专题01 相交线与平行线（期中复习讲义+8重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材青岛版

专题01 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角相等 题型02 垂线段最短 题型03 平行公理的应用 题型04 平行线的判定 题型05 平行线的性质 题型06 根据平行线的性质探究角的关系 题型07 根据平行线的性质与判定求角度 题型08 根据平行线的性质与判定证明 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角与邻补角 能准确识别对顶角、邻补角，掌握其性质并熟练进行角度计算。 基础必考点，常出现在选择、填空题，多结合图形考查角度计算，属于送分题。 垂线及其性质 理解垂线的定义与性质，掌握垂线段最 短，能准确计算点到直线的距离。 基础高频考点，常与角度计算、实际应用结 合，是几何作图的基础，易在“点到直线的 距离”概念上出错。 三线八角 能准确识别三线八角中的三类角，掌握 其F型、Z型、U型图形特征。 基础工具考点，是平行线判定与性质的前 提，常出现在识图类小题，识图不清是后续 推理的主要失分根源。 平行公理及推论 理解平行公理，掌握平行线的传递性， 能规范用于推理证明。 基础辅助考点，常融入平行线证明题，易漏 写“同一平面内”的关键条件。 平行线的判定 熟练掌握平行线的3种判定方法，能结 合角度关系证明两直线平行。 核心必考考点，常出现在解答题，是几何推 理的核心内容，是初中几何证明的入门关 键。 平行线的性质 熟练掌握平行线的3种性质，能由平行 关系推导角度相等或互补。 核心必考考点，常与判定结合，出现在角度 计算、证明题中，混淆判定与性质是高频易 错点。 知识点01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。 知识点02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 知点识03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 知识点05 平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 题型一 对顶角相等 解｜题｜技｜巧 核心技巧：精准识别+性质直接应用 1. 识别定义：先判断两角是否满足“有公共顶点，且两边互为反向延长线”，排除邻补角干扰。 2. 性质应用：直接利用“对顶角相等”列等式求角度；若涉及邻补角，结合“邻补角和为180°”辅助计算。 3. 易错规避：避免将对顶角与同位角、内错角混淆，核心看“顶点唯一且两边反向”。 【典例1】已知如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，相交于点O，，若，求的度数． 题型二 垂线段最短 答｜题｜模｜板 核心技巧：找定点+定路径+作垂线 1. 模型识别：题目出现“最短路径、最小距离、最省材料”等关键词，且存在“直线外一点+直线上动点”的背景。 2. 作图步骤：过直线外的定点，向直线作垂线段，该垂线段长度即为最短距离。 3. 实际应用：引水、修路、反射等场景，优先用垂线段模型；注意判断垂足是否落在线段内部（落于内部才有效）。 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【变式1】以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定 D．弯曲河道改直 【变式2】如图，，则三条线段的长度按从小到大的顺序用“”连接是_________理由是_______． 题型三 平行公理的应用 答｜题｜模｜板 核心技巧：抓“唯一性”+用“传递性” 1. 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（考查唯一性判断，排除“直线上一点”的干扰）。 2. 平行公理推论：若a ̸̸ ̸̸ b、b ̸̸ ̸̸ c，则a ̸̸ ̸̸ c（平行线传递性），用于多直线平行的推理或证明。 3. 易错点：区分“平行公理”（过线外一点作平行线）与“垂线性质”（过任一点作垂线），避免混淆。 【典例1】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【变式1】如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 【变式2】如图，直线被直线所截，其中，，求证：． 题型四 平行线的判定 答｜题｜模｜板 核心技巧：由角定线，抓“三线八角”模型 1. 核心逻辑：通过角的数量关系（相等/互补）推导线的平行关系。 2. 判定定理： ◦ 同位角相等（F型， 两直线平行； ◦ 内错角相等（Z型）， 两直线平行； ◦ 同旁内角互补（U型），两直线平行。 3. 辅助判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；结合对顶角、角平分线先证角等，再推平行。 4. 书写规范：每一步标注依据（如“同位角相等，两直线平行”），逻辑链条不跳跃。 【典例1】如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 【变式1】如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定的条件有______（填写所有正确的序号）． 题型五 平行线的性质 答｜题｜模｜板 核心技巧：由线定角，精准匹配角的类型 1. 核心逻辑：已知线平行，推导角的数量关系。 2. 性质定理： ◦ 两直线平行，同位角相等； ◦ 两直线平行， 内错角相等； ◦ 两直线平行， 同旁内角互补。 3. 应用步骤：先找平行线与截线，再判断所求角属于同位角/内错角/同旁内角，对应代入性质计算。 【典例1】如图，平分，，，则_____．    【变式1】如图，，，下面推理不正确的是（   ） A．因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等） B．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） C．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） D．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） 【变式2】推理填空： 如图，，，点E在线段上，点F在射线上，若，则平分，请说明理由． 解：理由如下： ∵， ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴ ，（ ） ∴．（等量代换） 又∵， ∴． ∵， ∴ ，（两直线平行，同位角相等） ∴ ．（等量代换） ∴平分． 题型六 根据平行线的性质探究角的关系 答｜题｜模｜板 核心技巧：转化+建模，拆解复杂角关系 1. 基础转化：利用平行线性质，将分散的角转移到同一顶点/截线，通过对顶角、邻补角等量代换梳理关系。 2. 拐点模型：遇“折线拐点”，过拐点作已知直线的平行线（核心技巧），将复杂角拆分为多个同位角/内错角，推导和差关系。 【典例1】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，思考解决下列问题：试探究______． 【变式2】探究问题：已知，画一个角，使，且交于点P．与有怎样的数量关系？ (1)我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为_________；图2中与数量关系为_________； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角_________． (2)应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． 题型七 根据平行线的性质与判定求角度 答｜题｜模｜板 核心技巧：判定与性质交替使用，方程思想辅助 1. 解题流程： ◦ 第一步：读题标记，标注已知角、平行/垂直条件； ◦ 第二步：由角关系证平行（判定），或由平行推角关系（性质）； ◦ 第三步：结合对顶角、邻补角、角平分线计算。 2. 常用方法： ◦ 方程法：设未知角为x，利用互补/相等列方程（如比例关系角度）； ◦ 传递法：通过中间角（如对顶角）代换，串联已知角与所求角。 3. 综合场景：直角三角板、角平分线+平行组合，优先用性质转化角度，再计算。 【典例1】已知：如图，，，，求的大小． 【变式1】如图，已知，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 题型八 根据平行线的性质与判定证明 答｜题｜模｜板 1. 核心思路：构建“角关系↔线平行”的双向推理链，避免逻辑断裂。 2. 证明步骤： ◦ 分析：明确已知条件、求证结论（判定：证平行；性质：证角关系）； ◦ 推理：找关键截线/三线八角模型，通过判定证平行，再用性质得新角关系； ◦ 书写：每步标注依据（判定/性质/定义），用“∵（已知/定理）∴（结论）”规范表达。 3. 辅助线策略：遇拐点/多线平行，作平行线构造三线八角；遇复杂图形，延长线段补全基本模型。 4. 易错规避：区分判定与性质的书写依据（判定写“角等→线平行”，性质写“线平行→角等”），避免因果倒置。 【典例1】推理填空： 如图，点，，分别在三角形的边，，上，连接，过点作交的延长线于点且满足．若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①__________（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（②__________）． ∴（③__________）． ∴（④__________）． ∵（已知）， ∴⑤__________（同旁内角互补，两直线平行）． ∴⑥__________（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 【变式1】如图所示，已知平分，平分，且．    (1)能判定吗？为什么？ (2)能判定吗？为什么？ 【变式2】如图，，，平分． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 解：（1），理由如下： ∵，（平角的定义），（已知） ∴ （ ） ∴（ ） （2）与的位置关系是： ． ∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴ （ ） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 4．如图，直线，交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 5．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在下列四组条件中① ② ③  ④ ⑤能判断的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，直线，相交于点O，，平分．若，则_______°． 3．如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则_______；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则_______，_______． 4．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请说明：； ②拓展探究：试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为________（直接写出答案）． 5．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则__________； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角相等 题型02 垂线段最短 题型03 平行公理的应用 题型04 平行线的判定 题型05 平行线的性质 题型06 根据平行线的性质探究角的关系 题型07 根据平行线的性质与判定求角度 题型08 根据平行线的性质与判定证明 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角与邻补角 能准确识别对顶角、邻补角，掌握其性质并熟练进行角度计算。 基础必考点，常出现在选择、填空题，多结合图形考查角度计算，属于送分题。 垂线及其性质 理解垂线的定义与性质，掌握垂线段最 短，能准确计算点到直线的距离。 基础高频考点，常与角度计算、实际应用结 合，是几何作图的基础，易在“点到直线的 距离”概念上出错。 三线八角 能准确识别三线八角中的三类角，掌握 其F型、Z型、U型图形特征。 基础工具考点，是平行线判定与性质的前 提，常出现在识图类小题，识图不清是后续 推理的主要失分根源。 平行公理及推论 理解平行公理，掌握平行线的传递性， 能规范用于推理证明。 基础辅助考点，常融入平行线证明题，易漏 写“同一平面内”的关键条件。 平行线的判定 熟练掌握平行线的3种判定方法，能结 合角度关系证明两直线平行。 核心必考考点，常出现在解答题，是几何推 理的核心内容，是初中几何证明的入门关 键。 平行线的性质 熟练掌握平行线的3种性质，能由平行 关系推导角度相等或互补。 核心必考考点，常与判定结合，出现在角度 计算、证明题中，混淆判定与性质是高频易 错点。 知识点01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。 知识点02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 知点识03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 知识点05 平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 题型一 对顶角相等 解｜题｜技｜巧 核心技巧：精准识别+性质直接应用 1. 识别定义：先判断两角是否满足“有公共顶点，且两边互为反向延长线”，排除邻补角干扰。 2. 性质应用：直接利用“对顶角相等”列等式求角度；若涉及邻补角，结合“邻补角和为180°”辅助计算。 3. 易错规避：避免将对顶角与同位角、内错角混淆，核心看“顶点唯一且两边反向”。 【典例1】已知如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，相交于点，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1】如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ，， 平分， ， ． 故选：B． 【变式2】如图，直线，相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 垂线段最短 答｜题｜模｜板 核心技巧：找定点+定路径+作垂线 1. 模型识别：题目出现“最短路径、最小距离、最省材料”等关键词，且存在“直线外一点+直线上动点”的背景。 2. 作图步骤：过直线外的定点，向直线作垂线段，该垂线段长度即为最短距离。 3. 实际应用：引水、修路、反射等场景，优先用垂线段模型；注意判断垂足是否落在线段内部（落于内部才有效）。 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 【变式1】以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定 D．弯曲河道改直 【答案】A 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，，则三条线段的长度按从小到大的顺序用“”连接是_________理由是_______． 【答案】 垂线段最短 【详解】解：，即 是点到直线的斜线段，是点到直线的垂线段 根据垂线段最短，可得 又，即 是点到直线的斜线段，是点到直线的垂线段 根据垂线段最短，可得 综上， 故答案为：；垂线段最短 ． 题型三 平行公理的应用 答｜题｜模｜板 核心技巧：抓“唯一性”+用“传递性” 1. 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（考查唯一性判断，排除“直线上一点”的干扰）。 2. 平行公理推论：若a ̸̸ ̸̸ b、b ̸̸ ̸̸ c，则a ̸̸ ̸̸ c（平行线传递性），用于多直线平行的推理或证明。 3. 易错点：区分“平行公理”（过线外一点作平行线）与“垂线性质”（过任一点作垂线），避免混淆。 【典例1】平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 【变式1】如图，，，则点在同一直线上，理由是______． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2】如图，直线被直线所截，其中，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型四 平行线的判定 答｜题｜模｜板 核心技巧：由角定线，抓“三线八角”模型 1. 核心逻辑：通过角的数量关系（相等/互补）推导线的平行关系。 2. 判定定理： ◦ 同位角相等（F型， 两直线平行； ◦ 内错角相等（Z型）， 两直线平行； ◦ 同旁内角互补（U型），两直线平行。 3. 辅助判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；结合对顶角、角平分线先证角等，再推平行。 4. 书写规范：每一步标注依据（如“同位角相等，两直线平行”），逻辑链条不跳跃。 【典例1】如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 【变式1】如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不能判定，符合题意； B、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不符合题意； C、由，根据同位角相等两直线平行可以判定，不符合题意； D、由，根据同旁内角互补两直线平行可以判定，不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定的条件有______（填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：①，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得，故①正确； ②，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，故②错误； ③，根据“内错角相等，两直线平行”可得，故③正确； ④，根据“同位角相等，两直线平行”可得，故④正确； ⑤，不能判定，故⑤错误． 故答案为：①③④． 题型五 平行线的性质 答｜题｜模｜板 核心技巧：由线定角，精准匹配角的类型 1. 核心逻辑：已知线平行，推导角的数量关系。 2. 性质定理： ◦ 两直线平行，同位角相等； ◦ 两直线平行， 内错角相等； ◦ 两直线平行， 同旁内角互补。 3. 应用步骤：先找平行线与截线，再判断所求角属于同位角/内错角/同旁内角，对应代入性质计算。 【典例1】如图，平分，，，则_____．    【答案】 【详解】解：平分，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，，，下面推理不正确的是（   ） A．因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等） B．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） C．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） D．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） 【答案】B 【详解】解：A．因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等），原推理正确，不符合题意； B．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等），原推理错误，符合题意； C．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等），原推理正确，不符合题意； D．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等），原推理正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】推理填空： 如图，，，点E在线段上，点F在射线上，若，则平分，请说明理由． 解：理由如下： ∵， ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴ ，（ ） ∴．（等量代换） 又∵， ∴． ∵， ∴ ，（两直线平行，同位角相等） ∴ ．（等量代换） ∴平分． 【答案】；两直线平行，同位角相等；； 【详解】解：理由如下： ∵， ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴．（等量代换） 又∵， ∴． ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴．（等量代换） ∴平分． 题型六 根据平行线的性质探究角的关系 答｜题｜模｜板 核心技巧：转化+建模，拆解复杂角关系 1. 基础转化：利用平行线性质，将分散的角转移到同一顶点/截线，通过对顶角、邻补角等量代换梳理关系。 2. 拐点模型：遇“折线拐点”，过拐点作已知直线的平行线（核心技巧），将复杂角拆分为多个同位角/内错角，推导和差关系。 【典例1】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【变式1】如图，，思考解决下列问题：试探究______． 【答案】 【详解】解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 【变式2】探究问题：已知，画一个角，使，且交于点P．与有怎样的数量关系？ (1)我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中与数量关系为_________；图2中与数量关系为_________； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角_________． (2)应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)①；②见解析③相等或互补 (2)和或和 【详解】（1） 解：①如图1中，．如图2中，， ②如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ③结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． （2） 解：设两个角分别为和， 由题意或， 解得或， ∴这两个角的度数为和或和． 题型七 根据平行线的性质与判定求角度 答｜题｜模｜板 核心技巧：判定与性质交替使用，方程思想辅助 1. 解题流程： ◦ 第一步：读题标记，标注已知角、平行/垂直条件； ◦ 第二步：由角关系证平行（判定），或由平行推角关系（性质）； ◦ 第三步：结合对顶角、邻补角、角平分线计算。 2. 常用方法： ◦ 方程法：设未知角为x，利用互补/相等列方程（如比例关系角度）； ◦ 传递法：通过中间角（如对顶角）代换，串联已知角与所求角。 3. 综合场景：直角三角板、角平分线+平行组合，优先用性质转化角度，再计算。 【典例1】已知：如图，，，，求的大小． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，已知，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 又， ， 又平分， ， ， ． 题型八 根据平行线的性质与判定证明 答｜题｜模｜板 1. 核心思路：构建“角关系↔线平行”的双向推理链，避免逻辑断裂。 2. 证明步骤： ◦ 分析：明确已知条件、求证结论（判定：证平行；性质：证角关系）； ◦ 推理：找关键截线/三线八角模型，通过判定证平行，再用性质得新角关系； ◦ 书写：每步标注依据（判定/性质/定义），用“∵（已知/定理）∴（结论）”规范表达。 3. 辅助线策略：遇拐点/多线平行，作平行线构造三线八角；遇复杂图形，延长线段补全基本模型。 4. 易错规避：区分判定与性质的书写依据（判定写“角等→线平行”，性质写“线平行→角等”），避免因果倒置。 【典例1】推理填空： 如图，点，，分别在三角形的边，，上，连接，过点作交的延长线于点且满足．若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①__________（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（②__________）． ∴（③__________）． ∴（④__________）． ∵（已知）， ∴⑤__________（同旁内角互补，两直线平行）． ∴⑥__________（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 【答案】；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， 故答案为：；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同内角相等；；． 【变式1】如图所示，已知平分，平分，且．    (1)能判定吗？为什么？ (2)能判定吗？为什么？ 【答案】(1)能判定，理由见详解 (2)能判定，理由见详解 【详解】（1）解：能判定． 因为平分， 所以． 因为， 所以 ， 所以． （2）解：能判定， 因为平分， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以 ， 所以． 【变式2】如图，，，平分． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？为什么？ 解：（1），理由如下： ∵，（平角的定义），（已知） ∴ （ ） ∴（ ） （2）与的位置关系是： ． ∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴（ ） ∴ （ ） 【答案】（1）；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；（2）；；两直线平行，内错角相等；等量代换；；；同位角相等，两直线平行 【详解】解：（1），理由如下： ∵，（平角的定义），（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同角的补角相等） （2）与的位置关系是：． ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 所以A符合题意； ∵， ∴， 所以B不符合题意； ∵， ∴， 所以C不符合题意； ∵， ∴， 所以D不符合题意. 故选：A． 2．下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确； 所以正确的有①，共个． 故选：A． 3．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 【答案】/64度 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 4．如图，直线，交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)度 (2)度 【详解】（1）解：由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由条件可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 5．如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在下列四组条件中① ② ③  ④ ⑤能判断的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴， 故符合题意； ②∵， ∴， 故不符合题意； ③∵， ∴， 故符合题意； ④由，不能推出， 故不符合题意； ⑤∵， ∴， 故不符合题意； 综上，①，③符合题意， 故选：B． 2．如图，直线，相交于点O，，平分．若，则_______°． 【答案】46 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：46． 3．如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则_______；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则_______，_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，过点作． ，． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ， ． 同理可得， ，， …， 以此类推， 故答案为：；；． 4．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请说明：； ②拓展探究：试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为________（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图，过点作， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则__________； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $