专题03 四边形（期中真题汇编）八年级数学下学期人教版

专题03 四边形 6大高频考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形的判定 考点03平行四边形的性质 考点04 三角形的中位线 考点05 特殊平行四边形的判定 考点06 特殊平行四边形的性质 ( 地 城 考点01 多边形及其内角和 ) 1、 选择题 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．两点之间的线段就是这两点间的距离 C．从五边形的一个顶点出发可以画3条对角线 D．的底数是x 【答案】D 【分析】本题考查几何和代数基本概念，熟记相关几何和代数基本概念是解决问题的关键． 选项A混淆直线与平角的定义；选项B混淆线段与距离的概念；选项C错误计算五边形对角线的数量；选项D正确识别乘方的底数． 【详解】解：A、由平角是由两条射线从同一端点出发且方向相反所形成的角，而直线没有端点，不是角，选项说法错误，不符合题意； B、由两点间的距离是连接这两点的线段的长度，是一个数值，而线段是图形，选项说法错误，不符合题意； C、由于五边形有5个顶点，从一个顶点出发，有2个相邻顶点（不能画对角线），因此可画对角线的顶点数为，选项说法错误，不符合题意； D、由，可知乘方运算中底数是，选项说法正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角的个数与多边形的边数之间的关系，是解题关键． 根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：设多边形有个外角， 由题意得：， ∴， ∴多边形有8个外角，即多边形有八条边， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案． 【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）正五边形的每一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，利用多边形内角和公式计算正五边形的内角和，再求每个内角的度数. 【详解】解：正五边形的边数，根据多边形内角和公式，内角和为， ∴每个内角为， 故选：B 2、 填空题 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【分析】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·云南红河·期中）一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形是正________边形． 【答案】 十 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的外角和定理以及内角和定理，正确掌握相关性质和定理是解题的关键． 先设正多边形的边数是，因为一个正多边形的内角和等于它的外角和的4倍，所以列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：设正多边形的边数是， 根据题意得，， 解得， 这个多边形为十边形． 故答案为：十． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，度，，，E为的中点． (1)猜想为何种特殊三角形； (2)请对（1）中你的猜想进行证明． 【答案】(1)猜想为等腰直角三角形 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等，辅助线的作出是本题的关键． （1）根据图形猜想即可； （2）延长至F，使，连结；延长交于G；根据条件先得出，然后证得，通过证得为等腰直角三角形，从而得出为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：猜想为等腰直角三角形； （2）证明：延长至F，使，连结；延长交于G； 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在四边形中，， 又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ( 地 城 考点02 平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，平行四边形的判定，根据错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，以及平行四边形的判定方法进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A符合题意； B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意； D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法（①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）成为解题的关键． 利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形． 故选：C． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 6．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知，点在边上，．过点作于点，以为一边在内作等边三角形，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点．设，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形是平行四边形，得，在中，，可得的长，计算，确定最大和最小值的位置，可得结论． 【详解】解：过P作交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当P在边上时，H与C重合，此时的最小值， 即的最小值是2； 当在点时，如图2， ∵，，， ∴，，， 同理：， ，， 则的最大值是：，即的最大值是5， 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确定的最值就是确认最值的范围． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 8．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．先由四边形是平行四边形，证得，再根据补角的性质证得，从而证明，最后由全等三角形的性质证得，，从而证得四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ( 地 城 考点0 3 平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形对边平行，邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形和勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）在中，若，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，因此与相等，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)的三边长分别是：______， ______， ______； (2)若点M在格点上，以点A，B，C，M为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)M的坐标为,， 【分析】本题主要考查了网格三角形，勾股定理，利用平行四边形的判定定理和性质确定点的坐标，解题的关键是掌握以上性质． （1）借助网格利用勾股定理求解即可； （2）分情况进行讨论，利用平行四边形的判定定理和性质确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得， ，，， 故答案为：，，； （2）解：如图所示， ①当，且时， 以点A，B，C，M为顶点的四边形是平行四边形， 此时，根据平移的性质可得,， ②当，且时， 以点A，B，C，M为顶点的四边形是平行四边形， 此时，根据平移的性质可得, 综上，M的坐标为,，． 8．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，是对角线上的两点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键． 利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定得出，即可得出答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． ． 又， ， ， ， 即， ． ( 地 城 考点0 4 三角形的中位线 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 根据中位线定理得到，，即． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得， 即． 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点．若菱形的周长为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．根据菱形的性质以及周长可得，根据分别是的中点，可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，首先证明出是的中位线，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵D，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，是的中位线，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的性质，由三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，是的中位线，， ∴． 故选：D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____． 【答案】 4 【分析】本题考查了三角形中位线定理．利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．可以求得、的长度． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线． ． 分别是的中点， 是的中位线． ． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握“连接三角形两边中点的线段是中位线”的判定方法是解题关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由中位线的判定与性质得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴． 故答案为：3． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． ( 地 城 考点0 5 特殊平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和勾股定理的逆定理等知识，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，掌握此点是解答本题的关键．利用勾股定理的逆定理和矩形的判定即可求解． 【详解】解：中，交于点， A. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     B. ，则四边形为菱形，故该选项符合题意；     C. ，可知是直角三角形，是直角，可有证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；     D. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     故选：B． 2．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， A、当时，则矩形是正方形，不符合题意； B、当时，则， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，不符合题意； C、当时，则矩形是正方形，不符合题意； D、当时，不能判定矩形是正方形，符合题意； 故选：D． 2、 填空题 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有_______种． 【答案】4/四 【分析】此题考查了矩形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分情况讨论，然后根据矩形的判定和全等三角形的性质和判定定理逐项求解判断即可． 【详解】解：如图所示， 若选择①②③， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择①②④， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择②③④， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择①③④， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 综上所述，可以判定四边形为矩形的选择共有4种． 故答案为：4． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为______时，四边形是菱形． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，能根据题意得出当时，四边形为菱形是解此题的关键．根据矩形的性质得出，，，先证明四边形为平行四边形，得出当时，四边形为菱形，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ∵点、的速度都是， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即当为时，四边形是菱形． 故答案为：6． 3、 解答题 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)AC (3) 【分析】（1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，结合得到，即可根据对角线互相平分得证四边形是平行四边形； （2）根据矩形的判定方法逐项判断即可； （3）根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，进而求出，从而，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为． 7．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和题意得，再根据矩形的判定证得四边形是矩形，由角平分线的定义得，再由等角对等边得，最后根据正方形的判定求证即可； （2）由角平分线的定义得，再由垂线的定义和矩形的性质得，根据等腰直角三角形的判定和勾股定理得，，即可求证； （3）由（2）得、是等腰直角三角形，，利用勾股定理求得，进而求得，再根据正方形的性质得，再根据等腰直角三角形的判定得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵平分， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的判定与性质是解题的关键． ( 地 城 考点0 6 特殊平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接、，若，，则图中阴影面积为（　　） A．16 B．18 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，过点P作于，延长交于，证明四边形、均为矩形，由矩形的性质可得，，，求出，即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于，延长交于， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、均为矩形， 由矩形的性质可得，，， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 即图中阴影面积为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，则菱形的高为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，，在中，根据勾股定理可得，则，然后根据可得，进而可得解．熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴ 是菱形的高， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 2、 填空题 4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 【答案】＃＃50度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．首先需要确定矩形的性质，包括对角线的长度和角度，然后通过比较线段长度来确定角度关系，最后通过计算来确定所求的角度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先由勾股定理求出，证明平行四边形是菱形得出，，则点B的横坐标等于点A的横坐标加上AB的长度，点B的纵坐标等于点A的纵坐标． 【详解】∵顶点O，A的坐标分别为， ∴ ∵在平行四边形中， ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ 故答案为： 3、 解答题 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． （1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可； （2）过点E作于点H，利用勾股定理求出折痕的长． 【详解】（1）证明：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)___________°（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1)45 (2)①证明见解析；②72 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理和邻补角的定义求出，然后根据角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可； （2）①作于G，先证明四边形是矩形，根据角平分线的性质定理可得出，然后根据正方形的判定即可得证； ②过A作于H，证明，得出，同理：，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）①证明：作于G，如图1所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，外角平分线交于点A， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； ②解：过A作于H， 由①可得：四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形 6大高频考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形的判定 考点03平行四边形的性质 考点04 三角形的中位线 考点05 特殊平行四边形的判定 考点06 特殊平行四边形的性质 ( 地 城 考点01 多边形及其内角和 ) 1、 选择题 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．两点之间的线段就是这两点间的距离 C．从五边形的一个顶点出发可以画3条对角线 D．的底数是x 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）正五边形的每一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 6．（24-25八年级下·云南红河·期中）一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形是正________边形． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，度，，，E为的中点． (1)猜想为何种特殊三角形； (2)请对（1）中你的猜想进行证明． ( 地 城 考点02 平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 6．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知，点在边上，．过点作于点，以为一边在内作等边三角形，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点．设，，则的取值范围是______． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 8．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． ( 地 城 考点0 3 平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）在中，若，则的度数为_______． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)的三边长分别是：______， ______， ______； (2)若点M在格点上，以点A，B，C，M为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点M的坐标． 8．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，是对角线上的两点，且，求证：． ( 地 城 考点0 4 三角形的中位线 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点．若菱形的周长为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，是的中位线，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2、 填空题 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ． 3、 解答题 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 8．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，，求的长． ( 地 城 考点0 5 特殊平行四边形的判定 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有_______种． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为______时，四边形是菱形． 3、 解答题 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 7．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． ( 地 城 考点0 6 特殊平行四边形的性质 ) 1、 选择题 1．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接、，若，，则图中阴影面积为（　　） A．16 B．18 C．22 D．24 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，则菱形的高为（　　） A．3 B．4 C． D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 2、 填空题 4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为______． 3、 解答题 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 7．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)___________°（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $