湖北荆州开发区文华初级中学2025年10月数学第二阶段练习九年级学情自测

2025年10月荆州开发区文华初级中学第二次双周练九年级数学卷 范围：圆 考试时间：120分钟 一、单选题(共30分) 1．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是 （     ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 2．若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 （　　 ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B= （　 　） A．15° B．40° C．75° D．35° 4．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 （　　 ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 5．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　） A．10 B．18 C．20 D．22 6．的半径为，弦．若，则和的距离为 （     ） A． B． C．或 D．或 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　 　） A．30﹣4π B． C．60﹣16π D． 8．如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为 （      ） A． B． C． D． 9．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 （     ） A．3 B． C． D．4 10．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是 （    ） A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3 二、填空题(共24分) 11．如图，在⊙O内接四边形中，若，则________． 12．半径为6的圆内接正三角形的边心距为__________． 13．如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_ ____． 14．设P为外一点，若点P到的最短距离为2，最长距离为6，则的半径为__ ____． 15．一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________． 16．如图，是的直径，点、在上，，则__ ____度． 17．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到，使点O′落在⊙O上，边交线段AO于点C．若=25°，则∠OCB=_______度． 18．如图，在半径为4的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_____ __． 三、解答题(共66分) 19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证： (1) AB=CD (2) AE=DE (3)AC＝BD； 20．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，求⊙O的半径长． 21．如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积． 22．如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 23．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求AE的长． 24．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA大于半径则在圆外． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，， 即A与点O的距离大于圆的半径， 所以点A与⊙O外． 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 2．C 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，由此进行判断即可． 【详解】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离． 故选C． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离. 3．D 【分析】由∠APD=75°，可知∠BPD的度数，由圆周角定理可知∠A=∠D，故能求出∠B． 【详解】解：∵∠APD=75°， ∴∠BPD=105°， 由圆周角定理可知∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等）， 在三角形BDP中， ∠B=180°-∠BPD-∠D=35°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．A 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm， 由弧长公式l， ∴2.5π， 解得：r＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查了由弧长求半径，熟练掌握和灵活运用弧长公式为解题的关键，弧长公式l． 5．C 【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可． 【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB， ∴△PCD的周长是PC+CD+PD ＝PC+AC+DB+PD ＝PA+PB ＝10+10 ＝20． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB． 6．C 【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可． 【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1， 过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∵AB=12cm，CD=16cm， ∴AE=6cm，CF=8cm， ∵OA=OC=10cm， ∴在Rt△AOE中，由勾股定理可得；cm， 在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm， ∴EF=OF+OE=8+6=14cm． 当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2， 过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵AB=12cm，CD=16cm， ∴AE=6cm，CF=8cm， ∵OA=OC=5cm， 在Rt△AOE中，由勾股定理可得：cm， 在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm， ∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm； 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况． 7．A 【分析】先由切线长定理和勾股定理算出三角形另外两边的长，再根据图中阴影部分的面积=△ABC的面积-⊙O的面积，然后利用三角形的面积公式和圆的面积公式计算即可． 【详解】解：过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图， ， ∴四边形CEOF是矩形， ， ∴四边形CEOF是正方形， ， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ， 设， 在中，， ， 解得， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线长定理、勾股定理、三角形与圆的面积公式． 8．D 【分析】连接，根据题意得到、，由切线长定理求得，最后根据勾股定理在、中求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点， ，， ∴， 在中，，AB＝3，BD＝4， 由勾股定理得， ， 设半径，则， 在中，，CD＝2，，， 由勾股定理知， 得，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查在圆背景下利用勾股定理求线段长，掌握切线的性质、切线长定理以及在直角三角形中根据勾股定理列方程求解问题是解题关键． 9．B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 10．A 【分析】根据正三角形，正方形，正六边形的周长为，即可求出各图形的边长，再结合正多边形的性质和解直角三角形，即可求解各图的面积 【详解】如图（1），正三角形的周长为 AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°， ∴  OD＝． ∴  ．    如图（2），正方形的周长为 AB＝AC＝3，∴  S4＝3×3＝9． 如图（3），正六边形的周长为 CD＝2， ∴OC＝2，CM＝1， ∴OM＝． ∴  ． 又∵  ， ∴  ， 故选：A 【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图像，再根据正三角形，正方形，正六边形的周长求出各图形的边长，再分别求出其面积进行比较． 11．80 【分析】根据圆内接四边形的性质计算出即可． 【详解】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质． 12．3 【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°的直角三角形的性质得出OD即可． 【详解】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D， 则∠ODC=90°， ∵∠BOC= ，OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∴, 即边心距为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形来解答． 13． 【分析】根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接OC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB，即∠OCA=90°， 在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2， ∴AC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 14．2 【分析】如图，由题意知，，根据求的值，根据的半径为求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知， ∴ ∴的半径为 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 15．8 【分析】根据扇形的面积公式S扇形=lR即可得出答案． 【详解】解：∵S扇形=lR， ∴R==8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 16．120 【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则． 【详解】解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角， ∴， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键． 17．85 【分析】如图，连接，根据切线的性质得到∠OBA=90°，再根据旋转的性质可判断为等边三角形，从而得到=60°，所以=60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB． 【详解】解：如图，连接， ∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA=90°， ∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴∠A==25°，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 【点睛】本题考查了切线的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，以及三角形的外角定理．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18． 【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC． 【详解】解：如图，连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF=CF， ∴∠DFE=90°， ∵OA=OB，AF=CF， ∴OF=BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 在△EFD和△ECB中， ，   ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF=BC， ∴OF=DF， ∵OD=3， ∴OF=1，AB=2OD=6， ∴BC=2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似． （1） ∵＝ ∴＝ ∴ ∴BD=AC （2） ∵∠B=∠C ∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DCE 【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键． 20．⊙O的半径长为 【分析】根据垂径定理可知，CD被AB平分，求出CE的长度，连接OC，用勾股定理即可求出半径． 【详解】连接OC ∵直径AB⊥CD ∴CE＝DE，∠OEC＝90° ∵CD＝10 ∴CE＝DE＝5 设半径为x，则OC＝x，OE＝x－2 在Rt△OEC中，， ∴， ∴x＝ ∴⊙O的半径长为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容，构建直角三角形是解题的关键． 21．（1）圆锥的底面半径为；（2）圆锥的全面积 【分析】（1）扇形的弧长公式l=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径； （2）S圆锥= S侧+S底，S侧面=，S底=，（R=扇形半径即圆锥母线长，r=底面圆半径）将已知条件代入即可. 【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为． 扇形的弧长为， ∴， 解得， ∴圆锥的底面半径为． （2）圆锥的侧面积：S侧面==． 园锥的底面积：S底=． ∴圆锥的全面积S全=S侧+S底=． 【点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分. 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论； （2）过点O作于F，利用即可得出答案． （1） 证明：连接OC，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴直线是的切线； （2） 过点O作于F，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键． 23．(1)见解析 (2) 【分析】(1) 连接OD，根据圆周角定理可证得，，再根据平行线的性质，即可证得，即可证得结论； (2) 过点O作，根据垂径定理可得，可证得四边形OFED是矩形，，据此即可求得． 【详解】（1）证明：如图：连接OD， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又是⊙O的半径 DE是⊙O的切线； （2）解：如图：过点O作于点F， ， ， ， 四边形OFED是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM； （3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2． （1） 证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴ODAC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2） 证明：线段是的直径， ， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝， ∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． （3） 解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $