第10讲 二次求导解决导数问题讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习导数专题（新高考通用）

第10讲 二次求导解决导数问题 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 4 题型02： 利用二次求导证明不等式 10 题型03： 利用二次求导求函数的单调性 16 题型04： 二次求导的综合应用 19 巩固提升 28 1. 考查定位：高考导数解答题的核心进阶考点，多在压轴题（20/21题） 第2问出现，侧重考查函数单调性、极值、最值、不等式恒成立/证明、零点问题，是区分高分段考生的关键题型。 2. 考查频率：全国卷（甲/乙）、新高考Ⅰ/Ⅱ卷年均考查，地方卷（浙江、江苏等）高频出现，近5年考频超80%，常与含参函数、指数/对数/三角函数结合考查。 3. 分值占比：单独考查占4-6分，常与一次求导结合构成完整解答题，整体导数题分值约12分，二次求导是解题的核心突破口。 4. 命题特点：题干函数多为复合型函数，一次求导后f’(x)仍含超越函数/无法直接判断符号，需通过二次求导f''(x)分析f’(x)的单调性，进而反推原函数f(x)的性质。 1. 逻辑推理：能通过二次求导建立“f''(x)符号→f’(x)单调性→f’(x)零点/符号→f(x)单调性”的推理链，体现层层递进的逻辑思维。 2. 运算求解：掌握复合函数、乘积/商的求导法则，能准确计算一次、二次导数，处理含参二次导数的符号判断（分类讨论/参变分离）。 3. 数形结合：能通过f''(x)分析f’(x)的图像特征（单调增/减、极值点），结合f’(x)的零点划分原函数的单调区间。 4. 分类讨论：针对含参二次导数，能根据参数范围（如a>0/a=0/a<0、参数临界值）讨论f’(x)的单调性和符号，避免漏解。 构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。 解决这类题的常规解题思路 求函数的导数，无法判断导函数正负；设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 当一次求导后满足以下任一条件，需用二次求导： 1. f’(x)中含超越函数（、lnx、sin x、cos x），无法直接解f’(x)=0或判断f’(x)符号； 2. f’(x)为抽象/复杂代数式，单调性不明确，求导后可简化符号判断； 3. 题目要求证明高阶单调性（如f(x)在区间上单调递增且增速越来越快/慢）。 典型示例：f(x)= - x - ln x，f’(x)= - 1 - ，无法直接判断符号，需二次求导f''(x)= +> 0，分析f’(x)的单调性。 核心解题策略（四步核心法） 步骤1：求导定基，判断是否需二次求导 求原函数f(x)的定义域→计算一次导数f’(x)→分析f’(x)的结构，若无法直接判断符号/求零点，立即求二次导数f''(x)。 步骤2：分析二次导数，确定一次导数的单调性 1. 计算f''(x)，化简后判断其恒正/恒负或零点； 2. 若f''(x) > 0（或<0）在定义域内恒成立，则f’(x)在定义域上单调递增/递减； 3. 若f''(x)有零点，则以为界划分f’(x)的单调区间。 步骤3：找一次导数的零点，划分原函数单调区间 1. 零点存在性定理：结合f’(x)的单调性，找两个点<，使得f’()f’() < 0，确定f’(x)有唯一零点； 2. 临界值分析：若f’(x)在区间端点处的极限/函数值可求，结合单调性确定f’(x)的符号分布； 3. 根据f’(x) > 0或f’(x) < 0，划分原函数f(x)的单调增/减区间。 步骤4：结合原函数单调性，解决最终问题 1. 极值/最值：根据单调区间确定f(x)的极值点，计算极值/端点值，比较得最值； 2. 不等式恒成立：将问题转化为f(x)min≤k（或f(x)max≥ k），代入极值/最值求解参数范围； 3. 零点问题：结合f(x)的单调性+端点函数值符号，判断零点个数； 4. 不等式证明：构造辅助函数g(x)=f(x)-h(x)，通过二次求导分析g(x)的单调性，证明g(x)≥ 0（或≤0）。 高频易错点规避 1. 定义域遗漏：求导前未确定f(x)的定义域，导致后续分析区间错误（如含\ln x时x>0，含分式时分母≠0）； 2. 求导错误：复合函数、乘积求导法则用错（如(lnx)’=lnx +，避免漏项）； 3. 零点判断失误：未验证f’(x)的单调性，直接断言f’(x)无零点，或未用零点存在性定理，主观猜测零点； 4. 含参讨论混乱：未找到参数的临界值（如f''(x)=0的参数解），讨论维度混乱，漏解/重复解； 5. 逻辑断层：二次求导后未明确“f''(x)→f’(x)→f(x)”的推理关系，直接跳过f’(x)分析原函数性质。 题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 【典型例题1】若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为变形令 求导：，令求导 在上为增函数； 令=0，零点满足即， 所以在时，是单减， 在时，是单增的 ，再令， , 所以，，取整数，那么的最大值是4 【典型例题2】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数） 【答案】见解析 【解析】：（Ⅰ）当时，． ， 所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）． （Ⅱ）由，得．当时，等价于． 令，则．设 ，则 ． （i）当 时，，则． 记，则. 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， ． 因此，． （ii）当时，． 令 ，则， 故在上单调递增，所以． 由（i）得．所以，． 因此． 由（i）（ii）得对任意，， 即对任意，均有． 综上所述，所求a的取值范围是 【变式训练1-1】已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（ ） （最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B． 【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令时，化简：； 令时，，化简 你还可以在算出3,4，选择题排除法。B为最佳选项。 【第二种解法（二次求导）】： 构造 求导，令，即， 再令，在，，在上是单调递减， 设点，在递减；在递增， 所以=，，， 所以m的最大值是2. 【变式训练1-2】已知实数，设函数．（为自然对数的底数） （1）求函数的单调区间； （2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（I）由，解得． ①若，则当时，，故在内单调递增； 当时，，故在内单调递减． ②若，则当时，，故在内单调递增； 当时，，故在内单调递减． 综上所述，在内单调递减，在内单调递增． （II），即（﹡）． 令，得，则． 当时，不等式（﹡）显然成立， 当时，两边取对数，即恒成立． 令函数，即在内恒成立． 由，得． 故当时，，单调递增；当时，， 单调递减. 因此． 令函数，其中， 则，得， 故当时，，单调递减；当时，，单调 递增． 又，， 故当时，恒成立，因此恒成立， 即当时，对任意的，均有成立 【变式训练1-3】已知函数. （1）若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围； （2）若，证明：存在唯一的极大值点，且. 【答案】见解析 【解析】（1）由，得，即. 令，求导，令，得 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以.易知当时，，当时，， 故可作出函数的大致图象，如图所示： 由图象可知，当时，直线与的图象有两个不同的交点， 故当在上有两个不同的实根，实数的取值范围为. （2）证明：由题知，求导， 令，求导，令，得 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，， ，由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一的根， 设为，则，从而有两个零点和， 当和时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以存在唯一的极大值点，，且，即. ， 当且仅当，即，故等号不成立，所以. 