专题08正方形(12大题型+题型突破+压轴专练+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题08正方形 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记正方形定义（邻边相等+有一个直角的平行四边形） 2.掌握边、角、对角线、对称性四大核心性质 3.熟记3种核心判定方法（矩形+邻边相等、菱形+直角、对角线特殊关系） 4.分清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系 1.活用性质 + 勾股定理，快速解边长、对角线、面积计算 2.精准选判定方法证正方形，规范书写几何推理步骤 3.破解折叠 / 全等结合的中档题，规避判定漏前提、性质混淆易错点 1.基础题（选择、填空）不丢分，熟练拿满基础分值 2.中档综合题（性质+判定结合）快速破题，提高解题效率 3.规避判定易错点、性质混淆点，减少失分 题型01.正方形的判定与证明(常) 题型02.添条件使四边形是正方形 题型03.正方形的性质(常) 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 题型05.由正方形性质与判定求角度 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 题型07.利用正方形性质与判定求面积 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 题型09.正方形动点问题(重+难) 题型10.正方形最值问题(难) 题型11.正方形多结论判断(难) 题型12.正方形存在性问题(难) 解答题6题 知识点01:正方形的性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点02:正方形的判定 知识点03.特殊平行四边形之间的关系 题型01.正方形的判定与证明(常) 【典例】下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的判定定理．解题的关键熟练掌握判定定理． 【跟踪专练1】如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）． 【答案】 【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形． 【详解】添加条件：，理由如下： 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 四边形是正方形 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数的图象上的一个动点，过点B作垂直于y轴的直线交函数的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且，连接，．有如下四个结论：    ①四边形是平行四边形； ②四边形不可能是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形． 所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【分析】本题一次函数与四边形的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定． ①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，可作判断； ②根据列方程，方程有解在之间，由此可作判断； ③当与的横坐标相等时，四边形是矩形，此种情况存在，可作判断； ④在矩形的基础上，计算与不相等，可作判断． 【详解】解：①如图1，轴，    ∴， 又， 四边形是平行四边形，故说法①正确； ②设，则， ， 当时，四边形是菱形， ， ， 解得：（不符合题意），， 存在的情况， 即四边形可能是菱形，故说法②错误； ③如图2，点是函数的图象上的一个动点，   存在点的横坐标为3，此时四边形是矩形，故说法③错误； ④当时，， 此时，如图2所示， 四边形不为正方形，故说法④正确； 本题正确的结论有：①④． 故答案为：①④． 【跟踪专练3】在平行四边形中，，对角线，交于点O，E是边上一个动点，连接并延长，交于点 F，连接，，则下列结论中错误的是（   ） A．四边形 一定是平行四边形 B．一定存在一点 E，使得四边形是菱形 C．不论取何值，一定存在一点E，使得四边形是矩形 D．当，且时，一定存在一点E，使得四边形是正方形 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质逐一验证各选项，即可得到错误结论． 【详解】解：∵平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形一定是平行四边形，故A正确，不符合题意； 要使平行四边形为菱形，只需，过O作的垂线，与必有交点E，故一定存在这样的点E，故B正确，不符合题意； 要使平行四边形为矩形，只需，以为直径作圆，圆与边不一定有异于A的交点E，故不一定存在这样的点E，故C错误，符合题意； 若四边形为正方形，需同时满足且，当，时，一定能满足的条件，因此一定存在这样的点E，故D正确，不符合题意． 题型02.添条件使四边形是正方形 【典例】如图，已知四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判断，正方形的判断，等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，据此可判断A；根据对角线相等的四边形或一组邻边相等的四边形是矩形，对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形可判断B、C、D． 【详解】解：A、由可得，则四边形不是正方形，故此选项符合题意； B、由可证明四边形是矩形，再由可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； C、由可证明四边形是矩形，再由可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； D、由可证明四边形是矩形，再由可证明四边形是正方形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正方形的判定，解题的关键是掌握：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：． 理由：∵四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（    ） A．添加“”，则四边形是菱形 B．添加“”，则四边形是矩形 C．添加“”，则四边形是菱形 D．添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 题型03.正方形的性质(常) 【典例】如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【答案】A 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ∴， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【跟踪专练1】将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点对应刻度尺上的“2”，数轴上的点对应刻度尺上的“3”，以点为圆心，以为边的正方形的对角线为半径作弧交数轴于点．点在刻度尺上对应的数为_____． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，正方形的性质，实数与数轴．根据正方形的性质和勾股定理求出，即可求出点在刻度尺上对应的数． 【详解】解：如图，四边形是正方形， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴点在刻度尺上对应的数为， 故答案为： 由题意可得， 【跟踪专练2】如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查勾股定理，利用勾股定理依次求得即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积为5． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质易证，得到，再结合角平分线的定义，求出，进而得出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练4】用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】正方形需要同时满足“是菱形（四边相等、对角线垂直）”和“是矩形（四个角为直角、对角线相等）”，所以我们需要通过对折来分别验证这两类性质． 【详解】解：A、对折次，只能验证一组对边相等或一条对角线对称，无法同时验证菱形和矩形的核心性质，不符合题意； B、第一次沿一组对边中点的连线对折，若两部分完全重合，则证明该四边形是矩形；第二次再沿一条对角线对折，若两部分完全重合，则证明这个矩形的邻边相等，因此是正方形。故最少需要次，符合题意； C、对折次虽然也能证明，但不是最少次数，不符合题意； D、对折次次数过多，不是最少次数，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定、轴对称的性质。解题关键是理解对折操作所对应的几何性质，明确正方形需要同时满足菱形和矩形的判定条件． 【跟踪专练5】四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是_________． 【答案】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含角的直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，利用含角的直角三角形的三边关系，在直角三角形中得到，从而，菱形的面积，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示， 则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积， ∴菱形与正方形的面积之比． 故答案为：． 【跟踪专练6】如图，四边形为正方形，点在对角线上，，，．小红以的速度沿路线行走到处，小明以小红速度的1.25倍沿行走到处．若小红行走的路程为，则小明行走的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由可证，可得，由矩形的性质，即可求解. 【详解】解：如图，连接． 四边形为正方形， ，，． 在和中， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ，， ， ． 小红行走的路程为， ， 小明行走的路程为， 小明行走的时间为． 故选： 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质是本题的关键． 【跟踪专练7】如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A．α B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由角的数量关系可求解．． 【详解】解：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 【典例】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是______． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接，由已知，且， ， ， ， ，是的中点， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． . 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 题型05.由正方形性质与判定求角度 【典例】《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度． 【答案】21 【分析】由题意易得四边形ABCD是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD=DP，，则有CD=DP，然后可得，最后根据等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，且都为等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴， ∵点与点关于直线对称，， ∴，AD=DP， ∴CD=DP，， ∴， ∴， 故答案为21． 【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 【典例】如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角边长度即可． 【详解】如图所示，连接、 ∵四边形是四边形逆时针旋转 ∴， ∴是等边三角形 ∴ 在中， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转、等边三角形的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 【跟踪专练2】已知，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D、E、F是垂足，若，则的长度是（    ） A．4 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】连接，由角平分线的性质定理得到，可证明四边形是正方形，则，证明，则，同理，设，在中运用勾股定理建立方程求解，则即可求出，那么问题得以求解． 【详解】解：连接， ∵点O为的三条角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， 设， 则， ∴在中，由勾股定理得 解得或（舍）， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型07.利用正方形性质与判定求面积 【典例】如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空白部分的面积等于原正方形面积减4个全等三角形的面积，以及空白部分本身是一个边长为c的正方形，利用等面积法求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°， ∴∠AHE+∠AEH=90°， ∵△AHE≌△DGH， ∴∠DHG=∠AEH， ∴∠AHE+∠DHG=90°， ∴∠EHG=90°， 又∵HE=EF=FG=GH， ∴四边形EFGH是正方形， ∴由图可得剩下正方形面积为：， 根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2， ，化简得a2+b2＝c2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正方形的性质与判定，全等三角形的性质，解题的关键在于证明四边形EFGH是正方形． 【跟踪专练1】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】先证△CAB≌△DAH（SAS），得∠ADH=90°，则H、D、E三点共线，再证，则BC=FC=FG=BG=2GJ，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ，然后由S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27，求出GJ=，证△FAN≌△EBM（ASA），则S△FAN=S△EBM，最后由S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形BAHI和四边形CADE都是正方形， ∴AC=AD，AB=AH，∠CAD=∠ABI=∠BAH=∠ADE=90°， ∴∠CAB+∠BAD=∠DAH+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAH， 在△CAB和△DAH中， ， ∴△CAB≌△DAH（SAS）， ∴∠ADH=∠ACB=90°， ∵∠ADE=90°， ∴H、D、E三点共线， ∵四边形BCFG和四边形CADE都是正方形，延长BG、FG分别交AD、DE于点K、J， ∴四边形ADJF和四边形BEDK都是矩形，且AF=BE，∠AFN=∠BEM=90°，四边形DKGJ是正方形，四边形CFJE是矩形， ∵S1：S2=1：4， ∴， ∴BC=FC=FG=BG=2GJ， ∵四边形CADE是正方形， ∴∠ADE=90°，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=GJ， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH==2GJ， ∵S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27， ∴AD•DH+（AD+BE）•DE=×3GJ×2GJ+（3GJ+GJ）×3GJ=27， 解得：GJ=（负值已舍去）， ∵∠ABC+∠EBM=180°-∠ABI=180°-90°=90°，∠ABC+∠CAB=90°， ∴∠CAB=∠EBM，即∠FAN=∠EBM， 在△FAN和△EBM中，， ∴△FAN≌△EBM（ASA）， ∴S△FAN=S△EBM， ∴S△ABC=S四边形BCFN+S△FAN=S四边形BCFN+S△EBM， ∴S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC =FC•CE-AC•BC =2GJ×3GJ-×3GJ×2GJ=3GJ2=3×（）2=9， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明△FAN≌△EBM是解题的关键． 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 【典例】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（    ） A．45° B．60° C．67.5° D．72° 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 【跟踪专练1】如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L，证明，可得，再证明为等腰直角三角形，可得，从而得到，从而得到，可证得四边形为正方形，进而得到，可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D 题型09.正方形动点问题(重+难) 【典例】如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是 _____ ． 【答案】/厘米 【分析】连接，交于点，连接，由正方形的性质可得关于对称，得到，进而得到，即得点和点重合时，最小，最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 即点和点重合时，最小，最小值等于的长， ∵正方形的边长为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．利用正方形对角线的对称性，将转化为，将的最小值转化成即可得到答案． 【详解】解：连接，设与交于点， 正方形， 点与点关于对称， ， ， 即在与的交点上时，最小，为的长度， 中，，，， ． 故选B． 【跟踪专练2】如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可得，即得，得到最小值等于最小值，作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴最小值等于最小值， 作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点， 根据对称性可知， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 题型10.正方形最值问题(难) 【典例】如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【跟踪专练1】如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可． 【详解】解：中，，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为， ∵中，， ∴， ∴最小即为， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． . 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。 题型11.正方形多结论判断(难) 【典例】如图，为上任意一点，分别以为边在同侧作正方形、正方形，连接和，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，利用“”证明，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，故A选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故D选项错误，符合题意． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．首先利用正方形的性质得到相关边和角的关系，证明三角形全等，得到，即可得到①；根据，得到，结合，计算即可得到②；连接，得到，求出，，得到，得到③；根据全等得到四边形周长为，根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小，得到，得到四边形周长最小值为，判断④即可． 【详解】解：由题意得， ∵四边形是正方形 ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积为： ， 故②正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，， ∴四边形周长为， 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正方形的性质以及四个大三角形全等，证明，故①正确；根据三角形全等得到三角形的面积相等，根据对应边相等，得到，再利用三角形和四边形的面积差得到结论，故②错误；根据勾股定理得到，根据，继而根据完全平方公式得到，继而得到，，故③正确；根据，，两式相加，得到，故④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在正方形中，，． ∴， ∴，故①正确； ，， ∵， ∴， ∴， ，即，故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴，故④正确. 故①③④正确，②错误． 故选：． 题型12.正方形存在性问题(难) 【典例】如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 【答案】90° 【分析】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度． 【跟踪专练1】如图，在中，，垂直平分，．当满足条件_______________时，四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定方法和正方形的判定方法，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件． 由已知条件，垂直平分，，判定四边形为矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时四边形是正方形． 【详解】解：添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵，垂直平分，， ，， 四边形为矩形， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又四边形为矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的性质、正方形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由得，而即可根据“”证明得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形； （2）先根据菱形的性质、等腰三角形的判定与性质可证，即四边形的面积倍的面积，再求得的面积即可解答； （3）当时，四边形是正方形，由，点C与点E重合，则，所以当时，四边形是正方形，据此即可解得． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ． ∵点D为的中点， ． 在和中 ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ，交的延长线于点F， ， ∴四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， ， ， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∴四边形的面积倍的面积． ，， 的面积， ∴四边形的面积． （3）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． ， ∴点C与点E重合， ， ∴当满足时，四边形是正方形（答案不唯一）． 【解答题】 1．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转_____度得到； (2)求证：； (3)若正方形的边长为，求四边形的面积． 【答案】(1)A，90 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定定理与性质． （1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （3）根据旋转的性质得到，进而得到，计算即可． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：经顺时针旋转后与重合， ∴． ∴ ∴． 2．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 3．已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【分析】本题考查正方形的性质． （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 4．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质易证，根据全等三角形的性质推出，，求出，根据正方形的判定得出即可． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，，， 即，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正方形 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记正方形定义（邻边相等+有一个直角的平行四边形） 2.掌握边、角、对角线、对称性四大核心性质 3.熟记3种核心判定方法（矩形+邻边相等、菱形+直角、对角线特殊关系） 4.分清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系 1.活用性质 + 勾股定理，快速解边长、对角线、面积计算 2.精准选判定方法证正方形，规范书写几何推理步骤 3.破解折叠 / 全等结合的中档题，规避判定漏前提、性质混淆易错点 1.基础题（选择、填空）不丢分，熟练拿满基础分值 2.中档综合题（性质+判定结合）快速破题，提高解题效率 3.规避判定易错点、性质混淆点，减少失分 题型01.正方形的判定与证明(常) 题型02.添条件使四边形是正方形 题型03.正方形的性质(常) 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 题型05.由正方形性质与判定求角度 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 题型07.利用正方形性质与判定求面积 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 题型09.正方形动点问题(重+难) 题型10.正方形最值问题(难) 题型11.正方形多结论判断(难) 题型12.正方形存在性问题(难) 解答题6题 知识点01:正方形的性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点02:正方形的判定 知识点03.特殊平行四边形之间的关系 题型01.正方形的判定与证明(常) 【典例】下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【跟踪专练1】如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是_____（只需添加一个）． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数的图象上的一个动点，过点B作垂直于y轴的直线交函数的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且，连接，．有如下四个结论：    ①四边形是平行四边形； ②四边形不可能是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形． 所有正确结论的序号是______． 【跟踪专练3】在平行四边形中，，对角线，交于点O，E是边上一个动点，连接并延长，交于点 F，连接，，则下列结论中错误的是（   ） A．四边形 一定是平行四边形 B．一定存在一点 E，使得四边形是菱形 C．不论取何值，一定存在一点E，使得四边形是矩形 D．当，且时，一定存在一点E，使得四边形是正方形 题型02.添条件使四边形是正方形 【典例】如图，已知四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（    ） A．添加“”，则四边形是菱形 B．添加“”，则四边形是矩形 C．添加“”，则四边形是菱形 D．添加“”，则四边形是正方形 题型03.正方形的性质(常) 【典例】如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【跟踪专练1】将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点对应刻度尺上的“2”，数轴上的点对应刻度尺上的“3”，以点为圆心，以为边的正方形的对角线为半径作弧交数轴于点．点在刻度尺上对应的数为_____． 【跟踪专练2】如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 【跟踪专练3】如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练5】四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是_________． 【跟踪专练6】如图，四边形为正方形，点在对角线上，，，．小红以的速度沿路线行走到处，小明以小红速度的1.25倍沿行走到处．若小红行走的路程为，则小明行走的时间为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练7】如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A．α B． C． D． 题型04.正方形的折叠问题(常+重) 【典例】如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是______． 【跟踪专练1】如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【跟踪专练2】如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． . 题型05.由正方形性质与判定求角度 【典例】《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度． 【跟踪专练1】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 题型06.由正方形性质与判定求线段长(常) 【典例】如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【跟踪专练2】已知，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D、E、F是垂足，若，则的长度是（    ） A．4 B．6 C．12 D．10 题型07.利用正方形性质与判定求面积 【典例】如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 题型08.由正方形性质与判定证明(常) 【典例】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF．若AE＝DF，则∠CDF的度数为（    ） A．45° B．60° C．67.5° D．72° 【跟踪专练1】如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（   ） A． B． C． D． 题型09.正方形动点问题(重+难) 【典例】如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是 _____ ． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型10.正方形最值问题(难) 【典例】如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 【跟踪专练1】如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 题型11.正方形多结论判断(难) 【典例】如图，为上任意一点，分别以为边在同侧作正方形、正方形，连接和，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 【跟踪专练2】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 题型12.正方形存在性问题(难) 【典例】如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 【跟踪专练1】如图，在中，，垂直平分，．当满足条件_______________时，四边形是正方形． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【解答题】 1．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转_____度得到； (2)求证：； (3)若正方形的边长为，求四边形的面积． 2．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 3．已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 4．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 5．已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $