专题02 勾股定理（期中真题汇编）八年级数学下学期人教版

专题02 勾股定理 6大高频考点概览 考点01用勾股定理理解三角形 考点02勾股数（树）问题 考点03勾股定理与无理数 考点04 勾股定理的证明方法 考点05 勾股定理的逆定理 考点06 勾股定理的应用 ( 地 城 考点01 用勾股定理理解三角形 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）在中，，则的长为（   ） A．20 B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知一个直角三角形的两边的长分别是1和2，则第三边长为____． 6．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了______米． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知，在于，求线段和的长． 8．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． ( 地 城 考点02 勾股数（树）问题 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，20 3．（24-25八年级下·全国·期中）在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 2、 填空题 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 6．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是3和4，则第三个数是______． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 8．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． ( 地 城 考点0 3 勾股定理与无理数 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（ ） A． B．3 C．4 D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为______． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为_____________． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 8．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)三边的长分别、、，求的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得，，，于是画出线段，从而画出，如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________； (2)已知三边长分别为，，，在图2方格图（每个小方格边长为1）中画出格点，直接写出的面积为___________； (3)已知三边长分别为，，（，，且）请在图3的长方形网格中（设每个小长方形的宽为，长为）画出格点，并求其面积． ( 地 城 考点0 4 勾股定理的证明方法 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·山西忻州·期中）“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 2．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 6．（24-25八年级下·山西·期中）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 8．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． ( 地 城 考点0 5 勾股定理的逆定理 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（    ） A．，， B． C． D．，， 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 6．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），A，B，C，D均为格点（网格线的交点），直线与所夹的锐角度数为________． 3、 解答题 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在坐标轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 8．（24-25八年级下·北京·期中）放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ ( 地 城 考点0 6 勾股定理的应用 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级上·四川·期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25八年级下·甘肃金昌·期中）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高为________. 4．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 3、 解答题 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 6大高频考点概览 考点01用勾股定理理解三角形 考点02勾股数（树）问题 考点03勾股定理与无理数 考点04 勾股定理的证明方法 考点05 勾股定理的逆定理 考点06 勾股定理的应用 ( 地 城 考点01 用勾股定理理解三角形 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）在中，，则的长为（   ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【分析】先说明是等腰直角三角形，进而求得直角边的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ， ， ， ∴，即选项C符合题意． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得，然后在中，根据勾股定理求出CE的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得，由勾股定理即可求出的长度，最后用面积法求得的长． 【详解】解：∵，，，平分交于点， ∴且点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 答：水的深度为． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知一个直角三角形的两边的长分别是1和2，则第三边长为____． 【答案】或 【分析】分较长边是直角边和斜边两种情况，分别利用勾股定理求出第三边即可． 【详解】解：设第三边为． ①当和都是直角边，则第三边是斜边， 由勾股定理得：，解得（负值舍去）； ②若是斜边，是直角边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：．解得（负值舍去）． 综上，第三边的长为或． 6．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 根据勾股定理求出“捷径”长，进而用原路程减去“捷径”长即可． 【详解】解：“捷径”长（米）， 他们仅仅少走了（米）， 故答案为：． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知，在于，求线段和的长． 【答案】，， 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 8．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)的长为 (2) 【分析】（1）由，求得，由角平分线的性质得，由，求得 （2）由于E，，得，由，根据“”证明，得，则，而，所以，则 【详解】（1）解：， ， 平分于E，， ， ， ， 解得， 的长为 （2）解：， 理由：于E，， ， 平分于E，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． ( 地 城 考点02 勾股数（树）问题 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，20 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股数的定义以及勾股定理进行判断即可． 【详解】解：A、1，，不全是正整数，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，且都是整数，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·全国·期中）在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数，解题关键是理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，需逐一验证各选项是否满足条件． 【详解】解：，不是勾股数，故A错误； ，，这三个数不是正整数，，，不是勾股数，故B错误； ∵， ∴5、12、13是勾股数，故C正确； ∵，， 306 ≠ 289， ∴9，，不是勾股数，故D错误， 故选：C． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 6．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是3和4，则第三个数是______． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是最大数和4为最大数两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数的判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当4是最大数时，第三个数为， ∵三个数是一组勾股数， ∴不是整数，故舍去； 当第三个数是最大数时，第三个数为，符合题意； ∴第三个数是5． 故答案为：5． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【答案】(1)60；61；17；144 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）证明： ， ∴是勾股数组． 8．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键． （1）当，时，代入勾股数生成公式计算即可得解； （2）由题意求出，从而可得，或，，再结合题意验证即可得解． 【详解】（1）解：当，时，代入勾股数生成公式， 得，，． 对应的勾股数是． （2）解：根据题意得，，． ． 又，m，n都是正整数， ，或，． 当，时，，不符合题意； 当，时，，，符合题意． ∴，． ( 地 城 考点0 3 勾股定理与无理数 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a， ∴, ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理与无理数，实数与数轴；先根据勾股定理求出三角形的斜边长，即可求出A点表示的数． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为和， 斜边长为：， 到的距离是，那么点所表示的数为：． 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·北京·期中）如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（ ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出可得结论． 本题考查作图复杂作图，勾股定理，实数与数轴，解题的关键是理解题意，正确计算． 【详解】解：在中，， ， 点C表示的数为． 故选：D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理，求出是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，即为的长，再由求出，然后根据在的右边边求出数轴上的点所对应的实数． 【详解】解： 正方形的边长， ， ， 由图可知，， ， 点表示的数为，点F在点E的右边， 点所对应的实数为， 故答案为:． 6．（24-25八年级下·山东济宁·期中）若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为_____________． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴以及勾股定理，掌握作图方法是解题的关键．先求出圆的半径，从而得出长度，进而得出点表示的数，即可得出点表示的数． 【详解】解：正方形的边长为1， 圆的半径为， ， 点C表示的数是3， 点表示的数为， 点表示的数为． 故答案为：． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：在数轴上找出表示与的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数即为． ∵， ∴， ∵点位于点A的左侧， ∴点表示的数是． 8．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)三边的长分别、、，求的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得，，，于是画出线段，从而画出，如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________； (2)已知三边长分别为，，，在图2方格图（每个小方格边长为1）中画出格点，直接写出的面积为___________； (3)已知三边长分别为，，（，，且）请在图3的长方形网格中（设每个小长方形的宽为，长为）画出格点，并求其面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形的面积，实数与勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题， （1）用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解； （2）利用构图法求出的面积，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解； （3）先画出三边长分别为、、的，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：的面积为； 故答案为：； （2）解：①∵，， 画出图形，如图： ∴； （3）解：∵，， 如图， ∴． ( 地 城 考点0 4 勾股定理的证明方法 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·山西忻州·期中）“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 6．（24-25八年级下·山西·期中）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 8．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． ( 地 城 考点0 5 勾股定理的逆定理 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（    ） A．，， B． C． D．，， 【答案】B 【详解】解： 、最长边为，，∴能组成直角三角形，该选项不符合题意； 、最长边为，，，，∴不能组成直角三角形，该选项符合题意； 、最长边为，，∴能组成直角三角形，该选项不符合题意； 、最长边为，，∴能组成直角三角形，该选项不符合题意． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 故答案为：D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），A，B，C，D均为格点（网格线的交点），直线与所夹的锐角度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理逆定理，平移的性质，等腰三角形的判定与性质，将平移到，再连接，运用网格与勾股定理算出，，，再运用勾股逆定理证明是等腰直角三角形，即可作答． 【详解】解：将平移到，再连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即直线与所夹的锐角度数为． 故答案为：． 3、 解答题 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在坐标轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1) 10 (2) 等腰直角三角形 (3) 存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键． （1）利用公式代入即可； （2）利用公式求出，，的长，再由勾股定理逆定理即可判断； （3）根据直角三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： ∵、、 ， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：存在， ， ， 点P在坐标轴上 设， ∴，， 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）,，此时； 当时，，则，解得（此时为P原点，舍去）； 当时，则，解得，此时； 设， ∴，， 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）,，此时； 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）； 当时，则，解得，此时； 综上，或或或． 8．（24-25八年级下·北京·期中）放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为 (2)他应该往回收线 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如下图： 由题意得：，, ，， ， ， 即：风筝的垂直高度为； （2）解：如下图所示，设风筝沿方向下降至点M，连接， ， ， ， 即：他应该往回收线． ( 地 城 考点0 6 勾股定理的应用 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级上·四川·期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，设它的底部滑行了，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 设它的底部滑行了，则有， ∴， 解得：； 故选D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 2、 填空题 3．（24-25八年级下·甘肃金昌·期中）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高为________. 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据旗杆与地面垂直，可知是直角三角形，且直角边的长度分别为和，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即为旗杆折断之前的高． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 3、 解答题 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $