从位移、速度、力到向量练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章 平面向量及其应用 考查范围：从位移、速度、力到向量 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共48分. 1.下列量中是向量的为( ) A.课桌的高度 B.一段路程的千米数 C.上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力 2.在等腰三角形ABC中，，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 3.在中，，D，E分别是AB，AC的中点，则( ) A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 4.下列有关向量的概念错误的是( ) A.长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B.零向量和任意向量都是共线向量 C.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D.若与不相等，则与一定不共线 5.给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则与的方向相同或相反；④若，，则.其中错误说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法正确的是 A.若，则 B.若是单位向量，则 C. D.若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 7.已知向量a，b为非零向量，则“向量a，b的夹角为”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设，为非零向量，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( ) A. B.与共线 C.与共线 D. 10.在等边三角形ABC中，点P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 11.如图ABCD是菱形，则在向量和中，相等的有______对. 12.已知A、B、C为圆O上的三点，若，则与夹角的大小为__________. 13.把同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积为__________. 14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中.若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则以B，C为始点表示马走了“一步”的向量共有______个. 四、解答题：本题共1小题，每小题16分，共16分. 15.如图，某人从点A出发，向西走了后到达点B，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达点C，最后又改变方向，向东走了到达点D，发现点D在点B的正北方.（图中1个单位长度表示） （1）作出； （2）求的模. 1.答案：D参考答案 解析：因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、千米数、频率只有大小，没有方向，弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量.故选D. 2.答案：D 解析：因为为等腰直角三角形，，所以，所以向量与的夹角为.故选D. 3.答案：B 解析：因为AB与AC不平行，所以与不共线，A错 因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故与共线，B正确； 因为CD与AE不平行，所以与不相等，C错； 因为，则D错. 故选：B. 4.答案：D 解析：对于A，零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确； 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确； 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确； 对于D，与不相等，有可能与方向相同，但模不同，此时与共线，故D错误. 故选D. 5.答案：D 解析：对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定，则或不一定正确，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则与的方向不一定相同或相反，只有当，时，若，则与的方向相同或相反，故③错误； 对于④，若，，当时，不一定成立，只有当时，才一定有，故④错误. 故选D. 6.答案：C 解析：对于A，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，是单位向量，则，故B错误； 对于C，向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确； 对于D，若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则A，B，C，D四点不一定共线，故D错误. 故选C. 7.答案：A 解析：由非零向量a，b的夹角为，可得a与b方向相反，即，充分性成立；当时，a与b方向相同或相反，即向量a，b的夹角为或，必要性不成立.所以“向量a，b的夹角为”是“”的充分不必要条件. 8.答案：A 解析：，表示，方向上的单位向量. 若，则与同向， 所以，即； 若，当与同向时，； 当与反向时，， 即. 故选：A. 9.答案：ABD 解析：由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知，故正确；由题图可知，与的方向相反，与的方向相同且长度相同，即，故B，D正确；与不一定共线，故C不正确.故选ABD. 10.答案：BD 解析：向量相等要求向量的模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量. 11.答案：2 解析：，其余不等. 12.答案：或 解析：连接、，如下图所示： 因为，则四边形为平行四边形， 因为，则平行四边形为菱形， 因为，故为等边三角形，所以，， 故，即与夹角的大小为. 故答案为：. 13.答案： 解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环， 其面积为. 故答案为. 14.答案：11 解析：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走. 如图，以点B为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以点C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.所以共有11个. 15.答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）根据题意可知，点B在坐标系中的坐标为， 又因为点D在点B的正北方，所以. 又，，所以，即D，C两点在坐标系中的坐标分别为，，即可作出如图①所示. （2）如图②所示，作出向量， 由题意可知，且，所以四边形ABCD是平行四边形，则，所以的模为. $