精品解析：新疆乌鲁木齐市新疆医科大学子女学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷　

2021-2022学年乌鲁木齐市新疆医科大学子女学校九年级上学期 第一次月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(每小题5分，共45分) 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，方程可变形为（　　） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知点 均在抛物线上，若，则（　　） A. 当 时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5. 若一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7，则斜边长是（ ） A. 53 B. 7 C. D. 2 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 7. 已知x为实数，且，则的值为（　　） A. 1 B. 1或﹣3 C. ﹣3 D. ﹣1或3 8. 下列命题：①若，则1是方程的根；②若，则一元二次方程一定有两不相等的实数根；③若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；④一元二次方程的两根为，若，则；⑤若，则一元二次方程一定有两不相等的实数根．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 9. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；④b2﹣4ac＞0；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大；正确的说法有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题） 二、填空题(每小题5分，共30分) 10. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 11. 二次函数，当时，y的取值范围是___________． 12. 为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降至98元，则平均每次降价的百分率为 ___________． 13. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______． 14. 已知二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是__________． 15. 在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=（x﹣1）2+1（x≥0）的图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）．已知不重合的两点A、B分别在图象C1和C2上，点A、B的横坐标分别为a、b，且a+b=0．当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，则a的取值范围为_____． 三、解答题(共75分) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别是，，若，求k的最大整数值． 18. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十四步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？ 19. 将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 20. 如图，在直角坐标系xOy中，四边形OACB为矩形，C点的坐标为的（3，6），若点P从O点沿OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如果P，Q分别从O，A同时出发，问： （1）经过多长时间△PAQ的面积为2？ （2）△PAQ的面积能否达到3？请说明理由； （3）经过多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？ 21. 如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． （1）求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式； （2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 22. 新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6 销量q（只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为（，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只． （1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的日利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大； 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax2+bx﹣2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m （1）用含a的代数式表示b． （2）当点D的横坐标为8时，求出a的值． （3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年乌鲁木齐市新疆医科大学子女学校九年级上学期 第一次月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(每小题5分，共45分) 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A、当为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是分式方程，故此选项错误； C、整理后为是一元一次方程，故此选项错误； D、是关于x的一元二次方程，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2. 用配方法解方程时，方程可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 已知一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式且解题即可． 【详解】解：若一元二次方程有实数根， 则且， 解得且． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 4. 已知点 均在抛物线上，若，则（　　） A. 当 时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数开口向下，离对称轴越远函数值越小，开口向上，离对称轴越远函数值越大进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，，点A比点B到对称轴的距离更远， ∴， 当时，同样的点A比点B到对称轴的距离更远， ∴， ∴当时，并不能确定与的大小关系，故A、B不符合题意； 当时，此时开口向下，，点B比点A到对称轴的距离更远， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 5. 若一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7，则斜边长是（ ） A. 53 B. 7 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设较短的直角边长为xcm，较长的为cm，根据题意列出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设较短的直角边长为xcm，较长的为cm， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， ∴， 由勾股定理得：， 即斜边长为， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用及勾股定理解三角形，理解题意列出方程是解题关键． 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线解析式为：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，熟记平移规律是解题关键． 7. 已知x为实数，且，则的值为（　　） A. 1 B. 1或﹣3 C. ﹣3 D. ﹣1或3 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用换元法将原方程化为整式方程，即，求解后，再利用根的一元二次方程根的判别式进行验证即可． 【详解】设，则原方程可变为， 方程两边同乘，整理得， ， 解得， 当时，即， 此时，，存在； 当时，即， 此时，，不存在； ， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程及根的判别式，能够利用换元法将分式方程化为整式方程是解题的关键． 8. 下列命题：①若，则1是方程的根；②若，则一元二次方程一定有两不相等的实数根；③若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；④一元二次方程的两根为，若，则；⑤若，则一元二次方程一定有两不相等的实数根．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】将代入对①进行判断；利用反例对②④进行判断；将代入对③进行判断；，根据根的判别式对对⑤进行判断． 【详解】解：若将代入得，则1是方程的根，所以①正确； 当时，则，一元二次方程有两个相等的实数根，所以②错误； 若一元二次方程有一个根是，将代入得，左右同除以a得：，即代数式的值是，所以③正确； 当时，，一元二次方程的两根为，所以④错误； 当时，则,若a、c异号，此时方程一定有两个不相等的实数根，若同号，则，此时方程一定两不相等的实数根，所以⑤正确； 正确的有：①③⑤ 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 9. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；④b2﹣4ac＞0；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大；正确的说法有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口方向及与y轴的交点位置可判断①；令y=1可判断②；由图像与x轴的交点可判断③和④；由图像与x轴的两个交点可求得对称轴，结合图像的开口方向，则可判断⑤；则可求得答案． 【详解】抛物线开口方向、与y轴的交点在x轴的下方， ， ，故①正确； 由图像可知当时，， ，故②不正确； 由图像可知抛物线与x轴交于(−1,0)和(3,0)两点， 方程的根是,且，故③、④正确； 抛物线与x轴交于(−1,0)和(3,0)两点， 抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大，故⑤正确； 综上可知正确的结论有4个， 故选A. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题关键是利用数形结合得出各项符号． 第II卷（非选择题） 二、填空题(每小题5分，共30分) 10. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】分与两种情况讨论，当该方程为一元二次方程，其有两个实数根的条件是判别式，据此求解的取值范围． 【详解】解：当，方程为一元一次方程，只有一个实数根，不符合题意，则； 当，若有两个实数根，则，解得， 综上，的取值范围是且． 11. 二次函数，当时，y的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】对称轴在和2之间，然后确定和2哪个离对称轴较远，从而代入确定y的范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时有最小值是2， ∵， 当时有最大值是， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定最小值，难度不大． 12. 为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降至98元，则平均每次降价的百分率为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为，由经过两次降价后的价格原价（平均每次降价的百分率），即可列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，即可求出解析式． 【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系， 由题意得A（-4，0），顶点（-2，2）， 设抛物线的解析式为： 把A（-4，0）代入，得 4a＝﹣2，解得a， 所以抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意建立平面直角坐标系． 14. 已知二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，根据判别式得，，进而可得，根据二次函数的性质求解即可 【详解】二次函数一次函数图像中至多有一个公共点， 由二次函数一次函数图像中至多有一个公共点， 即 解得或 ， 则的最大值是5 故答案为：5 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的性质求自变量范围，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=（x﹣1）2+1（x≥0）的图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）．已知不重合的两点A、B分别在图象C1和C2上，点A、B的横坐标分别为a、b，且a+b=0．当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，则a的取值范围为_____． 【答案】1≤a≤+1 【解析】 【分析】先根据中心对称求出C2的解析式，要使当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，则1≤y≤3,据此求出x的范围，即可得到a的取值范围. 【详解】∵图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）， ∴C2的解析式为y=-（x+1）2+3（x≤0）. ∵函数的最大值和最小值均与a、b的值无关， ∴1≤y≤3. 当（x﹣1）2+1=3， x=+1; 当-（x﹣1）2+1=1， x=1; ∴1≤a≤+1时，该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关. 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的中心变换及数形结合的数学思想，根据中心对称的性质求出C2的解析式是解答本题的关键. 三、解答题(共75分) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解方程，即可解答． 【小问1详解】 解：两边分别加3，得， 配方，得， 开平方，得， ， 【小问2详解】 解：展开并整理，得， 因式分解，得， 或， ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法等方法是解题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别是，，若，求k的最大整数值． 【答案】（1）见解析 （2）的最大整数值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合一元二次方程根的判别式，计算即可得出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，再根据不等式，整理得出，然后把，代入整理后的不等式，得出，解出即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，， 则， ∵， ∴恒成立， 即， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意可知：，， ∵， 即， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解不等式，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根；对于一元二次方程有两个根，，则有，． 18. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十四步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？ 【答案】长是36步，宽是24步． 【解析】 【分析】设长为x步，则宽为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解得即可求出结论． 【详解】解：设长为x步，则宽为步， 依题意，得：， 解得：（舍）， 则长是36步，宽是步 答：长是36步，宽是24步． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4cm和16cm；（2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，根据这两个正方形的面积之和等于17cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm，根据这两个正方形的面积之和等于10cm2，即可得出关于y的一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝﹣80＜0，进而可得出此方程无解，即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2． 【详解】解：（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm， 依题意，得（）2+（）2＝17， 整理，得x2﹣20x+64＝0， 解得x1＝16，x2＝4． 当x＝16时，20﹣x＝4；当x＝4时，20﹣x＝16． 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm和16cm． （2）不能，理由如下： 设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm， 依题意，得（）2+（）2＝10， 整理，得y2﹣20y+120＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×120＝﹣80＜0， ∴此方程无解， 即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意建立一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，在直角坐标系xOy中，四边形OACB为矩形，C点的坐标为的（3，6），若点P从O点沿OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如果P，Q分别从O，A同时出发，问： （1）经过多长时间△PAQ的面积为2？ （2）△PAQ的面积能否达到3？请说明理由； （3）经过多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？ 【答案】（1）1s或2s． （2）不能，理由见详解． （3）2s． 【解析】 【分析】（1）根据面积计算公式表示出长和宽后列式计算即可． （2）同（1）求出面积后算判别式判断是否有解即可． （3）设出时间后，求出两点的坐标，利用勾股定理表示出线段PQ的长度后解方程即可． 【小问1详解】 解：设经过x s，△的面积为2．由题意得 解得，故经过1 s或2 s，△的面积为2． 【小问2详解】 解：设经过x s，△的面积为3。由题意，得 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， ∴△的面积不能达到3． 【小问3详解】 解：设经过y s，P，Q两点之间的距离为， 由题意，得 ，解得（不合题意，舍）， 故经过2 s，P，Q两点间的距离为． 【点睛】本题主要考查二次方程的实际应用，能够根据题意列出方程是解题关键． 21. 如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目．一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． （1）求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式； （2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 【答案】（1） （2）这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式表达式，代入坐标求解． （2）当时，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 由抛物线顶点是，设抛物线解析式为：， 把点代入得，∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 解得，（舍去），， 即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀． 【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是结合图像利用抛物线顶点式求表达式． 22. 新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6 销量q（只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为（，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为元/只． （1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的日利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大； 【答案】（1）， （2）且x为整数；第5天利润最大 【解析】 【分析】（1）前五天，口罩价格每天涨1块，日销售量每天增加5个，据此作答即可； （2）利用每天的销售量乘以每只口罩的利润即可得到口罩销售的日利润，再结合二次函数的性质即可作答． 【小问1详解】 通过表格发现：前五天，口罩价格每天相比前一天涨1块，日销售量相比前一天每天增加5个， ∵第一天的销售价格为2元每只，销售量为70只， ∴，， 即：所求的函数关系式为：，； 【小问2详解】 根据（1）中的结果可知： 当时，， 即：， 此时二次函数的对称轴为：， ∴当时，随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 即：， ∴当时，， ∵， ∴第5天利润最大， 综上： 日利润W（元）与x的函数关系式为：且x为整数； 第5天利润最大，最大为495元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，找准等量关系，列出函数关系式，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax2+bx﹣2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m （1）用含a的代数式表示b． （2）当点D的横坐标为8时，求出a的值． （3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值． 【答案】(1) b=1﹣2a；（2）a=﹣；（3）m=5时，△ABF的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】（1）把A（2，0）代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0，即可得b=1﹣2a；（2）先求得点D的坐标为（8，﹣6），代入y=ax2+bx﹣2中，结合（1）即可求得a的值；（3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB用H．设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m+m﹣2），构建△ABF的面积为S与m的二次函数关系，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）由题意A（2，0），B（0，2）， 把A（2，0）代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0， ∴b=1﹣2a． （2）∵D的横坐标为8， x=8时，y=﹣8+2=﹣6， ∴D（8，﹣6）， 把D（8，﹣6）代入y=ax2+bx﹣2得到：64a+8b﹣2=﹣6， ∴64a+8（1﹣2a）﹣2=﹣6， ∴a=． （3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB用H．设E（m，﹣m+2），则F（m，m+m﹣2）． ∵OA=OB=2，∠AOB=90°， ∴∠ABO=45°，AB=2， ∵EF∥OB， ∴∠FEH=∠OBA=45°， ∴FH=EF， ∴S△ABF=×AB×FH=×2×（m2+m﹣4）=（m-5）2+， ∵＜0， ∴m=5时，△ABF的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质以及最值的求解方法．解答（2）题时要构建二次函数模型，利用二次函数的最值解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $