精品解析：四川省南充市安平中学2021-2022学年八年级下学期半期考试数学模拟测试题

四川省南充市安平中学2021-2022学年八年级下学期半期考试数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可得解． 【详解】解：A. ，故本选项错误； B. 是最简二次根式，故本选项正确； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3、4、6 B. 7、24、25 C. 6、8、10 D. 9、12、15 【答案】A 【解析】 【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、32+42≠62，不能组成直角三角形，符合题意； B、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意； C、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意； D、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3. 如图，平行四边形的对角线相交于点，且则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=8， ∵AC+BD=24， ∴AO+BO=12， ∴△ABO的周长是：AO+BO+AB=12+8=20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出平行四边形的对角线关系是解题关键． 4. 下列计算正确的是(　　 ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则，以及同类二次根式的合并规则，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对选项A，， A错误； 对选项B，与不是同类二次根式，不能直接合并，，B错误； 对选项C，，计算正确， C正确； 对选项D，与不是同类二次根式，不能直接合并，，D错误． 5. 如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ） A. 13 B. 169 C. 12 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， 又∵AC2=144，BC2=25， ∴AB2=25+144=169， ∴AB==13． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积． 6. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）； 故选A． 7. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 8. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于(　　) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC， ∵∠B：∠BCD=1：2， ∴∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=5． 故选A． 9. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 10. 如图，在中，平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件根据平行四边形的性质、平行线的性质、垂直的定义、勾股定理、角平分线的定义、等角对等边以及线段的和差等知识点，进行推导即可得解． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、垂直的定义、勾股定理、角平分线的定义、等角对等边以及线段的和差等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果是________________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质：．根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：4． 12. 如图，在中，点、分别在边，上，且，则再添加一个条件：________可判定四边形是菱形．（只添加一个条件） 【答案】AE＝AF 【解析】 【分析】由题意可知，AE与CF平行且相等，可判定四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的定义添加条件即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥BC， 而DE＝BF， ∴ AE＝CF， ∴ 四边形AFCE是平行四边形， 根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 添加AE＝AF， 故填：AE＝AF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握判定定理是关键． 13. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 解得：． 故答案为：． 14. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【解析】 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 15. 若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方的非负性和算术平方根的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数均为，据此求出，的值，然后代入求值即可． 【详解】解：，，且 ， 解得， 将，代入得，． 16. 如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由勾股定理可知：，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 17. 如图，在中，对角线与相交于点O，过B作于点E，已知，，，则______． 【答案】． 【解析】 【分析】利用勾股定理求AE的长，然后求得DE的长，再利用勾股定理求BD的长，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解． 【详解】解：∵ ∴∠BEA=∠BED=90° 在Rt△ABE中， ∴DE=AD-AE=7-3=4 在Rt△BDE中， 又∵平行四边形ABCD中，O是BD中点 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，题目难度不大，正确推理计算是解题关键． 18. 如图，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论①；②；③；④中，正确结论的是 ______ 填序号． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出和全等是解题的关键，也是本题的突破口． 根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而判断错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断正确． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ，故正确； ， ， ， 在中，， ，故正确； 假设， 已证， 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故错误； ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有． 故答案为：． 三、计算题（共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并同类项得到结果，用到二次根式的基本性质，，． 【小问1详解】 解：  【小问2详解】 解： 20. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，过点且与、分别相交于点、，求证：． 【答案】 证明：平行四边形的对角线、相交于点， ，， ． 在和中． ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，证明，即可得到． 【详解】略 21. 如图，在中，于点，，，．求与的长． 【答案】， 【解析】 【分析】根据，可知，利用勾股定理求出，再根据，即可求出，再根据，，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：在中，于点，，， ， ， ，， ， ， ， ； 于点， ， ， ，， ， ． 22. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P是对角线AC上的一个由A往C方向运动的动点，且运动速度为0.5cm/s，设点P运动时间为t（s）． （1）求AC的长； （2）问t为何值时，△PCD为等腰三角形？ 【答案】（1）10 （2）t＝8s或10s或5.6s时，△CPD为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求AC的长； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：在矩形ABCD中，∠B＝90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得： （cm）； 【小问2详解】 解：△PCD为等腰三角形，分类讨论： 当CD＝CP时，△CPD为等腰三角形，如图1， ∴CD＝CP＝6 cm， 则AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4（cm）， ∴t=（s）； 当PC＝PD时，△PCD为等腰三角形，此时P是对角线的交点，如图2， ∴PC＝PD＝5（cm）， 则AP＝AC﹣PC＝10﹣5＝5（cm）， ∴（s）， 当DP＝DC时，△DPC为等腰三角形，如图3， 过点D作DQ⊥AC，则PQ＝QC，∠AQD＝∠CQD＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8cm，DC＝AB＝6cm， ∵， ∴ ， ∴cm， 由勾股定理得： （cm）， ∴cm， 则（cm）， ∴（s）， ∴t＝8 s或10 s或5.6 s时，△CPD为等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 23. 如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形． 【答案】 证明：∵AC∥DB， ∴∠CAB＝∠DBA， 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD(ASA)， ∴CO＝DO， ∵E，F分别为OC，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形AFBE 是平行四边形． 【解析】 【分析】此题已知AO=BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE=OF即可． 【详解】略 24. 求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____； （3）求代数式的值，其中． 【答案】（1）小芳 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了； （2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用二次根式的性质； （3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故小芳开方时，出现错误， 【小问2详解】 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质， 【小问3详解】 ， ∵， ∴， ∴原式， 即代数式的值是2028． 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 【答案】（1）①证明：如图1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°， ∴∠CBF=180°-∠ABC=90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF=90°， ∴∠DCB=∠ECF=90° ∴∠DCE=∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． ②结论：PE=PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE=CF， ∵PC=PC，∠PCE=∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE=PF． （2）3 【解析】 【分析】（1）①先判断出∠CBF=90°，再证明∠DCE=∠BCF即可解决问题． ②证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）①略 ②略 （2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH=∠A=90°， ∴EH∥AF，DE=EH=2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE=BF=2， ∴EH=BF， ∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM=FM， ∵CE=CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2=42+（6-x）2， ∴x=3， ∴PB=3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 26. 请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍． 下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线， 求证： 证明：过点作于点． 设，，． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，即可得结论； （2）连接，交于点，连接，由阿波罗尼奥斯定理和矩形的性质，可得结论． 【小问1详解】 证明：是中线， ， ，， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接，交于点，连接， 四边形是矩形 ，， 根据阿波罗尼奥斯定理得：，， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，读懂题意并能运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省南充市安平中学2021-2022学年八年级下学期半期考试数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3、4、6 B. 7、24、25 C. 6、8、10 D. 9、12、15 3. 如图，平行四边形的对角线相交于点，且则的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是(　　 ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ） A. 13 B. 169 C. 12 D. 5 6. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 7. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 8. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于(　　) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果是________________． 12. 如图，在中，点、分别在边，上，且，则再添加一个条件：________可判定四边形是菱形．（只添加一个条件） 13. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______． 14. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 15. 若，则__． 16. 如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若，则_____． 17. 如图，在中，对角线与相交于点O，过B作于点E，已知，，，则______． 18. 如图，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论①；②；③；④中，正确结论的是 ______ 填序号． 三、计算题（共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，过点且与、分别相交于点、，求证：． 21. 如图，在中，于点，，，．求与的长． 22. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P是对角线AC上的一个由A往C方向运动的动点，且运动速度为0.5cm/s，设点P运动时间为t（s）． （1）求AC的长； （2）问t为何值时，△PCD为等腰三角形？ 23. 如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形． 24. 求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____； （3）求代数式的值，其中． 25. （1）尝试探究： 如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于． ①求证：； ②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长． 26. 请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍． 下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线， 求证： 证明：过点作于点． 设，，． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $