2026年中考数学复习第六模块 圆-第26讲 圆的有关概念和性质课件

大单元结构化下的科学备考方略模块 1 “圆”是初中几何学习的核心领域，标志着从直线图形进入曲线图形的深入探索，它 不仅展现出完美的对称性，更是连接三角形、比例等相关知识的天然桥梁.本模块从圆 的基本元素（弦、弧、圆心角）及其关系开始，逐步扩展到圆周角定理、切线的判定 与性质等重要规律，并运用这些知识分析点、直线、圆之间的位置关系.计算弧长与扇 形面积，能让学生深入体会数形结合的思想方法.学习本模块知识需注重在复杂图形中 识别基本结构，并综合运用几何推理与代数运算进行严谨论证和求解.这一过程有助于 系统提升直观想象、逻辑推理和综合运用能力，为后续学习奠定坚实基础.#1.1 第六模块 圆 第26讲 圆的有关概念和性质 3 01 依据课标·过教材 4 考点一 圆的有关概念和性质 1.概念 图示 圆 平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫作圆.这个定点叫作 ①______，这条定长叫作圆的半径.如图，以点为圆心的圆记作，线段 叫 作半径 弦 连接圆上任意两点的②______叫作弦，如， 直径 经过③______的弦叫作直径，直径等于半径的2倍 圆心 线段 圆心 5 弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫作④______，如 ；小于半圆的弧叫作⑤______，如，， 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫作圆周角，如 圆心角 我们把顶点在⑥______的角叫作圆心角，如 弦心距 圆心到弦的距离叫作弦心距，如 优弧 劣弧 圆心 温馨提示：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；（2）不在同一条直线上的三个 点确定一个圆. 续表 6 2.性质 对称性 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条⑦______所在的直线 都是圆的对称轴，⑧______是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 直径 圆心 7 考点二 弧、弦、圆心角之间的关系 图示 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑨______，所对的弦⑩______.如图，在 中， ⑪____, ⑫____ 相等 相等 8 推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑬______，所对的弦⑭______.如图，在 中， ⑮_______, ⑯____ （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑰______，所对的优弧与劣弧分别⑱______.如图，在 中， ⑲_______， ⑳____ 相等 相等 相等 相等 续表 9 考点三 垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦（不是直径）的直径㉑______于弦，并且㉒______弦所对的两条弧 垂直 平分 10 温馨提示：（1）如图1，根据圆的对称性，给出以下5个结论： ； ；（不是直径）；； 是直径.只要满足其中两个 结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推三”； （2）有关弦的问题，作辅助线时常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直 角三角形，利用勾股定理求解.如图2， . _____________________________________________________________ 11 考点四 圆周角定理及其推论 1.定理 内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的㉓______ 常见图形 结论 ㉔_ _______ 一半 12 2.推论 图示 推论1 同弧或等弧所对的圆周角㉕______.如图，在中，和㉖____都是 所对的圆 周角㉗____； ㉘_______ 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角等于㉙____， 的圆周角所对的弦是㉚______.如 图，在中，是直径 ㉛____ 相等 直径 13 温馨提示：（1）注意利用半径相等构造等腰三角形. （2）有直径求角度时，注意构造直角三角形. （3）由于圆中一条弦对应两段弧，若题干中并未明确弦对应哪段弧而要求其圆周角的度 数，应分情况讨论，如图. ____________________________________________________________________________________ 14 考点五 圆内接四边形 图示 概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形 性质 （1）圆内接四边形的对角㉜______.如图， ， . （2）圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角.如图， ㉝____ 互补 15 02 典题精练·提方法 16 1.已知点，，，在 上. （1）若是的直径，点，是 两侧的两点. 图1 ①如图1，若 ，，求的度数及 的长； 解： 是圆的直径， . ， . . 17 在 中， ,, . . 18 ②如图2，若 ，求 的度数. 图2 解：如图，连接 . 是 的直径， . ， . . 19 （2）如图3，若直线,相交于外一点， ， ，求 的度数. 图3 解：由圆周角定理，得 . 是的外角， ， . 20 （3）如图4，若是的直径，半径，点在劣弧上（不与点， 重 合），与相交于点.设 ， ，请写出 与 的数量关系， 并说明理由. 图4 解： .理由如下： ， . 21 ， . ， . . 由圆周角定理，得 . . . 22 与圆周角有关的常用辅助线： （1）有直径时，构造直径所对的圆周角，转化为直角三角形来求解. （2）构造同弧（或等弧）所对的圆周角或圆心角. （3）有圆内接四边形时，连接对角线，再构造圆周角.或延长一边，利用外角等于其 内对角的性质. 23 2.已知点，，，在 上. 图1 （1）如图1，于点 . ①若 ，求 的度数； 图1 解：如图1，连接 . ，过圆心 ， . . . 24 ②若，的半径为5，求 的长. 解： 的半径为5， . ，过圆心， ， ， . 由勾股定理，得 . . 图1 25 （2）如图2，已知为的直径，弦，垂足为 . 图2 ①若，，求 的半径； 26 图2 解：如图2，连接 . 是的直径， ， . 在中， . 设的半径为，则， . . 解得 . 的半径为3. 27 ②如图3，为上一点，且，，，求弦 的长. 图3 图3 解：如图3，连接，交于点，连接 . 设的半径为，则， . ， . 在中，由勾股定理，得 ，即 .解得 . 28 . ， . 垂直平分，即， . . 又 ， . .即 . 解得. . 29 利用垂径定理及其推论解题时的常用思路： 利用垂径定理及其推论解题时，常通过添加辅助线、构造直角三角形、结合勾股定理 或锐角三角函数进行解题. 1.常用辅助线 （1）过圆心作弦的垂线. （2）连接圆心和弦的一端（即作半径）. （3）当条件中有弦的中点（或弦所对弧的中点）时，连接圆心与弦（或弧）的中点. 2.直接运用垂径定理求线段的长度时，常将未知的一条线段设为 ，再结合勾股定理 建立关于 的方程，求解即可. 30 03 真题展示·悟考向 31 命题点一 弧、弦、圆心角之间的关系 1.如图，，为的弦，连接，，.若 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 32 命题点二 垂径定理及其推论 2.如图，是的弦，半径于点.若，，则 的长是( ) A A.3 B.2 C.6 D. 33 命题点三 圆周角定理及其推论 3.如图，点，，在上， ，则 ____. 34 命题点四 圆内接四边形 4.如图，四边形内接于，为的直径.若 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 35 04 跟踪训练·提素养 36 ·基础过关练· 第1题图 1.如图，是的直径， ，则 ( ) D A. B. C. D. 第2题图 2.如图，为的直径，，是上位于 异侧的两点，连接 ，.若，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 第3题图 3.数学活动课上，同学们要测一个残缺圆形工件的半径，如图所示. 小明的解决方案是在工件的圆弧上任取两点,，连接，作 的 垂直平分线，交于点，交于点.若测得 , ，则圆形工件的半径为( ) C A. B. C. D. 第4题图 4.如图，四边形内接于，，连接 .若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 第5题图 5.如图，已知四边形是的内接四边形，为 的延长线上的 一点.若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 第6题图 6.如图，四边形是的内接四边形，是 的直径.若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 7.如图，是的圆周角，若 ，则 ____. 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 8.如图，为的直径，.若 ，则 ____. 第8题图 第9题图 9.如图，为的弦，于点，连接， .若 ，，则 的长为___. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 41 10.如图，在中，直径于点.如果,，那么弦 的长为 ________. 第10题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 ·素养提升练· 第1题图 1.如图，在两个同心圆中，， 分别是大圆和小圆的直径，且 与不在同一条直线上.可直接判定以点，，， 为顶点的四边 形是平行四边形的依据是( ) D A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 1 2 3 4 5 43 2.如图， 是工人李大爷自制的一块三角形纸板（厚度不计）.已知 ， ， ，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工 件上，使得顶点，都在圆形工件的圆周上，将直角边 与圆形工件圆周的交点记 为点，恰好发现 .该圆形工件的半径长为( ) A 第2题图 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 44 第3题图 3.如图，是圆的直径，，，，的顶点均在 上方 的圆弧上.若，的一边分别经过点， ，则 ____. 第4题图 4.如图，是的直径，点在上，连接.以 为边作菱 形，交于点，，垂足为.连接，交 于点，连接.若，，则___， _ _____. 3 1 2 3 4 5 45 5.如图，四边形的顶点都在半圆上，是半圆 的直径， 连接， . （1）求证 ； 证明： 四边形的顶点都在半圆上，， . . 又 , . . 1 2 3 4 5 46 （2）若，，求 的长. 解：如图，连接，交于点 . 是半圆 的直径， . ， . 又， . ，且是 的中位线. . 1 2 3 4 5 47 设半圆的半径为，则 . 在中， . 在中， ， 解得， （舍去）， . 1 2 3 4 5 48 $