万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之选修2－1、2－2、2－3：专题四 空间向量、推理与证明

一、题之源：课本基础知识 1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b. ＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝＝a， (2)两向量的数量积： 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (3)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos〈a，e〉； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a＝a2； ④|a·b|≤|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律： ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 3．空间向量的坐标运算 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3， a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0， a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， cos〈a，b〉＝)) . ＋b＋b)·\r(b＋a＋a＝ (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． －＝ 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． 为直线l的方向向量，与 (2)①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量． ②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为. 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示