第26节 圆的相关概念与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件系统覆盖圆的相关概念、性质、垂径定理、圆周角定理等核心考点，严格对接陕西2026中考要求。通过一阶教材知识全梳理夯实基础，二阶母题变式练考点强化应用，分析垂径定理8年3考、圆周角定理必考等权重，归纳选择、证明、计算等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于中考真题改编训练与分类讨论技巧指导，如2023陕西7题“老碗面”问题，示范垂径定理构造直角三角形求半径，培养几何直观与推理能力。针对弦所对圆周角分优弧劣弧讨论，帮助学生掌握解题关键，教师可依此设计分层教学，助力学生高效冲刺中考，提升复习效果。

数 学 陕西 课堂精讲册 1 第六章　圆 第二十六节　圆的相关概念与性质 一阶　教材知识全梳理 二阶　母题变式练考点 1. 相关概念 圆 (1)如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.其固定 的端点O叫作① ⁠，线段OA叫作② ⁠； (2)圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆.同圆或等圆的半径相等 圆心　 半径　 返回目录 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如图中的线段CD，BD 经过③ 的弦叫作直径，如图中的线段④ ⁠. 【特别提醒】直径是一个圆中最长的弦；直径等于半径的 ⑤ ⁠倍 圆心　 BD　 2　 返回目录 弧 圆上任意两点 间的部分叫作 圆弧，简称弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.如图中的半圆BD 大于半圆的弧叫作⑥ (用三个点表示)，如图中 小于半圆的弧叫作⑦ ，如图中 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧(注意：等弧只存在于同圆或等圆中，长度相等的弧不一定是等弧) 优弧　 劣弧　 返回目录 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角，如图中∠AOB，∠AOD 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，如图中∠BDC 返回目录 2. 基本性质 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形.任意一条⑧ ⁠所在 直线都是它的对称轴，⑨ ⁠是它的对称中心 旋转不 变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3. 圆的确定 (1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 直径　 圆心　 返回目录 文字语言 符号语言 图形语言 定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 如图，有以下三个结论： (1)圆心角相等： ∠AOB＝∠A'OB'； (2)弧相等： ＝ ； (3)弦相等：AB＝A'B'. 只要满足其中一个，另外两个一定成立，即“知一求二” 推 论 1 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 推 论 2 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 返回目录 【注意事项】 (1)在运用定理、推论时，一定要有“同圆或等圆”的前提条件.若给出等 弧，则确定是在同圆或等圆中，而等弦和长度相等的弧不一定是在同圆或 等圆中； (2)在同圆或等圆中，若 ＝2 ，则∠AOB＝2∠A'OB' 成立，但 AB≠2A'B' . 返回目录 文字语言 符号语言 图形语言 定 理 垂直于弦的直径⑩ ⁠ 弦，并且⑪ ⁠弦所对的两条弧 如图，有以下五个结论： (1) ＝ ；(2) ＝ ； (3)AM＝⑭ ⁠； (4)AB⊥CD； (5)CD是☉O的直径. 只要满足其中两个，另外三个一定成立，即“知二求三” 推 论 平分弦(不是直径)的直径 ⑫ 于弦，并且 ⑬ ⁠弦所对的两条 弧 平分 平分 BM 垂直　 平分　 返回目录 【易错警示】使用垂径定理的推论时，要注意“弦(不是直径)”这个条 件，因为所有的直径都互相平分，但互相平分的直径不一定互相垂直. 返回目录 【技巧点拨】 (1)运用垂径定理进行有关弦的计算时，常需过圆心向弦作垂线段(弦心 距)，构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用勾股定理 求解.如图1，d2＋()2＝r2. 图1 图2 (2)如图2，AB是☉O 的弦，C是圆上的动点，则当点C 在优弧AB 上，且 CO⊥AB 时，S△ABC取得最大值. 返回目录 文字语言 符号语言 图形语言 定 理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮ ⁠ 如图，AB是☉O的直径，点 C，D在☉O上，则：∠ABC ＝⑰ ⁠＝⑱ ∠AOC， ∠ACB＝⑲ ⁠ 【特别提醒】(1)一条弧只对应一个圆心角，却对应无数个圆周角； (2)一条弦对应两条弧，这两条弧所对的圆周角互补 推 论1 同弧或等弧所对的圆周角⑯ ⁠ 推 论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 一半　 ∠ADC 　 90°　 相等　 返回目录 概 念 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形 性 质 (1)圆内接四边形的对角⑳ (如图，∠ABC＋ ∠ADC＝㉑ )； (2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角(如图，∠DCE＝∠BAD) 【知识拓展】连接圆内接四边形的对角线，则必然存在两组相似三角形，如图，△ABF∽△DCF，△ADF∽△BCF 互补　 180°　 返回目录 考点1 圆的相关概念与基本性质 1. (北师九下P68T3改编)下列说法正确的是 .(填序号) ①经过已知点，且半径为2 cm可以确定唯一一个圆； ②半径为2 cm的圆中最长的弦为4 cm； ③圆中任意一条弦都对应两条弧，一条是劣弧，一条是优弧； ④同一个圆中，同一条弧所对的圆心角一定大于它所对的圆周角. ②④　 返回目录 考点2 弧、弦、圆心角之间的关系 2. (人教九上P85T1改编)如图，AB，CD是☉O的两条弦. (1)若AB＝CD. ① 连接OA，OB，OC，OD，下列结论不一定成立的是(　A　) A. OA＝OB＝AB B. ∠AOB＝∠COD C. ＝ D. 点O到AB，CD的距离相等 A 返回目录 ② 连接BC，AD，求证：BC＝AD. 证明：∵AB＝CD， ∴ ＝ ， ∴ ＋ ＝ ＋ ，即 ＝ ， ∴BC＝AD. (2)若 ＝2 ，则弦AB与弦CD的大小关系是(　C　) A. AB＞2CD B. AB＝2CD C. AB＜2CD D. AB＝CD C 返回目录 考点3 垂径定理及其推论(8年3考) 3. (人教九上P83T1改编)如图，CD是☉O的直径，且CD＝10，AB是弦且 不是直径，CD⊥AB于点E. (1)下列结论不一定正确的是(　B　) A. AE＝BE B. OE＝DE C. AO＝CO D. ＝ (2)若AB＝8. ①AE＝ ，OE＝ ，ED＝ ，CE＝ ⁠； ② 若F是☉O上的动点(不与点A，B重合)，则△ABF面积的最大值为 ⁠. B 4　 3　 2　 8　 32　 (3)若劣弧 沿AB所在直线向上翻折，恰好经过圆心O，则AB ＝ ⁠. 5 　 返回目录 4. (2023陕西7题3分)陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色 美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图. 是☉O 的一部分，D是 的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA， OB. 已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，则☉O的半径OA为(　A　) 图1 图2 A. 13 cm B. 16 cm C. 17 cm D. 26 cm A 返回目录 考点4 圆周角定理及其推论(必考) 5. (北师九下P73T3改编)如图，AB为☉O的直径，C，D是☉O上两点， 且OD∥BC，∠BAC＝26° ，则∠BCA＝ °，∠B＝ °， ∠ADC＝ °，∠DOB＝ °，∠DAB＝ °. 90　 64　 64　 64　 32　 返回目录 变式(2025陕西12题3分)如图，AB为☉O的直径， ＝ ，∠CDB＝ 24°，则∠ACD的度数为 ⁠. 66°　 返回目录 6. (2024陕西11题3分)如图，BC是☉O的弦，连接OB，OC，∠A是 所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 ⁠. 90°　 返回目录 考点5 圆内接四边形 7. (北师九下P83习题T1)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若 ∠BOD＝140° ，则∠A的度数为(　C　) A. 40° B. 70° C. 110° D. 140° C 返回目录 变式如图，☉C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为 (0，2)，M为第三象限内 上一点，∠BMO＝120° ，则☉C的半径 为 ⁠. 2　 返回目录 与圆的性质有关的分类讨论 8. 已知☉O的半径等于4，AB为☉O的弦，其长为4 ，求弦AB所对的 圆周角的度数. 解：如解图，连接OA，OB，∠ACB与∠ADB为弦AB所对的圆周角， 作OH⊥AB于点H，则AH＝BH＝ AB＝2 . 在Rt△OAH中，OA＝4，AH＝2 ， ∴OH＝ ＝2 ，∴AH＝OH， ∴△OAH为等腰直角三角形，∴∠AOH＝45°，∴∠AOB＝90°， ∴∠ACB＝ ∠AOB＝45°，∴∠ADB＝180°－∠ACB＝135°， 即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°. 返回目录 变式1A，B为☉O上的两个定点，P为☉O上的动点(P不与A，B重合). 若☉O的半径为1，AB＝1，则∠APB的度数为 ⁠. 变式2已知点O是三角形ABC的外心，∠BOC＋∠A＝240°，则∠A的度 数为 ⁠. 30°或150°　 80°或120°　 返回目录 9. 往一个水平放置的直径为26 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，若水 面宽AB＝24 cm，求水的深度. 解：若水面AB位于圆心的下方，如解图1，连接OB，过点O作OC⊥AB 于点D，交☉O于点C. ∵AB＝24 cm，∴BD＝ AB＝12.∵☉O的直径为26，∴OB＝OC＝13.在Rt△OBD中，OD＝ ＝5，∴CD＝OC－OD＝8(cm)，即水的深度为8 cm；若水面AB位于圆心的上方，如解图2，连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交☉O于点C. ∵AB＝24，∴BD＝ AB＝12.∵☉O的直径为26，∴OB＝OC＝13.在Rt△OBD中，OD＝ ＝5，∴水的深度为13＋5＝18(cm).综上所述，水的深度为8 cm或18 cm. 解图1 解图2 返回目录 变式如图，一下水管道横截面为圆形，直径为200 cm，下雨前水面宽为 120 cm，一场大雨过后，水面宽为160 cm，则水位上升 cm. 20或140　 返回目录 类型1　当已知弦，求其对应的圆周角度数时，需要分类讨论： (1)如图1，当圆周角的顶点在优弧上时，∠β＝ ∠α； (2)如图2，当圆周角的顶点在劣弧上时，∠β＝180°－ ∠α. 图1 图2 返回目录 类型2　已知两弦平行，但两弦的位置不确定时，需要分类讨论： 如图，设两条平行弦之间的距离为d： (1)如图1，两条平行弦在圆心异侧， d＝OE＋OF； (2)如图2，两条平行弦在圆心同侧， d＝OF－OE. 图1 图2 返回目录 此类问题的解题步骤如下： 返回目录 33 $