精品解析：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

姜堰区城西教育集团2024−2025春学期数学第二次阶段测试 一、选择题 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 4. 关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都该图像上 D. 当时， 5. 若关于分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题 7. 若有意义，则的取值范围是______． 8. 若分式的值为，那么的值是______． 9. 若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 10. 已知是反比例函数的图象上的两个点，则_______（填“”、“”或“”） 11. 已知满足，则的值为________． 12. 若函数y=与y＝x+2图象的一个交点坐标为（a，b），则 的值是_____． 13. 若分式方程有增根，则的值为______． 14. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用时间相等，甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？设甲机器人每小时检测x个，根据题意可列方程__________． 15. 如图，和均正三角形，且顶点、均在双曲线上，连接交于，连接，则图中________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为______． 三、解答题 17 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20. 已知函数，其中与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求y关于x的函数解析式． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 22. 张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 （1）新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 23. 已知，如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 24. 随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量与成反比例（如图），已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为． （1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式， （2）从熏药开始经过时，求此时室内空气的含药量是多少？ （3）当室内空气的含药量不低于．且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 25. 阅读下列材料，回答问题： 对任意的实数a、b而言，，即． 易知当时，，即：，所以． 若，则，所以． （1）对于任意正实数a、b，，____（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”） （2）若，则当____时，代数式有最小值为____． （3）①如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点、，点为反比例函数上的任意一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段长度的最小值，并求出此时点的坐标． ②已知，则自变量____时，函数取到最大值，最大值是____． 26. 在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． （1）延长与轴交于点． 如图，如果，，且平分，求的面积； 如图，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）如图，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 姜堰区城西教育集团2024−2025春学期数学第二次阶段测试 一、选择题 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义和特征，逐项进行判断即可． 【详解】A：，原式不是最简二次根式，不符合题意； B：是最简二次根式，符合题意； C：，原式不是最简二次根式，不符合题意； D：，原式不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式”是解题的关键．根据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意． 【详解】解：A、可变形为是的反比例函数，符合题意； B、是的正比例函数，不符合题意； C、不是的反比例函数，不符合题意； D、，y不是的反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本概念，熟练掌握分式的基本概念是解决本题的关键． 将分式中x和y都扩大为原来的2倍后化简比较即可求解． 【详解】解：∵把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， ∴分式变为， ∴分式的值不变． 故选：C ． 4. 关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点和都在该图像上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解含有字母的分式方程，解题的关键是注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况．先将m视为常数，求解出分式方程的解(包含m)，然后根据解的条件判断m的取值范围． 【详解】解∶去分母，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选∶C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设点C的坐标为，可得，再由，可得，从而得到，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象上点的特征，熟练掌握反比例函数的图象上点的特征是解题的关键． 二、填空题 7. 若有意义，则取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 若分式的值为，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知是反比例函数的图象上的两个点，则_______（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出，的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点是反比例函数的图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 已知满足，则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，以及简单的代数化简与求值，解题的关键在于被开方数的非负性来确定变量a的取值范围．根据被开方数非负求得，进而代入原式求得，最后计算得到． 【详解】 解：满足， ，解得， ， ． 故答案为：12． 12. 若函数y=与y＝x+2图象的一个交点坐标为（a，b），则 的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，可得b=，b=a+2，进而得出ab=3，b-a=2，即可求解． 【详解】∵函数y＝与y＝x+2图象的一个交点坐标为（a，b）， ∴b＝，b＝a+2， ∴ab＝3，b﹣a＝2， ∴＝=． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数解析式得到ab=3，b-a=2是解决本题的关键． 13. 若分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解，解题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 【详解】解：， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等，甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？设甲机器人每小时检测x个，根据题意可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．由甲机器人每小时检测x个及甲比乙每小时多检测10个，可得出乙机器人每小时检测零件个，再利用工作时间=工作总量÷工作效率结合甲检测300个与乙检测200个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：∵甲机器人每小时检测x个，甲比乙每小时多检测10个， ∴乙机器人每小时检测零件个． 依题意，得：． 故答案为：． 15. 如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，连接交于，连接，则图中________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：6． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长是3， ∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3， ∴，， ，， ∵面积为4， ，解得：或（舍去）， ∴，， 作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值， ∴， ∴，， ，即的最小值为． 故答案为． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）原分式方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，等式的性质，解题的关键是正确运用等式的性质，准确进行计算． （1）运用去分母法解方程即可，解出后注意要检验； （2）找到公分母，消去分母，运用去分母法求解即可，解后注意检验即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 解得，， 检验：将代入最简单公分线， 此方程无解． 【小问2详解】 去分母，得， 解得，， 检验：把代入最简公分线， 原方程的解为 19. 先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后再选择合适的x的值代入求解即可． 【详解】解：原式， ； ，，且x为整数， ∴x可取，0，1， 当时，原式． 20. 已知函数，其中与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求y关于x的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析式的形式．根据题意可设，；，则，将当时，；当时，分别代入联立解得的值，即可求得函数解析式． 【详解】解：由题意设，；， ， ∵当时，；当时，， ∴ 解得， ， 则y关于x的函数解析式为． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数可求得，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图像上方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 【小问1详解】 将代入得，，所以； 将代入得，， ∴； 将代入得，， 解得， ∴. 所以一次函数和反比例函数的关系式分别为：，； 【小问2详解】 设与轴交于，则， 则； 【小问3详解】 由图可知，时，或. 22. 张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 （1）新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】（1） （2）燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式等知识点，明确题意、列出相应的分式方程是解题的关键． （1）根据表中的信息，列出新能源车的每千米行驶费用的代数式即可； （2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用为：元． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元， ∴，解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴元，元． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 23. 已知，如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查矩形性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明四边形是平行四边形且是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质推导出，则四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，而，可证明由，，，求得，所以，则，所以． 【小问1详解】 证明：∵，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 24. 随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量与成反比例（如图），已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为． （1）求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式， （2）从熏药开始经过时，求此时室内空气的含药量是多少？ （3）当室内空气的含药量不低于．且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 【答案】（1） （2）此时空气中的含药量是 （3）本次灭蚊有效，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是正确分析图象． （1）设药物燃尽后的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）将代入得到，然后 由图可得，时，，进而求解即可． 【小问1详解】 设药物燃尽后的函数表达式为， 由题意得，当时，， ∴， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 答：此时空气中的含药量是； 【小问3详解】 此次灭蚊是有效，理由如下 当时，，得， 由图可得，时，， ∴， ∴本次灭蚊有效． 25. 阅读下列材料，回答问题： 对任意的实数a、b而言，，即． 易知当时，，即：，所以． 若，则，所以． （1）对于任意正实数a、b，，____（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”） （2）若，则当____时，代数式有最小值为____． （3）①如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点、，点为反比例函数上的任意一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段长度的最小值，并求出此时点的坐标． ②已知，则自变量____时，函数取到最大值，最大值是____． 【答案】（1）≥ （2）， （3）①最小值为8，②； 【解析】 【分析】（1）此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、二次根式的性质、完全平方公式等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据（1）中结论即可得到答案； （3）设，得到，则，得到，即，则，进一步即可求出答案；②把函数变形为，根据得到，进一步即可得到答案． 小问1详解】 解：对于任意正实数a、b，， 即， ； 故答案为： 【小问2详解】 由（1）可得， 即， 则当时，代数式有最小值为， 故答案为：， 【小问3详解】 ①设， ∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴， 则， ∵， ∴， ∴ 即 ∴， 当且仅当时等号成立， 解方程得到，或（不合题意，舍去） ∴当时，， ∴此时， ②由题意可得，， 根据得到， 解得到或（不合题意，舍去） ∴当时，取得最小值为，此时取得最大值，最大值为， 故答案为；； 26. 在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． （1）延长与轴交于点． 如图，如果，，且平分，求的面积； 如图，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）如图，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】（1）；； （2）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，平行线的性质，角平分线的定义和性质，三角形全等的判定及性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由在反比例函数图象上，则，过点B作轴交于，可证明，则的面积的面积； 过点作轴交于，过点作轴交于，设，则 ，，又由点是线段的中点，得到，则； （）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式为，则，，即可得到，过点作交于，由，，可求． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数图象上， ∴， 过点作轴交于， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴的面积的面积； 过点作轴交于，过点作轴交于， 设， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：存在点，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 过点作交于， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $