精品解析：广东中山市纪雅学校2025-2026学年上学期12月学情自测九年级数学试题

2025-2026学年广东省中山市纪雅学校初三数学12月月考 一、选择题 1. 花钿是古代汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金、翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛．下列四种眉心花钿图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”进行排除选项即可 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选B 2. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的相似比问题．利用相似三角形的周长比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答． 【详解】解：∵两个三角形相似，且对应边之比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的对应中线之比等于相似比， ∴对应中线之比为． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 4. 在中，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求正切值，勾股定理求出的长，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：在中，，若，， ， ． 故选：D． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 6. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先移常数项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟记配方法过程步骤是解本题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意；三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案，正确地理解和应用这些知识是解题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 8. 如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正五边形的性质，进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，点P，点Q分别是上的点，且．设的面积为y，的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出，则根据勾股定理可得，则为等边三角形，过点P作于点H，则，最后根据三角形的面积公式求出y的表达式即可． 【详解】解：∵，E为的中点，则， 在中，， 同理可得， 故为等边三角形，则， ∵，则， 在中，过点P作于点H， 则， 则， ∵， ∴该函数为开口向下的抛物线，时，y的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，以及求二次函数最值的方法． 10. 如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数），其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列不等式． ①抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴，可得结论；③根据抛物线的对称性，可知时，，结合，可得结论；④根据抛物线y的取值列不等式，可得结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴ 因此， 故①正确； ②∵对称轴， ∴，故②正确； ③当时，， 又∵，， ∴，故③结论错误； ④由图可知当时，有最大值， ∴，即，故④正确； 因此正确的选项有①②④． 故选：A． 二、填空题 11. 抛物线与轴的交点坐标为___________，与轴交点的坐标为___________． 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【分析】分别令和，即可求得该抛物线与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：在中，令，得， 解得：，， 令，得， 该抛物线与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为． 故答案为：，；． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及轴的交点，解题的关键是令和． 12. 如图，内接于，连接，，作交于点，若，则的度数为________ 【答案】##24度 【解析】 【分析】先由圆周角定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，根据平行线的性质求解． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式．熟练掌握数形结合法求不等式的解集是解题的关键． 根据不等式的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的的取值范围， 由图象可知，或， 故答案为：或． 14. 如图，已知ABC和DEC的面积相等，点E在BC边上，DEAB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长． 【详解】解：∵△ABC与△DEC的面积相等， ∴△CDF与四边形AFEB的面积相等， ∵AB∥DE， ∴△CEF∽△CBA， ∵EF=9，AB=12， ∴EF：AB=9：12=3：4， ∴△CEF和△CBA的面积比=9：16， 设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k， ∵△CDF与四边形AFEB的面积相等， ∴S△CDF=7k， ∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形， ∴面积比等于底之比， ∴DF：EF=7k：9k， ∴DF=7． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长的最小值， ， 则的周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，零指数次幂和负整数次幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 先求特殊角的三角函数值，零指数次幂和负整数次幂，然后进行合并． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点B的对应点的坐标为______； （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析， （2）2 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握作关于原点对称图形的方法和步骤． （1）先画出点A、B、C关于原点对称的对应点，再依次连接即可，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可得出点的坐标； （2）用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求， ∵，点B和点关于点O对称， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 19. 某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． （1）求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）每件衬衫应降价20元； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． 【小问1详解】 解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； 【小问2详解】 解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 20. 如图，是的直径，与相切于点，交延长线于点，过点作于点，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长； （3）在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得，结合，则，故，再结合等边对等角得，得，即可作答． （2）过作于，证明四边形是矩形，则，运用勾股定理得，运用垂径定理得，即可作答． （3）由（2）知，，则，所以，得，，得，再把数据代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：过作于， 是的切线， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 是的直径，， ， ， 为的弦，， ， 【小问3详解】 解：由（2）知， ∴， ， 由（1）知 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了不规则图形的面积，切线的性质，等边对等角，矩形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】（1）试管口与铁杆的水平距离的长度为 （2）导气管的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 22. 已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移4个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标； （2）连接，点是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，点M的坐标为 ； ②点N是射线上一动点，且满足．在第四象限内过点C作射线，在射线上取一点G，使．连接．求的最小值；（请在备用图中画出草图再求解） （3）点P在抛物线的对称轴上，若，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而，证得，得到，进而有，根据勾股定理求出，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移4个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． 【小问2详解】 解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得：，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据平移可得：轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、N、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为， ∵ ∴， ∵， ∴在中，， 即的最小值为． 【小问3详解】 解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）当时，求的长； （2）当t为何值时，与相似？ （3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，与相似 （3）存在，t的值为或或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； 【小问3详解】 解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市纪雅学校初三数学12月月考 一、选择题 1. 花钿是古代汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金、翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛．下列四种眉心花钿图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 8. 如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，点P，点Q分别是上的点，且．设的面积为y，的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数），其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ③④ 二、填空题 11. 抛物线与轴的交点坐标为___________，与轴交点的坐标为___________． 12. 如图，内接于，连接，，作交于点，若，则的度数为________ 13. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解是_______． 14. 如图，已知ABC和DEC的面积相等，点E在BC边上，DEAB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是_____． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是____________． 三、解答题 16. 计算：． 17. 如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点B的对应点的坐标为______； （2）求的面积． 19. 某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． （1）求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 20. 如图，是的直径，与相切于点，交延长线于点，过点作于点，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长； （3）在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 21. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 22. 已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移4个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标； （2）连接，点是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，点M的坐标为 ； ②点N是射线上一动点，且满足．在第四象限内过点C作射线，在射线上取一点G，使．连接．求的最小值；（请在备用图中画出草图再求解） （3）点P在抛物线的对称轴上，若，请直接写出点P的坐标． 23. 如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． （1）当时，求的长； （2）当t为何值时，与相似？ （3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $