘以分母的倒数）。 知识点06分母有理化 1.定义：将分母中的根号去掉，使分母为有理数； 2.常用方法：能通过找到有理化因式（如的有理化因式是,a+的有理化因式是a-),对分母含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。 知识点07最简二次根式 1. 定义：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数（或因式）的二次根式，叫做最简二次根式。 2. 判断标准（易错点）： （1）被开方数不能含有分母（若有，需先进行分母有理化）； （2）被开方数的因数（或因式）不能是完全平方数（或完全平方式），如不是最简，可化为（12含能开尽方的因数4）。 3.核心作用：二次根式的加减、乘除运算，最终结果需化为最简二次根式。 说明：两个非负数（除数不为0）的商的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的商，也是二次根式化简、除法运算的核心依据。 知识点08合并同类二次根式 1.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式； 2.合并方法：只把系数相加，被开方数和根指数不变（如2+3 =5）； 3.注意：非同类二次根式（如与）不能合并。 知识点09二次根式的估值与比较大小 1.估值方法：先对二次根式的被开方数进行平方估算，确定其介于两个相邻整数的平方之间，进而确定二次根式的取值范围； 2.比较大小： 正数比较：被开方数越大，二次根式的值越大； 正负比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数； 复杂比较：可先对两个二次根式分别平方，通过比较平方后的结果，确定原二次根式的大小（注意：仅适用于两个正数）。 题型解析◆精准备考 题型1二次根式有意义的条件 1．若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴实数的值可以为． 2．要使式子有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到结果． 【详解】解：由题意得，要使式子有意义，需满足， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是且． 3．已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【答案】10或11 【分析】由二次根式的定义可求得、的值，再求得其周长即可． 【详解】解：， 且， ， ， 当为等腰三角形的腰时，，可以组成三角形，则此三角形周长为， 当为等腰三角形的腰时，，可以组成三角形，则此三角形周长为． 题型2二次根式的性质 1．将化简为最简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．已知，化简 _____________ ． 【答案】 【详解】解：，有意义， ， ， ． 3．计算： 【答案】 【分析】根据绝对值、零次幂、负整数指数幂、二次根式的相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型3化为最简二次根式 1．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是将四个二次根式分别化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，即可得到答案． 【详解】解：∵ ① ，化简后被开方数为； ② ，化简后被开方数为； ③ ，化简后被开方数为； ④ ，化简后被开方数为； ∴ 化为最简二次根式后，①和②的被开方数相同，故选A． 2．将化为最简二次根式为____________． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 3．正方形的边长为a，它的面积与一个长为96，宽为12的长方形的面积相等，求a的值． 【答案】 【分析】根据面积相等，求算术平方根求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得，（舍去）． 题型4二次根式加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算规则与算术平方根的定义逐一判断选项即可. 【详解】A、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴ A选项计算错误． B、∵， ∴ B选项计算错误． C、∵表示的算术平方根，结果为非负数，即， ∴ C选项计算错误． D、∵， ∴ D选项计算正确． 故选D． 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：，则___． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则列式计算即可． 【详解】解：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5二次根式乘除与分母有理化 1．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 2．规定，则的值是______． 【答案】 【分析】首先根据新定义得到，然后利用分母有理化求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母都乘，再进行计算即可； （2）分式的分子和分母都乘，再进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 题型6二次根式混合运算 1．估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】先利用乘法分配律化简原式，再通过比较平方数估算无理数的大小，即可得到结果的范围． 【详解】解：先化简原式： ， ∵ ， ∴ 不等式同乘2得 不等式同减1得 ∴ 原式的值在和之间． 2．已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、乘法公式，解题的关键是熟练掌握应用乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则． 将代入代数式，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可． 【详解】解：把代入代数式得， 原式 ． 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式除法，再利用完全平方公式展开平方项，最后合并同类项得到结果，本题考查二次根式的混合运算，用到的知识点为二次根式化简、二次根式除法法则、完全平方公式．熟练掌握二次根式的运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型7已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： = 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 2．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式求值，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键。根据已知条件，先将其变形得到，再将所求代数式配方为 ，最后代入计算即可求出代数式的值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 3．已知 ，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知，再算出，将原式变形为，然后整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 题型8比较二次根式的大小 1．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 2．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】利用平方法以及作差法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 题型9二次根式的应用 1．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 2．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到的长度． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长； ∵重叠部分的小正方形的面积为， ∴小正方形的边长， ∴． 3．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)电视背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 过关检测◆提升 一、单选题 1．式子有意义的条件是（    ） A．且B． C．且 D． 【答案】B 【分析】要使该式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 3．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 4．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 5．若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入等式求出的值，最后根据二次根式的性质计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∴，解得， 把代入原等式，得， 解得， 根据二次根式的性质，当时，， ∵， ∴． 6．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．二次根式的值是 _________． 【答案】 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 因此． 8．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 9．______． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简原式，合并同类项得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数需满足，即 当时，， ， 原式 ． 10．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 11．已知，，则______． 【答案】25 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值，最后代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 12．将一个大长方形分成两个正方形和一个小长方形，两个正方形的面积如图所示，则小长方形的面积是________． 【答案】 6 【分析】先分别求出两个正方形的边长，即可得到小长方形的长和宽，即可求解． 【详解】解：两个正方形的边长分别为， 则小长方形的长为，宽为， ∴小长方形的面积是． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)+÷ 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式+ 14．若，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再根据平方差公式，进行计算即可； （2）先将变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； （2）解：，， ，， ． 15．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 16．小明的爸爸准备用一块面积为的正方形木板制作一个无盖的长方体收纳箱．他先裁去四个角的小正方形，然后折起边沿．若裁去的小正方形的边长为，则制成的收纳箱底面边长为，高为．请解答： (1)当时，求收纳箱的容积； (2)若要使收纳箱的表面积为，求x的值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式进行求解； （2）根据总体面积减去四个小正方形的面积列出等式，然后利用平方根进行求解． 【详解】（1）解：当时，底面边长为， 容积为； （2）解：由题意， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 17．对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： (1)化简：________； (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先化简，再变形 ，最后代入求值即可； （3）先得出 （n为正整数），再将式子变形为 ，最后进行加减，并化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵ ， 代入， 得； （3）解：由题意可得 （n为正整数）， ∴ ． 18．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空：_____，_____． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有：_____． (3)化简：（请写出化简过程）． (4)化简：． (5)若且为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) (5)k的值为11或19 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算； （4）首先将化简为，然后代入化简即可； （5）将展开后比较得到，，推出，结合为正整数得到，或，，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：∵ ∴ ； （5）解：∵ ∴， ∴ ∵为正整数， ∴，或， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期中复习讲义 期中复习◆重点 概念：形如(a≥0)的式子即为二次根式，兼具双重非负特质 —— 二次根式本身非负，其被开方数a亦恒为非负；这也是根式有意义的核心前提，缺一不可。 性质：牢记两大核心公式：）2=a(a≥0）、=∣a∣）；最简二次根式需满足双重标准，不含分母、不含小数，且无开得尽方的因数或因式。 运算：乘除运算可直接合并根号，将被开方数相乘除后，结果务必化为最简；加减运算需先将所有根式化简，仅能合并被开方数相同的同类根式，分母含根号时需完成有理化。 常考题型：重点考查取值范围求解、根式化简求值、二次根式大小比较、代入计算，以及结合整式、分式的综合应用题型。 核心题型◆归纳 题型1二次根式有意义的条件 题型2二次根式的性质 题型3化为最简二次根式 题型4二次根式加减运算 题型5二次根式乘除与分母有理化 题型6二次根式混合运算 题型7已知字母的值，化简求值 题型8比较二次根式的大小 题型9二次根式的应用 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01二次根式定义 1.形如（其中a≥0）的式子，叫做二次根式。注意：(根指数是2，省略不写；a为非负数） 知识点02二次根式有意义的条件 1.核心：被开方数为非负数，即a≥0； 2.补充：若二次根式在分母上，需同时满足a>0（分母不为0）。 知识点03二次根式的核心性质（高频考点） 1.）2=a(a≥0）； 2.=｜a｜= 3.=·(a≥0,b≥0); 4.=(a≥0,b>0) 知识点04二次根式的加减运算 核心：先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）； 注意：非同类二次根式不能合并（如与无法合并）。 知识点05二次根式的乘除运算 1.乘法：·=(a≥0,b≥0)，结果化为最简； 2.除法：=(a≥0,b>0)，也可转化为乘法（乘以分母的倒数）。 知识点06分母有理化 1.定义：将分母中的根号去掉，使分母为有理数； 2.常用方法：能通过找到有理化因式（如的有理化因式是,a+的有理化因式是a-),对分母含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。 知识点07最简二次根式 1. 定义：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数（或因式）的二次根式，叫做最简二次根式。 2. 判断标准（易错点）： （1）被开方数不能含有分母（若有，需先进行分母有理化）； （2）被开方数的因数（或因式）不能是完全平方数（或完全平方式），如不是最简，可化为（12含能开尽方的因数4）。 3.核心作用：二次根式的加减、乘除运算，最终结果需化为最简二次根式。 说明：两个非负数（除数不为0）的商的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的商，也是二次根式化简、除法运算的核心依据。 知识点08合并同类二次根式 1.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式； 2.合并方法：只把系数相加，被开方数和根指数不变（如2+3 =5）； 3.注意：非同类二次根式（如与）不能合并。 知识点09二次根式的估值与比较大小 1.估值方法：先对二次根式的被开方数进行平方估算，确定其介于两个相邻整数的平方之间，进而确定二次根式的取值范围； 2.比较大小： 正数比较：被开方数越大，二次根式的值越大； 正负比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数； 复杂比较：可先对两个二次根式分别平方，通过比较平方后的结果，确定原二次根式的大小（注意：仅适用于两个正数）。 题型解析◆精准备考 题型1二次根式有意义的条件 1．若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 2．要使式子有意义，则的取值范围是_____________． 3．已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 题型2二次根式的性质 1．将化简为最简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知，化简 _____________ ． 3．计算： 题型3化为最简二次根式 1．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 2．将化为最简二次根式为____________． 3．正方形的边长为a，它的面积与一个长为96，宽为12的长方形的面积相等，求a的值． 题型4二次根式加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A．B．C． D． 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：，则___． 3．计算： (1) (2) 题型5二次根式乘除与分母有理化 1．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 2．规定，则的值是______． 3．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 题型6二次根式混合运算 1．估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 2．已知，则代数式的值是______． 3．计算： (1) (2) 题型7已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 2．已知，则代数式的值为________． 3．已知 ，，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型8比较二次根式的大小 1．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 2．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 3．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 题型9二次根式的应用 1．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 3．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 过关检测◆提升 一、单选题 1．式子有意义的条件是（    ） A．且B． C．且 D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 6．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．二次根式的值是 _________． 8．计算：________． 9．______． 10．计算：________． 11．已知，，则______． 12．将一个大长方形分成两个正方形和一个小长方形，两个正方形的面积如图所示，则小长方形的面积是________． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)+÷ 14．若，，求： (1)； (2)． 15．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 16．小明的爸爸准备用一块面积为的正方形木板制作一个无盖的长方体收纳箱．他先裁去四个角的小正方形，然后折起边沿．若裁去的小正方形的边长为，则制成的收纳箱底面边长为，高为．请解答： (1)当时，求收纳箱的容积； (2)若要使收纳箱的表面积为，求x的值（结果保留根号）． 17．对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： (1)化简：________； (2)若，求的值； (3)计算：． 18．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空：_____，_____． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有：_____． (3)化简：（请写出化简过程）． (4)化简：． (5)若且为正整数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $