第10讲 函数及基本函数专题讲义-2026届高三数学二轮复习

第10讲 函数及基本函数专题复习 知识点梳理 知识点一、函数性质知识点及解题大招 1.函数的奇偶性： 类型 偶函数 奇函数 条件 定义域特征 定义域关于原点对称 图像特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.函数的对称性： （1）函数的定义域为I，,有： ①的图像关于直线对称. ②的图像关于点（，c）对称. （2）函数的奇偶性与对称性的关系： ①如果函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. ②如果函数y=f(x+a)是奇函数，则函数y=f(x)的图像关于点（a,0）对称. 3.函数周期性结论：①若则； ②若则； ③若则； ④若则； ⑤若则. 对称性、周期性判断口诀：同周异对（x同号：周期性；x异号：对称性）. 4.单调性的基本运算性质： （1）在定义域内： 增+增=增； 减+减=减； 增-减=增； 减-增=减. 同增异减 t=g(x) y=f(x) y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 （2）复合函数的单调性： 5.函数恒成立、有解的问题： 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解. 知识点二、幂函数、指数函数、对数函数知识点及解题大招 1.幂函数的性质： 幂函数在第一象限的图像特征： ①当时，图像过点（0,0），（1，1），图像呈“抛物线型”，在（0，+∞）上是增函数.②当时，图像过点（1，1），图像呈“双曲线型”，以x轴，y轴为渐近线，在（0，+∞）上是减函数. 2.（1）指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图像和性质： a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 （2）底数与指数函数图像的关系：y＝ax（a>0且a≠1）的图像在第一象限内具有“底大图高”的特征. 3.（1）对数的性质：①负数和0没有对数；②a>0且a≠1,,，. （2）指数和对数的关系：（a>0且a≠1）. （3）对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，则： ①；②；③. 4.对数的换底公式：（a>0且a≠1，c>0且c≠1）. 对数换底公式的推论：①（a>0且a≠1，b>0且b≠1）. ②（a>0且a≠1，b>0）. ③（a>0且a≠1，b>0且a≠1，c>0且c≠1）. 5.（1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像和性质： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 （2）底数与对数函数图像的关系，y＝logax(a>0，且a≠1)的图像有以下规律： 在第一象限内，当x>1时，“底大图低”；当0<x<1时，“底大图高”. 典型例题 例1.已知函数若f（x）在（0，+∞）存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．[1，+∞） B． C．（0，1] D． 例2.设f（x）＝ex+lnx，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函数f（x）存在零点x0，则（　　） A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c 例3.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），则（　　） A．f（1）＝0 B．f（f（x））＝x C．f（xy）＝f（x）f（y） D．f（x+y）＝f（x）f（y） 例4.（多选）若f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h（x）＝f（x）g（x）的部分图象可能为（　　） A． B． C． D． 例5.（多选）已知函数f（x）满足f（x）f（y）＝f（xy）+|x|+|y|，则（　　） A．f（0）＝1 B．f（1）＝﹣1 C．f（x）是偶函数 D．f（x）是奇函数 例6.已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，若∀x1≥0，x2≤0，x1+x2＞0，均有，则λ的最大值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 随堂演练 1.（2025高考I卷）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 2.（2025天津市高考试卷）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（　　） A．f（x） B．f（x） C．f（x） D．f（x） 3.（2025天津市高考试卷）函数f（x）＝0.3x的零点所在区间是（　　） A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2） 4.已知函数若关于x的方程f2（x）﹣kf（x）+1＝0恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为　 　． 5.已知f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+3，且f（2）＝3，则f（2025）的值为（　　） A．6072 B．6075 C．6078 D．6069 6.若函数f（x）＝|ln（x+a）|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　 　． 7.函数是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 8.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＝g（x﹣1）+2，若函数g（x）为奇函数，g（x+1）为偶函数，且f（2）＝1，则（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 9.已知函数，若f（x）在R上单调递增，则实数的取值范围为（　　） A．（0，1） B． C．（1，2） D．（2，+∞） 10.函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若x∈[0，1]，f（x）＝2x，则f（2023）＝　 　． 11.若函数至少有一个零点，则m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≥1 C．0≤m＜1 D．0≤m≤1 12.函数f（x）的部分图象大致是（　　） A． B． C． D． 13.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约　 　万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据；e﹣0.5≈0.61，e﹣0.6≈0.55，e﹣0.7≈0.49） 14.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），且当x≤2时，f（x）＝ex，则（　　） A．f（2）＜f（﹣3）＜f（4） B．f（2）＜f（4）＜f（﹣3） C．f（4）＜f（2）＜f（﹣3） D．f（﹣3）＜f（4）＜f（2） 15.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）设方程f（x）﹣m＝0有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣1，0）∪（0，1] B．（﹣1，1） C．（﹣4，0）∪（0，4） D．（﹣1，0）∪（0，1） 16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2﹣x﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝　 　． 17.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（），则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞） 18.（多选）已知函数f（x）定义域为R，且f（2x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x+1）关于直线x＝1对称，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x+4）＝f（x） C．f（2+x）＝f（2﹣x） D．f（x）+f（1﹣x）＝0 19.函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 20.已知为奇函数，则实数a的值是　 　． 21.函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 22.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，M0表示初始学习率，E表示衰减系数，ρ表示训练迭代轮数，ρ0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（　　） （参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A．75 B．77 C．79 D．81 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数及基本函数专题复习 知识点梳理 知识点一、函数性质知识点及解题大招 1.函数的奇偶性： 类型 偶函数 奇函数 条件 定义域特征 定义域关于原点对称 图像特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.函数的对称性： （1）函数的定义域为I，,有： ①的图像关于直线对称. ②的图像关于点（，c）对称. （2）函数的奇偶性与对称性的关系： ①如果函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. ②如果函数y=f(x+a)是奇函数，则函数y=f(x)的图像关于点（a,0）对称. 3.函数周期性结论：①若则； ②若则； ③若则； ④若则； ⑤若则. 对称性、周期性判断口诀：同周异对（x同号：周期性；x异号：对称性）. 4.单调性的基本运算性质： （1）在定义域内： 增+增=增； 减+减=减； 增-减=增； 减-增=减. 同增异减 t=g(x) y=f(x) y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 （2）复合函数的单调性： 5.函数恒成立、有解的问题： 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解； 恒成立；有解. 知识点二、幂函数、指数函数、对数函数知识点及解题大招 1.幂函数的性质： 幂函数在第一象限的图像特征： ①当时，图像过点（0,0），（1，1），图像呈“抛物线型”，在（0，+∞）上是增函数.②当时，图像过点（1，1），图像呈“双曲线型”，以x轴，y轴为渐近线，在（0，+∞）上是减函数. 2.（1）指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图像和性质： a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 （2）底数与指数函数图像的关系：y＝ax（a>0且a≠1）的图像在第一象限内具有“底大图高”的特征. 3.（1）对数的性质：①负数和0没有对数；②a>0且a≠1,,，. （2）指数和对数的关系：（a>0且a≠1）. （3）对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，则： ①；②；③. 4.对数的换底公式：（a>0且a≠1，c>0且c≠1）. 对数换底公式的推论：①（a>0且a≠1，b>0且b≠1）. ②（a>0且a≠1，b>0）. ③（a>0且a≠1，b>0且a≠1，c>0且c≠1）. 5.（1）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像和性质： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 （2）底数与对数函数图像的关系，y＝logax(a>0，且a≠1)的图像有以下规律： 在第一象限内，当x>1时，“底大图低”；当0<x<1时，“底大图高”. 典型例题 例1.已知函数若f（x）在（0，+∞）存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．[1，+∞） B． C．（0，1] D． 【解答】解：因为， 所以函数在（0，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增， 所以当x∈（0，a）时，f（x）＞﹣2log2a， 当x∈[a，+∞）时，f（x）≥4a，要使函数在（0，+∞）存在最小值，则4a≤﹣2log2a， 因为函数y＝﹣2log2x与y＝4x的交点为（，2），所以当0＜a时，4a≤﹣2log2a． 故选：D． 例2.设f（x）＝ex+lnx，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）．若函数f（x）存在零点x0，则（　　） A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c 【解答】解：易知f（x）的定义域为（0，+∞）且y＝ex，y＝lnx均为单调递增函数， 所以函数f（x）＝ex+lnx在x∈（0，+∞）上单调递增， 因为0＜a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c）， 满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）， 所以f（a），f（b），f（c）中有1个是负数一定是f（a），两个正数或3个负数， 因为f（x）存在零点，所以x0＞a．故选：B． 例3.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，若f（f（x）+yz）＝x+f（y）f（z），则（　　） A．f（1）＝0 B．f（f（x））＝x C．f（xy）＝f（x）f（y） D．f（x+y）＝f（x）f（y） 【解答】解：令x＝y＝0，z＝1，则f（f（0））＝f（0）f（1），① 令x＝y＝z＝0，则f（f（0））＝f（0）f（0），② 由①②可得f（0）f（0）＝f（0）f（1）， 所以f（0）＝0或f（1）＝f（0）， 令x＝1，y＝z＝0，则f（f（1））＝1+f（0）f（0）， 若f（1）＝f（0）， 则f（f（0））＝1+f（0）f（0）≠f（0）f（0），与②矛盾， 所以f（0）＝0，则f（1）≠f（0）＝0，故A选项错误； 令y＝z＝0，则f（f（x））＝x+f（0）f（0）＝x，故B选项正确； 令x＝0，则f（f（0）+yz）＝f（yz）＝0+f（y）f（z）＝f（y）f（z）， 用x替换z，得f（xy）＝f（x）f（y），故C选项正确； 由A、C选项中结论，令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）f（1）， 又f（1）≠0， 则f（1）＝1， 令z＝1，则f（f（x）+y）＝x+f（y）f（1）＝x+f（y）＝f（f（x））+f（y）， 即f（x+y）＝f（x）+f（y），D选项错误． 故选：BC． 例4.（多选）若f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h（x）＝f（x）g（x）的部分图象可能为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）为奇函数， 则h（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣h（x）， 且h（x）的定义域关于原点对称， 函数h（x）＝f（x）g（x）为奇函数，h（x）的图象关于原点对称． 故选：AC． 例5.（多选）已知函数f（x）满足f（x）f（y）＝f（xy）+|x|+|y|，则（　　） A．f（0）＝1 B．f（1）＝﹣1 C．f（x）是偶函数 D．f（x）是奇函数 【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x）f（y）＝f（xy）+|x|+|y|， 令x＝y＝0可得：[f（0）]2＝f（0），解可得f（0）＝0或f（0）＝1， 令y＝0可得：f（x）f（0）＝f（0）+|x|，变形可得f（0）[f（x）﹣1]＝|x|， 若f（0）＝0，f（0）[f（x）﹣1]＝|x|不会恒成立，则必有f（0）＝1，A正确； 在f（x）f（0）＝f（0）+|x|中，由于f（0）＝1，则f（x）﹣1＝|x|，变形可得f（x）＝|x|+1， 则f（1）＝2，B错误； f（﹣x）＝|﹣x|+1＝|x|+1＝f（x），则f（x）为偶函数，C正确，D错误． 故选：AC． 例6.已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，若∀x1≥0，x2≤0，x1+x2＞0，均有，则λ的最大值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：因为函数f（x）＝ex﹣e﹣x的定义域为R，则f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x）， 若∀x1≥0，x2≤0，x1+x2＞0均有， 则f（x1）+f（x2）＞λx1+λx2，可得f（x1）﹣λx1＞﹣f（x2）+λx2＝f（﹣x2）﹣λ（﹣x2）， 令g（x）＝f（x）﹣λx＝ex﹣e﹣x﹣λx，则g（x1）＞g（﹣x2）， 由题意可知x1≥0，﹣x2≥0，x1＞﹣x2， 所以函数g（x）＝ex﹣e﹣x﹣λx在区间[0，+∞）上为增函数， 所以g'（x）＝ex+e﹣x﹣λ≥0在[0，+∞）上为增函数，则≤ex+e﹣x在[0，+∞）上为增函数， 由基本不等式可得， 当且仅当ex＝e﹣x时，即当x＝0时，等号成立，故λ≤2， 所以λ的最大值为2． 故选：D． 随堂演练 1.（2025高考I卷）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得f（）＝f（）＝f（2）＝f（）＝5﹣2． 故选：A． 2.（2025天津市高考试卷）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（　　） A．f（x） B．f（x） C．f（x） D．f（x） 【解答】解：由图象可得f（x）为偶函数， 因为A，B选项的函数为奇函数，故排除A，B； 因为C，D选项的函数为偶函数，且对于C，，不满足图象，故排除C．故选：D． 3.（2025天津市高考试卷）函数f（x）＝0.3x的零点所在区间是（　　） A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2） 【解答】解：因为f（x）＝0.3x，x≥0， 又因为y＝0.3x与y在[0，+∞）上均单调递减， 所以f（x）＝0.3x在[0，+∞）上单调递减， 又因为f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.30， f（0.5）＝0.30.50， 由零点存在定理可得， ∃x0∈（0.3，0.5），使f（x0）＝0， 即函数y＝f（x）的零点所在区间为（0.3，0.5）． 故选：B． 4.已知函数若关于x的方程f2（x）﹣kf（x）+1＝0恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为　（﹣∞，﹣2）∪{2}　． 【解答】解：作出f（x）图象，如图所示： 令t＝f（x），则原方程即为t2﹣kt+1＝0， 记方程t2﹣kt+1＝0的两根为t1，t2， 可知t1t2＝1，t1+t2＝k， ①当Δ＝k2﹣4＝0时，k＝±2， 当k＝2时，t1＝t2＝1， 此时方程f（x）＝1恰有两个不同的实数根，满足题意； 当k＝﹣2时，t1＝t2＝﹣1， 此时方程f（x）＝﹣1仅有一个实数根，不满足题意； ②当Δ＝k2﹣4＞0时，k＞2或k＜﹣2，此时t1≠t2，不妨设t1＜t2， 当k＞2时，0＜t1＜1＜t2，则方程f（x）＝t1有三个不同的实数根， 方程f（x）＝t2有一个实数根，不满足题意； 当k＜﹣2时，t1＜t2＜0， 此时方程f（x）＝t1和f（x）＝t2各有一个实数根，且两根不相等，满足题意； 综上可知，实数k的取值范围为 （﹣∞，﹣2）∪{2}． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪{2}． 5.已知f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+3，且f（2）＝3，则f（2025）的值为（　　） A．6072 B．6075 C．6078 D．6069 【解答】解：根据题意，f（x+y）＝f（x）+f（y）+3，且f（2）＝3， 令x＝y＝1，则f（2）＝f（1）+f（1）+3，解得f（1）＝0， 令x＝n，y＝1，则f（n+1）＝f（n）+f（1）+3＝f（n）+3， 变形可得f（n+1）﹣f（n）＝3， 即f（n）的值是以f（1）＝0为首项，3为公差的等差数列， 所以f（2025）＝f（1）+3×2024＝6072． 故选：A． 6.若函数f（x）＝|ln（x+a）|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　[1，+∞）　． 【解答】解：因为f（x）＝|ln（x+a）|， 且f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以1﹣a≤0，解得a≥1， 所以实数a的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 7.函数是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【解答】解：根据题意，函数， 当x≥0时，f（x）＝x﹣1，则f（﹣x）＝﹣x﹣1＝f（x）， 当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣1，则f（﹣x）＝x﹣1＝f（x）， 综上可得，f（﹣x）＝f（x）， 即函数f（x）为偶函数． 故选：B． 8.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＝g（x﹣1）+2，若函数g（x）为奇函数，g（x+1）为偶函数，且f（2）＝1，则（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：根据题意，因为函数g（x）为奇函数，所以有g（﹣x）＝﹣g（x），g（0）＝0， 又因为g（x+1）为偶函数，所以g（x+1）＝g（﹣x+1），g（2）＝g（0）＝0， 于是有g（x+2）＝g（﹣x）＝﹣g（x）⇒g（x+4）＝g（x）， 所以函数g（x）的周期为4，因为g（x）＝f（x+1）﹣2，f（2）＝1， 所以g（1）＝f（1+1）﹣2＝﹣1，g（3）＝g（﹣1）＝﹣g（1）＝1，g（4）＝g（0）＝0， 所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝0， 于是， 故选：B． 9.已知函数，若f（x）在R上单调递增，则实数的取值范围为（　　） A．（0，1） B． C．（1，2） D．（2，+∞） 【解答】解：∵f（x）在R上单调递增， ∴， 解得2＜a≤3， ∴， ∵2＜a≤3，3＜a+1≤4， ∴，， ∴． 故选：B． 10.函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若x∈[0，1]，f（x）＝2x，则f（2023）＝ 　2　 ． 【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x）， 又由f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（x+1）＝f（1﹣x）＝f（x﹣1）， 即f（x+2）＝f（x+1﹣1）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数， 当x∈[0，1]时，f（x）＝2x， 则f（2023）＝f（2×1011+1）＝f（1）＝2． 故答案为：2． 11.若函数至少有一个零点，则m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≥1 C．0≤m＜1 D．0≤m≤1 【解答】解：函数至少有一个零点，等价于方程m﹣1＝0至少有一个根，等价于函数y与y＝1﹣m图象至少有一个交点，画出函数y的图象，如图所示： 由图象可知，0＜1﹣m≤1，解得0≤m＜1， 即m的取值范围为[0，1）．故选：C． 12.函数f（x）的部分图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由x2+|x|﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝1， ∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）， ∵f（﹣x）f（x）， ∴f（x）为奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，故排除A， 令f（x）＝0，解得x＝0，故排除C， 当x时，f（）0，故排除B， 故选：D． 13.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 　36　 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据；e﹣0.5≈0.61，e﹣0.6≈0.55，e﹣0.7≈0.49） 【解答】解：根据题意，所给模型中y0＝20，N＝1020，p＝10% ＝0.1，x＝6， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为e﹣0.6≈0.55， 所以． 所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万块． 故答案为：36． 14.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），且当x≤2时，f（x）＝ex，则（　　） A．f（2）＜f（﹣3）＜f（4） B．f（2）＜f（4）＜f（﹣3） C．f（4）＜f（2）＜f（﹣3） D．f（﹣3）＜f（4）＜f（2） 【解答】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x）＝f（4﹣x）， 则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称， 令x＝﹣3，有f（﹣3）＝f（4+3）＝f（7）， 当x≤2时，f（x）＝ex，所以函数f（x）＝ex，则f（x）在（﹣∞，2]上单调递增， 所以f（x）在[2，+∞）上单调递减， 因为2＜4＜7，所以f（7）＜f（4）＜f（2），即f（﹣3）＜f（4）＜f（2）． 故选：D． 15.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）设方程f（x）﹣m＝0有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣1，0）∪（0，1] B．（﹣1，1） C．（﹣4，0）∪（0，4） D．（﹣1，0）∪（0，1） 【解答】解：如图，可以作出分段函数f（x）的图象， ∵方程f（x）﹣m＝0有四个互不相等的实根， ∴函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点， 由图可知，当m∈（﹣1，1）时，符合题意，但f（x）是R上的奇函数，有f（0）＝0，故m≠0， ∴m的取值范围是：m∈（﹣1，0）∪（0，1）， 故选：D． 16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2﹣x﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝　﹣x2﹣x+1　 ． 【解答】解：根据题意，设x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞）， f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）﹣1＝x2+x﹣1， 又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣x+1， 故答案为：﹣x2﹣x+1． 17.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（），则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞） 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵2|a﹣1|＞0，f（）＝f（）， ∴2|a﹣1|． ∴|a﹣1|， 解得． 故选：C． 18.（多选）已知函数f（x）定义域为R，且f（2x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x+1）关于直线x＝1对称，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x+4）＝f（x） C．f（2+x）＝f（2﹣x） D．f（x）+f（1﹣x）＝0 【解答】解：由函数y＝f（x+1）关于直线x＝1对称，可得f（（1+x）+1）＝f（（1﹣x）+1）， 即f（x+2）＝f（2﹣x），则函数f（x）关于直线x＝2对称，故C正确； 由f（2x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得f（2x﹣1）+f（2（2﹣x）﹣1）＝0， 即f（2x﹣1）+f（3﹣2x）＝0，以2x代换x，则f（x﹣1）+f（3﹣x）＝0， 所以函数f（x）关于点（1，0）对称，可得f（x）+f（2﹣x）＝0，即f（2﹣x）＝﹣f（x）， 结合f（x+2）＝f（2﹣x）可得f（x+2）＝﹣f（x）， 所以f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），故B正确． 所以f（x）是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线x＝2对称还关于点（1，0）对称， 所以不关于点（0，0）和对称，所以f（x）不是奇函数，f（x）+f（1﹣x）≠0，故A、D错误； 故选：BC． 19.函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数， 排除C，D；当x＝π时，sinx＞0，则有f（π）＞0，排除B； 故选：A． 20.已知为奇函数，则实数a的值是 　4　 ． 【解答】解：根据题意，，必有， 变形可得（x﹣2）（x+a﹣2）＞0， 令（x﹣2）（x+a﹣2）＝0，解得x＝2或x＝2﹣a， 又该函数为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以2+（2﹣a）＝0，解得a＝4，即， 令，其定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， ，满足题意， 故a＝4． 故答案为：4． 21.函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）的图象关于原点对称，且当x→+∞时，f（x）→+∞， 依次分析选项： 对于A，f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），则f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意； 对于B，f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，符合题意； 对于C，f（x），其定义域为{x|x＞0}，不符合题意； 对于D，f（x），其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），则f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，但x→+∞时，f（x）→0，不符合题意． 故选：B． 22.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，M0表示初始学习率，E表示衰减系数，ρ表示训练迭代轮数，ρ0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（　　） （参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A．75 B．77 C．79 D．81 【解答】解：根据题意得该指数衰减的学习率模型为M＝0.6， 当ρ＝16时，M＝0.48，代入得0.48＝0.6，解得E＝0.8， 当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，0.60.2， 则， 即， 则ρ＞161678.6804124， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为79． 故选：C． 23. 学科网（北京）股份有限公司 $