【变式训练1-4】已知函数. （1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围； （2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）∵，又函数在区间上为增函数 ∴当时，恒成立.∴. ∴的取值范围为. （2）当时，.故不等式，∴ 即对任意恒成立，令，则， 令，（）则，∴在上单增. 又，， ∴存在，使，即当时 即.当时，，即 ∴在上单减，在上单增.令，即. ∴， ∴且，即. 题型02： 利用二次求导证明不等式 【典型例题】已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞）， ，， . 令 从而当时，， 故所求的范围是[-1,+∞﹚. (2)由(1)知,,则 ①时，； ②. 综上可知，不等式成立. 我们也可以运用二阶导数的方法加以证明： 【二次求导的巧妙运用】:令. 因 ， 显然当时，， 当时，，在（0,1﹚递减； 当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得：， 从而在时递增，，在[ 1,+∞﹚递增， 所以当时，，故成立，原不等式成立. 【变式训练2-1】已知函数，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）证明：当，且时，． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故 即 ，解得，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 考虑函数，则 所以当时， 当时， 当时， 从而当 【变式训练2-2】已知函数，且． (1)求； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 【答案】见解析 【解析】（1）的定义域为． 设，则，等价于． 因为，，故，而，，得． 若，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是的极小值点，故．综上，． （2）由（1）知，． 设，则． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，． 因此，所以是的唯一极大值点． 由得，故． 由得，． 因为是在的最大值点，由，得． 所以． 【变式训练2-3】已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，，且，证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点. （2）若有两个零点，，则，，得. 因为，令，则， 得，则， 所以. 令，则， 令，则， 则在上单调递增，所以. 所以，则在上单调递增， 所以，即，故. 【变式训练2-4】已知函数． （1）若对恒成立：求实数a的取值范围； （2）当时，证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以，. 当时，显然，则在上单调递增，所以，不合题意； 当时，由得，则在上单调递增，所以存在， 使，不合题意； 当时，因为，所以，则在上单调递减，所以. 综上可知，实数的取值范围是. （2）当时，，要证， 只需证，即证（*）. 令（），则， 令（），则， 则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减.由（*）可知，只需证（）. 令（），则，所以在上单调递增， 所以对任意，，即.故原不等式成立. 【变式训练2-5】函数，，为常数． （1）当时，若，求的值； （2）当时，证明：对任意，． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以，，解得：． （2）因为，所以，则 要证，只需证．设 则， 设，，故单调递增． 又因为，，所以存在，使得， 即，所以，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增．所以当时，取得最小值． 由知，所以， 所以，故，从而． 题型03：利用二次求导求函数的单调性 【典型例题】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线 在点处的切线与轴平行． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，其中是的导数． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）由 = 可得，而， 即，解得； （Ⅱ），令可得， 当时，；当时，． 于是在区间内为增函数；在内为减函数。 （Ⅲ） = 因此对任意的，等价于 设 所以 因此时，，时， 所以，故。 设， 则， ∵，∴，，∴，即 ∴，对任意的， 证明：对任意的，． 【变式训练3-1】 （1）已知，证明：当时，； （2）证明：当时，有最小值，记 最小值为，求的值域. 【答案】见解析 【解析】（1）证明：在上单调递增， 时，即，时， 成立 . （2） 由在上单增且 知存在唯一的实数，使得，即 单减；单增 ，满足 记，则在上单 所以的值域为 【变式训练3-2】已知函数. （1）若，讨论函数的单调性； （2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）的定义域为(0,+∞)，. ①当时，令，得到；令，得到，此时在(0,1)上为减函数， 在(1,+∞)上为增函数； ②当时，令，得到；令，得到或，此时在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数； ③当a=1时,显然恒成立，此时在0,+∞)上为增函数； ④当a>1时,令，得到；令，得到或.此时在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数. 综上：①当时， 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当时， 在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数； ③当a=1时，在0,+∞)上为增函数； ④当a>1时，在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数. （2）在内有两个零点，即关于x方程在上有两个不相等的实数根. 令则， 令，则， 显然在上恒成立,故在上单调递增. 因为p(1)=0，所以当，有，即所以单调递减； 当，有，即所以单调递增； 因为，所以a的取值范围 题型04：二次求导的综合应用 【典型例题1】已知存在，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象，如图所示， 因为存在当时，，所以， 因为在上的最小值为在上的最小值为， 所以，所以， 因为，所以， 令（），所以为开口向上，对称轴为上抛物线， 所以在区间上递增， 所以当时，，当时，，即的取值范围是， 故选A． 【典型例题2】已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。 （1） 当时，解不等式； （2） 若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围； （3） 当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。 【答案】见解析 【解析】⑴因为，所以不等式即为， 又因为，所以不等式可化为， 所以不等式的解集为． ⑵， ①当时，，在上恒成立，当且仅当时 取等号，故符合要求； ②当时，令，因为， 所以有两个不相等的实数根，，不妨设， 因此有极大值又有极小值． 若，因为，所以在内有极值点， 故在上不单调． 若，可知， 因为的图象开口向下，要使在上单调，因为， 必须满足即所以. 综上可知，的取值范围是 ⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解， 所以原方程等价于，令， 因为对于恒成立， 所以在和内是单调增函数， 又，，，， 所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上， 所以整数的所有值为． 【典型例题3】已知函数 （1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值 （2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围 （3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由 【答案】见解析 【解析】（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1， ∴ ＝－1. （2）∵当≥0时，恒成立， ∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数； 又当＞0时，恒成立， 则恒成立， 设＝，则＝， 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增， 当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， 故当＝1时，取得极大值，， ∴ 实数的取值范围为． （3）依题意，曲线C的方程为， 令＝，则 设，则， 当，，故在上的最小值为， 所以≥0，又，∴＞0， 而若曲线C：在点处的切线与轴垂直， 则＝0，矛盾。 所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直. 【变式训练4-1】已知函数，则=（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D. 【解析】：已知，，所以原式化为 故选D． 【变式训练4-2】已知函数,若，其中，则的取值范围 【答案】 【解析】由题意得：， 从而得到，所以， 构造函数，求导：，， + 0 _ 单调递增 极大值 单调递减 的最大值为，故此的取值范围为 【变式训练4-3】设a∈R，函数（），其中是自然对数的底数． （Ⅰ） 判断函数在R上的单调性； （Ⅱ） 当时，求函数在[1，2]上的最小值． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ） ． 由于, 只需讨论函数的符号: 当a = 0时, ，即，函数在R上是减函数； 当a>0时, 由于，可知，函数在R上是减函数； 当a<0时, 解得，且． 在区间和区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数 综上可知：当a≥0时，函数在R上是减函数；当a<0时, 函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数． （Ⅱ） 当时，, 所以, 函数在区间[1，2]上是减函数，其最小值是． 【变式训练4-4】设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x). （1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；（2）当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1≥0,x2≥0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；（3）若x≥>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,． 因为x=0是F(x)的极值点,所以． 又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, ． ∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意． (Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以． 令当x>0时恒成立． ∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1．∴|PQ|min=1． (Ⅲ)令 则． 因为当x≥0时恒成立, 所以函数S(x)在上单调递增, ∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立． 当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即． 故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立． 【变式训练4-5】已知三次函数的最高次项系数为a，三个零点分别为. ⑴ 若方程有两个相等的实根，求a的值； ⑵若函数在区间内单调递减，求a的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）依题意，设∵有两个相等实根， 即有两个相等实根，∴， 即或。 （2）在内单调递减， 在恒成立， 【变式训练4-6】 对于三次函数． 定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”； 定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称． 己知，请回答下列问题： （1）求函数的“拐点”的坐标 （2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明） （3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程） 【答案】见解析 【解析】（1）依题意，得： ， 。 由 ，即。∴，又 ， ∴的“拐点”坐标是。 （2）由(1)知“拐点”坐标是。而 = ==， 由定义(2)知：关于点对称。 一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分 （3）或写出一个具体的函数,如或。 【变式训练4-7】已知函数． （I）求函数的单调递减区间； （II）若在上恒成立，求实数的取值范围； （III）过点作函数图像的切线，求切线方程． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）得 函数的单调递减区间是； （Ⅱ）即 设则 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 最小值实数的取值范围是； （Ⅲ）设切点则即 设，当时是单调递增函数 最多只有一个根，又 由得切线方程是. 一、单选题 1．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 由题意在上恒成立，即在上恒成立， 分离参数，而在上的最大值为2， 所以实数的取值范围是.故选：D. 2．已知二次函数的图象过点，且当时，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知，∴， ∴，令，则， ，令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 如图，若图象在图象上方，则， 要使图象在图象上方，则表示x轴截距的相反数， 的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线与相切， 记切点为，则，又， 所以， 有，设， 则， 故当时，函数，当时，， 故当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，综上，的最小值为.故选：D. 3．设实数，那么的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，令， 令，， 在上是减函数，，在上是减函数， 又，，即，故选：C. 4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 设函数，则， 令，故， 所以函数在上单调递减，而， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则.故选：B． 5．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，又关于的不等式在上有解， 所以在上有解，即， 令，，则， 设，，则， 即在上单调递增，则， 于是有，从而得在上单调递增， 因此，，则， 所以的取值范围是.故选：D 6．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（       ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据题意，求导可得，， ∵（ ），∴在上单调递增， 又∵当时，， ∴当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故有，即得， 所以根据题意，若使，需使的值域中包含， 即得，故的最大值为2.故选：B. 7．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，化简得：， 设，，则原不等式即为. 若，则当时，，， 原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴. ∵，，∴. 当，即时，设， 则. 设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴， ∴当时，，∴在上为减函数， 即， ∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数. 要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数， 则，即，解得.则实数的取值范围为.故选：D 8．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，又的定义域为，所以在和上单调递减， 又，，，，所以．故选：B． 9．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，又关于的不等式在上有解， 所以在上有解，即， 令，，则， 设，，则， 即在上单调递增，则， 于是有，从而得在上单调递增， 因此，，则， 所以的取值范围是.故选：D 10．已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】依题意，，令，则． 令，，∴时，，即单调递增， ∵，，设并记其零点为， 故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故选:C 二、多选题 1．已知函数有两个极值点，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意知，函数的定义域为， ，则的两根为， 由，得，设，则， 令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，作出函数与函数的图像，如图， 由图可知，解得，故A错误； 又，令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得，所以， 又，所以， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 有，故C错误；，故D正确； 设， 则，即函数关于点对称， ，令， 则， 当时，，， 所以在上，，函数单调递减，且， 则在上，即，函数单调递增， 又关于点对称，所以函数在单调递增， 所以，有， 又，所以，由， 得，又函数在单调递增， 所以，即，故B正确. 故选：BD 2．已知函数，则下列说法正确的有（       ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 【答案】ACD 【解析】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记为的零点，则有 所以当时，，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，有极小值，D正确； 由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误 故选：ACD 3．已知函数，则（       ） A．当，时， B．当时，有最值 C．当时，为减函数 D．当仅有一个整数解时， 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，令 因为在上单调递增，所以当时， 所以，即，故A正确； 对于B，当时，， 令，则 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 所以，即， 所以在上单调递减，没有最值，故B错误； 对于C，， 令，则 因为，所以由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 令，则 所以在上单调递增， 所以，即，所以为减函数，故C正确 对于D，由可得，令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 的图象如下： 表示的是过点的直线，所以当仅有一个整数解时，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 1．已知是上的偶函数，当时，，且对恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】， 故为增函数，当时，，可得为增函数. 又为偶函数，故， 恒成立. 因为，， 所以有，故答案为： 2．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】由题知，且， 令，则， ①若，当时，， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增； 所以.因此不可能是的极大值点. ②若，令， 当时，， 所以即在上单调递增. 又因为，， 因此存在满足：，所以当时，， 所以在上单调递减，， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递增；在上单调递减； 综上，当是的极大值点时，. 故答案为： 3．已知，若方程在上有唯一实根，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】当时，方程可化为 ，， 设，则， 设，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 又，，所以存在，使得， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 又，，所以存在，使得， 当时，，，函数单调递增， 当时，，，函数单调递减， 作函数的图象如下， 又，因为方程在上有唯一实根， 所以函数与函数的图象有且只有一个交点， 所以，所以，所以实数a的取值范围为， 4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由，，得， 设，即恒成立，， ， 所以在上单调递减，且， 所以当时，；当时，； 即函数在上单调递增，在单调递减， 故当时，取最大值为，即，所以，故答案为：. 5．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由，，得， 设，即恒成立， ，， 所以在上单调递减，且， 所以当时，；当时，； 即函数在上单调递增，在单调递减， 故当时，取最大值为，即，所以，故答案为：. 6．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则， 所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，故，所以，所以实数的最大值为． 四、解答题 1．已知函数，. (1)若函数在区间上的最小值为3，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)因为，，， 所以当时，则在上单调递增，的最小值为不符合，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增，在的最小值为，则不符合，舍去； 当时，在上单调递减，的最小值为，则． (2)在上恒成立，即在上恒成立， 设，，，设，在上恒为正，则在上单调递增，，则在上单调递增，. 所以，即实数的取值范围为. 2．已知函数，. (1)若函数在区间上的最大值为20，求实数a的值； 【答案】见解析 【解析】(1)函数的定义域为R，， ①当时，，故函数单调递增， 有，解得； ②当时，令，解得或， 令，解得， 所以函数的增区间为，，减区间为. 当即时，函数在，上单调递增，在上单调递减， 得或. 解得（舍去）或舍去）； 当即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 得，解得（舍去）； 当即时，函数在上单调递减， 得，解得. 综上知或； (2)可化为，整理，得， 即在上恒成立，令， 则， 令，则，所以函数在上单调递增，且， 所以当时；当时，故函数的增区间为，减区间为， 所以，得，即实数a的取值范围为. 3．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)因为，所以， 所以，因为 所以函数为增函数，又， 所以当时，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)将 化为，设， 则， 由（1）可知，是上的增函数，且， ①当时，，函数在区间上单调递增，故，符合题意； ②当时，，故存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上为减函数，在上为增函数， 故，不等式不恒成立． 综上，实数k的取值范围为． 4．已知函数． (1)判断函数的单调性． (2)证明：． 【答案】见解析 【解析】(1)因为，所以． 令，则，可得在上单调递减，所以． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：令， 则． 令，则，所以在上单调递增． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以． 因为，且，所以，所以． 令，，则，所以在上单调递减， 所以，所以，所以． 5．已知函数. (1)当时，证明：； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)当时，，则， 易知函数，都是R上的减函数，所以是R上的减函数， 又，所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，故. (2)由，得， 设，则， 设，则， 当时，易知，所以在R上是减函数，即在R上是减函数. 又，，所以存在，使得， 当时，，单调递增，则，不符合题意； 当时，由（1）可知，满足题意； 当时，易知在上单调递减，又，则在上单调递减，即在上单调递减. 又，，则存在，使得， 所以当时，，单调递减，则，不符合题意； 当时，因为，所以不符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 6．已知函数. （1）若函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）因为函数在上单调递减， 所以在上恒成立，则在上恒成立； 令，则， 令，得，单调递减；令，得，单调递增； 则的最小值为，所以. （2）令，当时，. 令， 令，，所以在上单调递增. 因为，所以时，，单调递减； 时，，单调递增.故，满足条件； 综上：. 7．已知，函数，． （1）讨论函数的极值； （2）若，当时，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，则， 当时，对，，则在是增函数，此时函数不存在极值； 当时，，令，解得， 若，则，若，则，当时，取得极小值， 所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值； （2）时，设，， 求导得，设，， 则，当且仅当时取“=”， 于是得在单调递增，，即，从而得在上单调递增， 因此有，即， 所以在上恒成立. 8．已知函数. （1）若，讨论函数的单调性； （2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）的定义域为(0,+∞)，. 当时，令，得到；令，得到， 此时在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当时，令，得到；令，得到或，此时在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数； ③当a=1时,显然恒成立，此时在0,+∞)上为增函数； ④当a>1时,令，得到；令，得到或.此时在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数. 综上：①当时， 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当时， 在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数； ③当a=1时，在0,+∞)上为增函数； ④当a>1时，在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数. （2）在内有两个零点，即关于x方程在上有两个不相等的实数根. 令则， 令，则， 显然在上恒成立,故在上单调递增. 因为p(1)=0，所以当，有，即所以单调递减； 当，有，即所以单调递增； 因为，所以a的取值范围 9．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为． （1）求，，的值； （2）设函数，若在上恒成立，求的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，， 则解得，，． （2）由（1）得．若在上恒成立， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以，从而可得在上恒成立． 令，则， 令，则恒成立，在上为增函数． 又，， 所以存在，使得，得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．则． 又，所以，代入上式，得． 又，所以．因为，且，所以，故的最大值为3． 10．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增． 当时，令，解得， 时，，函数在上单调递减； 时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意得，求导得， 设，求导可得， 当时，，函数在上单调递增，函数至多有一个极值点，不合题意． 当时，令，解得， 时，，函数在上单调递增， 时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为． 因为函数有两个极值点等价于函数有两个不同的零点， 所以，即，解得． 当时，，，，， 令，则，故在上单调递增， ，即，所以， 又在上单调递增，在上单调递减，所以函数有两个极值点， 所以实数的取值范围是． 11．已知函数. (1)若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，是的两个极值点，且，证明：. 【答案】见解析 【解析】(1)因为恒成立，所以， 即. 令函数，则 恒成立. 令函数 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 因为 ，所以在上单调递增， 所以等价于，即恒成立， 令函数，则 ，当时， ；当 时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故的取值范围是； (2)因为是的两个极值点，所以是方程 的两个根， 令 ，则 ，有（1）的讨论可知， 若 存在两个零点， ，且， 由 ，即 ， 因为， 所以， 即需证恒成立，由 可得， 令，则，， 所以等价于，即， 令函数，，则 ， 所以在上单调递减，所以，即， 故； 12．已知函数，且0是的一个极值点． (1)求的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)函数的定义域为， 因为0是的一个极值点，所以， 所以，解得，所以， 且， 令，则， 当时，，函数单调递减，又 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以为函数的极大值点， 所以，且函数的递增区间有，递减区间有； (2)由(1)， 所以可化为， 当时，不等式可化为，可得, 当时，不等式可化为， 设或，则， 设，则 所以单调递增，又， 所以当时，，， 当，，， 所以函数在和上都为增函数， 取，， 设，则 当时，， 所以单调递增，而， 所以当时，， 所以当时，， 所以或的最小值为h(-1),即， 所以当时，没有最小值， 但其取值能无限趋近， 又恒成立，所以，所以， 综上 13．已知，函数，． （1）讨论函数的极值； （2）若，当时，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，则， 当时，对，，则在是增函数，此时函数不存在极值； 当时，，令，解得， 若，则，若，则，当时，取得极小值， 所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值； （2）时，设，， 求导得，设，， 则，当且仅当时取“=”， 于是得在单调递增，，即，从而得在上单调递增， 因此有，即，所以在上恒成立. 14．已知函数 （1）当时，求图象在点处的切线方程； （2）当且时，证明有且仅有两个零点. 【答案】见解析 【解析】（1）当时，则， 则，又，则图象在点处的切线方程为； （2）由， 则恒成立，单调递增； 又；， 则必然存在一点，使得，且，，单减，，，单增，即，则， 故若有且仅有两个零点，则，只需最小值点不在处取得即可， 即，即，故当且时，有且仅有两个零点. 15．已知函数，. （1）若在上为单调递减函数，求的取值范围； （2）设函数有两个不等的零点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1），由，令，， 当时，；当时，． 在上为单调递增函数，在上为单调递减函数. ，. （2）函数有两个不等的零点且， ，两式相除得， 若证不等式恒成立，即证， 即证，令， ，. ①时，，在上为单调递减函数， ，在为单调递增函数，， 满足条件. ②时，当时，，在上为单调递增函数， ，在上为单调递减函数．， 不满足条件，舍去. 综上，正实数． 16．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为． （1）求，，的值； （2）设函数，若在上恒成立，求的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，， 则解得，，． （2）由（1）得．若在上恒成立， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以，从而可得在上恒成立． 令，则， 令，则恒成立，在上为增函数． 又，， 所以存在，使得，得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．则． 又，所以，代入上式，得．又，所以． 因为，且，所以，故的最大值为3． 17．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． （1）若函数为上的凸函数，求的取值范围； （2）若函数在上有极值，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）， 若函数为上的凸函数，则，即， 令，，则当时，， 当时，；当时，； 当时，单调递减；当时，单调递增， ，，解得：，的取值范围为. （2），， 在上有极值，在有变号零点， ，令，则， ，，在上单调递增，； ①当，即时，，在上单调递增， ．即，在无零点，不合题意； ②当，即时，则，使得， 当时，，，单调递减， 又，当时，，在上无零点； 当时，，单调递增，又时，， 在上有零点，且在零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点， 在上有极值； 综上所述：的取值范围为. 18．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增．当时，令，解得， 时，，函数在上单调递减； 时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意得，求导得， 设，求导可得， 当时，，函数在上单调递增，函数至多有一个极值点，不合题意． 当时，令，解得， 时，，函数在上单调递增， 时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为． 因为函数有两个极值点等价于函数有两个不同的零点， 所以，即，解得． 当时，，，，， 令，则，故在上单调递增， ，即，所以， 又在上单调递增，在上单调递减，所以函数有两个极值点， 所以实数的取值范围是． 19．已知函数，． （1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意可知， 则，设切点为，， 则由，解得，则，即，故等式得证； （2）解：因为，其中， 所以对恒成立，令， 则，即， 令，则，其中， 则为上的增函数， 又因为（1），， 所以存在，使得， 即，即， 又因为在上单调递增，故，即， 又当时，，所以为减函数，当时，，所以为增函数， 所以， 所以的取值范围为，． 20．已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）当时，，， 所以切线的斜率，，切点为， 所以切线方程为：，即 （2）若对任意的，都有， 取，则可得：， 由可得：， ，所以在单调递增， ，，即，因为， ， 所以存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 若对任意的，都有，只需 解得：， 所以的取值范围是. 21．已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）当时，，所以． 所以．曲线在点处的切线方程为． （2）由，得． 令，则．当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． 当时，，．又在单调递增， 故存在，使得，在区间上，在区间上． 所以，在区间上，在区间上， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值． （3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于． ①当时，，由（2）得，所以． 所以在上单调递增，所以的最小值为． 由，得，满足题意． ②当时，由（2）知，在上单调递减， 所以在上，不满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次求导解决导数问题 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 4 题型02： 利用二次求导证明不等式 7 题型03： 利用二次求导求函数的单调性 9 题型04： 二次求导的综合应用 10 巩固提升 15 1. 考查定位：高考导数解答题的核心进阶考点，多在压轴题（20/21题） 第2问出现，侧重考查函数单调性、极值、最值、不等式恒成立/证明、零点问题，是区分高分段考生的关键题型。 2. 考查频率：全国卷（甲/乙）、新高考Ⅰ/Ⅱ卷年均考查，地方卷（浙江、江苏等）高频出现，近5年考频超80%，常与含参函数、指数/对数/三角函数结合考查。 3. 分值占比：单独考查占4-6分，常与一次求导结合构成完整解答题，整体导数题分值约12分，二次求导是解题的核心突破口。 4. 命题特点：题干函数多为复合型函数，一次求导后f’(x)仍含超越函数/无法直接判断符号，需通过二次求导f''(x)分析f’(x)的单调性，进而反推原函数f(x)的性质。 1. 逻辑推理：能通过二次求导建立“f''(x)符号→f’(x)单调性→f’(x)零点/符号→f(x)单调性”的推理链，体现层层递进的逻辑思维。 2. 运算求解：掌握复合函数、乘积/商的求导法则，能准确计算一次、二次导数，处理含参二次导数的符号判断（分类讨论/参变分离）。 3. 数形结合：能通过f''(x)分析f’(x)的图像特征（单调增/减、极值点），结合f’(x)的零点划分原函数的单调区间。 4. 分类讨论：针对含参二次导数，能根据参数范围（如a>0/a=0/a<0、参数临界值）讨论f’(x)的单调性和符号，避免漏解。 构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。 解决这类题的常规解题思路 求函数的导数，无法判断导函数正负；设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 当一次求导后满足以下任一条件，需用二次求导： 1. f’(x)中含超越函数（、lnx、sin x、cos x），无法直接解f’(x)=0或判断f’(x)符号； 2. f’(x)为抽象/复杂代数式，单调性不明确，求导后可简化符号判断； 3. 题目要求证明高阶单调性（如f(x)在区间上单调递增且增速越来越快/慢）。 典型示例：f(x)= - x - ln x，f’(x)= - 1 - ，无法直接判断符号，需二次求导f''(x)= +> 0，分析f’(x)的单调性。 核心解题策略（四步核心法） 步骤1：求导定基，判断是否需二次求导 求原函数f(x)的定义域→计算一次导数f’(x)→分析f’(x)的结构，若无法直接判断符号/求零点，立即求二次导数f''(x)。 步骤2：分析二次导数，确定一次导数的单调性 1. 计算f''(x)，化简后判断其恒正/恒负或零点； 2. 若f''(x) > 0（或<0）在定义域内恒成立，则f’(x)在定义域上单调递增/递减； 3. 若f''(x)有零点，则以为界划分f’(x)的单调区间。 步骤3：找一次导数的零点，划分原函数单调区间 1. 零点存在性定理：结合f’(x)的单调性，找两个点<，使得f’()f’() < 0，确定f’(x)有唯一零点； 2. 临界值分析：若f’(x)在区间端点处的极限/函数值可求，结合单调性确定f’(x)的符号分布； 3. 根据f’(x) > 0或f’(x) < 0，划分原函数f(x)的单调增/减区间。 步骤4：结合原函数单调性，解决最终问题 1. 极值/最值：根据单调区间确定f(x)的极值点，计算极值/端点值，比较得最值； 2. 不等式恒成立：将问题转化为f(x)min≤k（或f(x)max≥ k），代入极值/最值求解参数范围； 3. 零点问题：结合f(x)的单调性+端点函数值符号，判断零点个数； 4. 不等式证明：构造辅助函数g(x)=f(x)-h(x)，通过二次求导分析g(x)的单调性，证明g(x)≥ 0（或≤0）。 高频易错点规避 1. 定义域遗漏：求导前未确定f(x)的定义域，导致后续分析区间错误（如含\ln x时x>0，含分式时分母≠0）； 2. 求导错误：复合函数、乘积求导法则用错（如(lnx)’=lnx +，避免漏项）； 3. 零点判断失误：未验证f’(x)的单调性，直接断言f’(x)无零点，或未用零点存在性定理，主观猜测零点； 4. 含参讨论混乱：未找到参数的临界值（如f''(x)=0的参数解），讨论维度混乱，漏解/重复解； 5. 逻辑断层：二次求导后未明确“f''(x)→f’(x)→f(x)”的推理关系，直接跳过f’(x)分析原函数性质。 题型01： 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 【典型例题1】若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为变形令 求导：，令求导 在上为增函数； 令=0，零点满足即， 所以在时，是单减， 在时，是单增的 ，再令， , 所以，，取整数，那么的最大值是4 【典型例题2】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数） 【答案】见解析 【解析】：（Ⅰ）当时，． ， 所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）． （Ⅱ）由，得．当时，等价于． 令，则．设 ，则 ． （i）当 时，，则． 记，则. 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， ． 因此，． （ii）当时，． 令 ，则， 故在上单调递增，所以． 由（i）得．所以，． 因此． 由（i）（ii）得对任意，， 即对任意，均有． 综上所述，所求a的取值范围是 【变式训练1-1】已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（ ） （最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练1-2】已知实数，设函数．（为自然对数的底数） （1）求函数的单调区间； （2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围． 【变式训练1-3】已知函数. （1）若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围； （2）若，证明：存在唯一的极大值点，且. 【变式训练1-4】已知函数. （1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围； （2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值. 题型02： 利用二次求导证明不等式 【典型例题】已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞）， ，， . 令 从而当时，， 故所求的范围是[-1,+∞﹚. (2)由(1)知,,则 ①时，； ②. 综上可知，不等式成立. 我们也可以运用二阶导数的方法加以证明： 【二次求导的巧妙运用】:令. 因 ， 显然当时，， 当时，，在（0,1﹚递减； 当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得：， 从而在时递增，，在[ 1,+∞﹚递增， 所以当时，，故成立，原不等式成立. 【变式训练2-1】已知函数，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）证明：当，且时，． 【变式训练2-2】已知函数，且． (1)求； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 【变式训练2-3】已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，，且，证明：. 【变式训练2-4】已知函数． （1）若对恒成立：求实数a的取值范围； （2）当时，证明：． 【变式训练2-5】函数，，为常数． （1）当时，若，求的值； （2）当时，证明：对任意，． 题型03：利用二次求导求函数的单调性 【典型例题】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线 在点处的切线与轴平行． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，其中是的导数． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）由 = 可得，而， 即，解得； （Ⅱ），令可得， 当时，；当时，． 于是在区间内为增函数；在内为减函数。 （Ⅲ） = 因此对任意的，等价于 设 所以 因此时，，时， 所以，故。 设， 则， ∵，∴，，∴，即 ∴，对任意的， 证明：对任意的，． 【变式训练3-1】 （1）已知，证明：当时，； （2）证明：当时，有最小值，记 最小值为，求的值域. 【变式训练3-2】已知函数. （1）若，讨论函数的单调性； （2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围. 题型04：二次求导的综合应用 【典型例题1】已知存在，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象，如图所示， 因为存在当时，，所以， 因为在上的最小值为在上的最小值为， 所以，所以， 因为，所以， 令（），所以为开口向上，对称轴为上抛物线， 所以在区间上递增， 所以当时，，当时，，即的取值范围是， 故选A． 【典型例题2】已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。 （1） 当时，解不等式； （2） 若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围； （3） 当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。 【答案】见解析 【解析】⑴因为，所以不等式即为， 又因为，所以不等式可化为， 所以不等式的解集为． ⑵， ①当时，，在上恒成立，当且仅当时 取等号，故符合要求； ②当时，令，因为， 所以有两个不相等的实数根，，不妨设， 因此有极大值又有极小值． 若，因为，所以在内有极值点， 故在上不单调． 若，可知， 因为的图象开口向下，要使在上单调，因为， 必须满足即所以. 综上可知，的取值范围是 ⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解， 所以原方程等价于，令， 因为对于恒成立， 所以在和内是单调增函数， 又，，，， 所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上， 所以整数的所有值为． 【典型例题3】已知函数 （1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值 （2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围 （3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由 【答案】见解析 【解析】（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1， ∴ ＝－1. （2）∵当≥0时，恒成立， ∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数； 又当＞0时，恒成立， 则恒成立， 设＝，则＝， 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增， 当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， 故当＝1时，取得极大值，， ∴ 实数的取值范围为． （3）依题意，曲线C的方程为， 令＝，则 设，则， 当，，故在上的最小值为， 所以≥0，又，∴＞0， 而若曲线C：在点处的切线与轴垂直， 则＝0，矛盾。 所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直. 【变式训练4-1】已知函数，则=（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【变式训练4-2】已知函数,若，其中，则的取值范围 【变式训练4-3】设a∈R，函数（），其中是自然对数的底数． （Ⅰ） 判断函数在R上的单调性； （Ⅱ） 当时，求函数在[1，2]上的最小值． 【变式训练4-4】设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x). （1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；（2）当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1≥0,x2≥0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；（3）若x≥>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围． 【变式训练4-5】已知三次函数的最高次项系数为a，三个零点分别为. ⑴ 若方程有两个相等的实根，求a的值； ⑵若函数在区间内单调递减，求a的取值范围. 【变式训练4-6】 对于三次函数． 定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”； 定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称． 己知，请回答下列问题： （1）求函数的“拐点”的坐标 （2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明） （3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程） 【变式训练4-7】已知函数． （I）求函数的单调递减区间； （II）若在上恒成立，求实数的取值范围； （III）过点作函数图像的切线，求切线方程． 一、单选题 1．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象过点，且当时，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3．设实数，那么的大小关系为（       ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（       ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 9．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 1．已知函数有两个极值点，，则（       ） A． B． C． D． 2．已知函数，则下列说法正确的有（       ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 3．已知函数，则（       ） A．当，时， B．当时，有最值 C．当时，为减函数 D．当仅有一个整数解时， 三、填空题 1．已知是上的偶函数，当时，，且对恒成立，则实数的取值范围是___________. 2．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为_________________. 3．已知，若方程在上有唯一实根，则实数a的取值范围为______． 4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 5．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 6．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______． 四、解答题 1．已知函数，. (1)若函数在区间上的最小值为3，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数，. (1)若函数在区间上的最大值为20，求实数a的值； 3．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围． 4．已知函数． (1)判断函数的单调性． (2)证明：． 5．已知函数. (1)当时，证明：； (2)若，求实数的取值范围. 6．已知函数. （1）若函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 7．已知，函数，． （1）讨论函数的极值； （2）若，当时，求证：． 8．已知函数. （1）若，讨论函数的单调性； （2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围. 9．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为． （1）求，，的值； （2）设函数，若在上恒成立，求的最大值． 10．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围． 11．已知函数. (1)若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，是的两个极值点，且，证明：. 12．已知函数，且0是的一个极值点． (1)求的单调区间； (2)若，求的取值范围． 13．已知，函数，． （1）讨论函数的极值； （2）若，当时，求证：． 14．已知函数 （1）当时，求图象在点处的切线方程； （2）当且时，证明有且仅有两个零点. 15．已知函数，. （1）若在上为单调递减函数，求的取值范围； （2）设函数有两个不等的零点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围． 16．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为． （1）求，，的值； （2）设函数，若在上恒成立，求的最大值． 17．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． （1）若函数为上的凸函数，求的取值范围； （2）若函数在上有极值，求的取值范围． 18．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围． 19．已知函数，． （1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：； （2）若，求的取值范围． 20．已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有，求的取值范围. 21．已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $