精品解析：江苏南京市栖霞中学等校2026届高三第二次仿真模拟数学试题

2026届高三第二次仿真模拟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法的运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 4. 已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式及题意得，解得， 由圆心角公式得圆心角大小为. 故选：A. 5. 有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论： 当是第1名时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1名且不是第5名时，先排第1名，从中选一人为第1名，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 故选：D. 6. 如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先分解向量，用圆心出发的向量表示所有待处理向量（利用圆的半径、直径性质），再用数量积分配律展开化简，代入模长、夹角等已知条件，将式子转化为包含目标向量点积的形式，随后求解即可. 【详解】因为圆 半径 ，， 所以， 因为，所以， 所以 因为， 所以 又因为 ， 代入得， 所以， 即， 又因为 ， 所以 故选：D. 7. 已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将数列的前项的乘积表示出来，观察到其中的指数方程分别决定了的大小和的正负，再求出指数部分的最值来分类讨论的最值即可. 【详解】由题得， 前项积， 易得决定的大小，而决定的正负， 因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于， ①当时，，，所以为的最小值； ②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即. ③当时，，，所以为的最大值； ④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即. 综上，. 故选：A. 8. 三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，由题易知为三棱锥的外接球球心，且外接球半径为，再根据球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，转化为求点到平面ABC的距离，最后根据即可求得答案. 【详解】如图，取中点，连接， 因为三棱锥中，， 所以与均为直角三角形，且为公共斜边， 所以，即点为三棱锥的外接球球心，半径为， 设点到平面ABC的距离，球心到平面ABC的距离 所以球心到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离的一半，即， 因为二面角的平面角为锐角， 所以点到平面ABC的距离，当且仅当时等号成立， 所以球心到平面ABC的距离， 即三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为. 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的展开式中的系数为3 C. 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D. 的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的概念，根据常数项求出参数值，写出二项式的展开式，进而逐一判断各选项正误. 【详解】二项式的展开式的第项为， 当时，即时，可得，解得，所以A错误； 可得二项式， 展开式中的系数为3，所以B正确； 各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确； 可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确； 故选：BCD. 10. 已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（ ） A. 过点有且只有一条直线与直线、都垂直 B. 过点有且只有一个平面与直线、都垂直 C. 过点有且只有一个平面与直线、都平行 D. 过点有且只有一个平面与直线、都相交 【答案】AC 【解析】 【分析】根据异面直线的性质以及线面平行、垂直的判定定理，对过点与直线、的不同位置关系的情况进行逐一分析. 【详解】在B选项中，若一个平面与两条异面直线都垂直，那么这两条异面直线平行， 而与不平行，所以不存在这样的平面，所以B选项错误， 在C选项中，过点分别作直线与的平行线、， 则，平面，平面，所以平面， 同理可知平面，所以过点有且只有一个平面与直线、都平行，所以C选项正确， 在A选项中，由C选项可知，过点有且只有一个平面与直线、都平行，且该平面为平面， 因为过点有且只有一条直线与平面垂直，记该直线为直线， 因为平面，所以，因为，所以，同理可知， 所以，因此过点有且只有一条直线与直线、都垂直，所以A选项正确， 在D选项中，过点与直线、都相交的平面有无数个，所以D选项错误. 故选：AC. 11. 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的三角形式为 B. 若，则实数的值为3 C. ，，……，中有44个正整数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断． 【详解】对于A，当时，， 则对应的三角形式为，故A错误； 对于B， ， 又， 所以， 则的虚部为， ，，解得，B正确； 对于C，先求，根据复数模的性质：若，则， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则必须是完全平方数， 即（），则， 因为，所以，即， 因为，，， 又因为，所以，故， 所以从到，共个正整数，选项C正确； 对于D，由， ， ， ，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 双曲线：的渐近线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准形式方程求其渐近线的斜率. 【详解】由题意知双曲线：，则可得双曲线的标准方程为， 故可得双曲线的渐近线为，所以渐近线的斜率为. 故答案为： 13. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据恒成立代入特殊值求出的大致范围，再利用导数证明所求范围内恒成立即可. 【详解】由可得. 因为当时，恒成立，所以时，； 设，，所以为增函数， 又，所以，即. 当时，，， 所以， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即. 所以当时，恒成立， 的取值范围为. 故答案为： 14. 将一个棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成______个部分. 【答案】21 【解析】 【分析】利用正四面体和正四棱锥的性质来计算相邻两个面的二面角，通过两个二面角互补，可判断两平面共面，再证明面面平行，可确定这是一个三棱柱，从而可确定结果. 【详解】 因为上图是棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥， 所以取的中点为，可知 即正四面体的一个二面角的平面角为，正四棱锥的两侧面形成的一个二面角的平面角为， 由已知可得：，所以， 又由已知可得：，所以， 由于，因为， 所以， 从而可得侧面与侧面共面， 即四边形是菱形，可得， 再利用正四面体与正四棱锥的性质可知，侧面与侧面也共面， 即四边形是菱形，可得， 由于平面，平面，所以平面， 同理平面，又因为平面， 所以平面平面， 所以这个几何体是一个三棱柱， 其中三个侧面侧面，侧面所在的平面可将空间分成个部分， 再由两个平行底面与底面又将空间分成上、中、下个部分； 所以这五个面所在的平面可以将空间分成个部分. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. 【小问2详解】 ①， ②， ，得 ， 所以. 16. 已知在中，. （1）求的值； （2）若边上的高等于，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入两角和差的正切公式，再进行化简求得，再利用同角三角函数的关系，求得； （2）利用三角形的面积公式得出等量关系，求出边之间的关系，再代入余弦定理进行求解； 【小问1详解】 ， ， ， 所以 解得， 又因为， 又因为为三角形内角，故 则. 【小问2详解】 设，高为，则面积. 由面积公式， ， 得. 由，， 得 代入余弦定理：， 得， 代入，得 . 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】（1） X 1 2 3 4 5 P （2）7个或8个 【解析】 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【小问1详解】 若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. 【小问2详解】 若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解； （2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解； （3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率. 【小问1详解】 当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； 【小问3详解】 将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 【答案】（1）证明如下： ，，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2） （3）证明如下： 由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 【解析】 【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得； （2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围； （3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设. 若对任意的，恒成立，则恒成立. 又， 设，则，且有， （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，. 所以在单调递增，所以，所以恒成立； （iii）当，时，，则单调递增， 又，则必然存在一个，使得， 且有时，单调递减；时,，单调递增. 此时，不满足恒成立. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二次仿真模拟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 6. 如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，，二面角的平面角为锐角，则三棱锥的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的展开式中的系数为3 C. 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D. 的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 10. 已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（ ） A. 过点有且只有一条直线与直线、都垂直 B. 过点有且只有一个平面与直线、都垂直 C. 过点有且只有一个平面与直线、都平行 D. 过点有且只有一个平面与直线、都相交 11. 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的三角形式为 B. 若，则实数的值为3 C. ，，……，中有44个正整数 D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 双曲线：的渐近线的斜率为______. 13. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 14. 将一个棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成______个部分. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知在中，. （1）求的值； （2）若边上的高等于，求. 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 18. 已知双曲线 （1），求双曲线的渐近线方程. （2）设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； （3）已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 19. 已知， （1）当时，证明：； （2）设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $