精品解析：江苏泰州市姜堰区城西实验学校2025-2026学年下学期九年级数学学情自测试卷

九年级数学试卷 一、选择题(共6小题，每题3分) 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 记者2025年1月29日从中央广播电视总台获悉，《2025年春节联欢晚会》境内新媒体端的实时直播收视次数和互动量均创新纪录．据初步统计，新媒体端直点播收视次数28.17亿次．将2817000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的 的值不可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共10小题，每题3分) 7. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 8. 分解因式：3a2﹣12=___． 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_______． 10. 若，则__________． 11. 如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 12. 已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻 应控制的范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰 的直角边 和斜边 交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接 ， ，若 ，则 的面积为_______． 15. 甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到 地，乙匀速行驶到 地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达 地时，乙距离A地还有___________． 16. 如图，在矩形 中，，，点E在边 上，将 绕点E逆时针旋转 ，得到线段，连接，则的最小值为_____. 三、解答题(共10小题，共102分) 17. 计算、解方程 （1） （2） 18. 先化简，再求值: 其中 19. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请计算本次调查活动随机抽取的人数及b的值； （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 20. 不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______； （2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 21. 如图，， ，P为AB上一点，，连接CD． （1）若，求BD的长； （2）若CP平分，求证：． 22. 为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知 型观光车的单价是 型观光车单价的1.5倍，用45万元购进 型观光车的数量比用40万元购进 型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 23. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离 的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽 ，延长 交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 24. 如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点 ． （1）用无刻度的直尺和圆规在边上作点 ，使 ；(保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，若，求 的半径． 25. 在矩形 的 边上取一点E，将 沿 翻折，使点 C恰好落在 边上点 F处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求 的长； （3）如图3，延长 ，与的角平分线交于点M， 交 于点 ，当时，求 的值． 26. 已知抛物线经过第二象限的点A，过点A作轴交抛物线于点B，第一象限的点C为直线 上方抛物线上的一个动点．过点C作于E，连接． （1）如图1，若点，． ①求a的值； ②求证：． （2）如图2，点D在线段 下方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点D作 的垂线，分别交 于点F、G，连接．若，求 的值（用含有a的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，连接，试判断的值是否随点D的变化而变化？如果不变，求出的值，如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题(共6小题，每题3分) 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式的运算，包括合并同类项、整式乘法、单项式乘法和幂的运算，根据相关运算法则需逐一验证即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意． B、，故B错误，不符合题意． C、，计算正确，符合题意． D、，结果为而非 ，故D错误，不符合题意． 故选：C． 2. 记者2025年1月29日从中央广播电视总台获悉，《2025年春节联欢晚会》境内新媒体端的实时直播收视次数和互动量均创新纪录．据初步统计，新媒体端直点播收视次数28.17亿次．将2817000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2817000000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 若关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其判别式为： ， 当方程有两个相等的实数根时，，即：， 解得， 实数 的值为． 故选：． 4. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设马每匹x两，马四匹、牛六头，共价四十八两，牛每头y两，马二匹、牛五头，共价三十八两，据此列方程组即可． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得 故选：B 5. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．若取 ，，则，， 此时，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴， ∴，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的 的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ．   故选：C ． 二、填空题(共10小题，每题3分) 7. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 8. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据a，b是方程的两个实数根，得到，代入求值即可． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握关系定理是解题的关键． 10. 若，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．由题意知，，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：7． 11. 如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点 ， 的坐标分别为，，若将线段 平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段 平移至时的平移方式为向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为： ． 12. 已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当 和 对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是 ； 当 时，， 当 时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻 应控制的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入 随 的增大而减小 当时， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻 应控制的范围是 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰 的直角边 和斜边 交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接 ， ，若 ，则 的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，作轴于 ，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数 的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 ，作轴于 ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ∴点 为 的中点， ∴， ∵点 、 是反比例函数上的点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数 的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键． 15. 甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到 地，乙匀速行驶到 地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达 地时，乙距离A地还有___________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为， 乙的速度为， 甲到达 地用时， 则乙行驶了， 乙距离A地还有． 故答案为：80． 16. 如图，在矩形 中，，，点E在边 上，将 绕点E逆时针旋转 ，得到线段，连接，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值与勾股定理. 通过作辅助线构造全等三角形，得到对应边相等，设未知数后利用勾股定理得到关于未知数的二次函数表达式，求二次函数的最小值即可得到的最小值. 【详解】解：过点 作，交 的延长线于点 ， 四边形 是矩形， ，，， 由旋转的性质得，，， ， ， ， 在和 中， ， ， ，， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 当时，取得最小值， 的最小值为， 故答案为. 三、解答题(共10小题，共102分) 17. 计算、解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）利用绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质计算后，再计算加减法即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： ∴ 则 ∴， ∴， ∴, 18. 先化简，再求值: 其中 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请计算本次调查活动随机抽取的人数及b的值； （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）本次调查活动随机抽取的人数为 人，； （2）“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； （3）估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用喜欢纯电的人数除以所占的百分比，进而可以求出 的值； （2）用乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取的人数为： （人）， ， ∴； 【小问2详解】 解：本次调查活动喜欢混动类的人数为： （人） ∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为： ； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人． 20. 不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______； （2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：摸到红球的概率为：； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况， ∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：． 答：两人摸到相同颜色球的概率为． 21. 如图，， ，P为AB上一点，，连接CD． （1）若，求BD的长； （2）若CP平分，求证：． 【答案】（1）BD的长为； （2） 证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD=∠ACP， ∵∠ACP=∠DPB， ∴∠PCD=∠DPB， ∵∠CPD=∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2=CD•BD． 【解析】 【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得∠PCD=∠ACP，从而可得∠PCD=∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答． 【小问1详解】 解：∵AB=9，AC=3， ∴BP=AB-AP=9-3=6， ∵∠A=∠CPD，∠ACP+∠APC=180°-∠A，∠APC+∠BPD=180°-∠CPD， ∴∠ACP=∠BPD， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴，即， ∴BD=， ∴BD的长为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键． 22. 为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知 型观光车的单价是 型观光车单价的1.5倍，用45万元购进 型观光车的数量比用40万元购进 型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 【答案】（1）A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元 （2）最多可以购买30辆A型观光车 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设 型汽车的进价为每辆 万元，则 型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆 型汽车 辆，则购买辆 型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 【小问1详解】 设 型观光车的单价为 万元，则 型观光车的单价为万元． 根据题意得 解得 经检验，是所列方程的根． （万元） 答：A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元． 【小问2详解】 设购买 型观光车 辆，则购买 型观光车辆． 根据题意得． 解得． 最多可以购买30辆A型观光车． 23. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离 的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽 ，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离 的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点 作于点 ，直接利用的余弦即可求出，从而得到 的长度； （2）过点 作于点 ，于点 ，过点 作于点 ，先在中求出 ，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离 的长度为； 【小问2详解】 过点 作于点 ，于点 ，过点 作于点 ， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 24. 如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点 ． （1）用无刻度的直尺和圆规在边上作点 ，使 ；(保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，若，求 的半径． 【答案】（1） 如图，点 即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）过点 作即可，根据切线的性质结合四边形的内角和可得，再由平角的定义可得，等量代换即可得证； （2）通过切线长定理得到，进而证明， 然后解直角三角形求出半径即可． 【小问1详解】 解：过点 作 的垂线，交于点 ，则，  是 的切线， ， ， ， ， ，即， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 是 的切线， 是 的切线， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 即 的半径为． 25. 在矩形 的 边上取一点E，将 沿 翻折，使点 C恰好落在 边上点 F处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求 的长； （3）如图3，延长 ，与的角平分线交于点M，交 于点 ，当时，求 的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得 ，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点 作于点 ，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点 作于点 ． ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，即， ∴， 又∵平分，， ∴ ∴， ∴ 整理得：． 26. 已知抛物线经过第二象限的点A，过点A作轴交抛物线于点B，第一象限的点C为直线 上方抛物线上的一个动点．过点C作于E，连接． （1）如图1，若点，． ①求a的值； ②求证：． （2）如图2，点D在线段 下方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点D作 的垂线，分别交 于点F、G，连接．若，求 的值（用含有a的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，连接，试判断的值是否随点D的变化而变化？如果不变，求出的值，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）① ；②见解析 （2）； （3）的值，等于1． 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法即可求解； ②先求得点，，计算得到，，再计算得到，即可证明； （2）设，，表示出点D、F的坐标，求得，证明，推出，代入计算即可求解； （3）设，，，表示出点D、C的坐标，求得，，推出，延长 交 于点G，由，通过计算即可求解． 【小问1详解】 ①解：∵点在抛物线上， ∴，解得 ； ②∵轴，点， ∴当时，， ∴ 或 ， ∴点， 又∵，． ∴点C的纵坐标为2， 当时，， ∴或(舍去)， ∴， ∴，， ∴，， ∴，且， ∴； 【小问2详解】 解：设，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的值，等于1， 设，，， ∴，， ∴， 同理得， ∴， 延长 交 于点G， 由于， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了解直角三角形，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，合理的设出点的坐标并准确的计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $