2.4 一元二次方程的应用（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.4一元二次方程的应用 第二课时 图形问题 第2章《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 体会一元二次方程在解决几何图形面积、长度计算的工具作用，感受数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为一元二次方程。 掌握利用一元二次方程解决图形面积变化实际问题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验并作答，能根据实际意义合理取舍方程的根。 理解数形结合思想在解决几何问题中的重要性，能通过图形分析找到等量关系，提升几何直观与逻辑推理能力。 知识回顾 列一元二次方程解应用题的基本步骤 审：认真审题，找出已知量、未知量及等量关系。 设：根据题意，设出合适的未知数（直接设或间接设）。 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 解：运用合适的方法（公式法、因式分解法等）解方程。 验：检验解是否符合实际意义，最后写出答案。 ٭一元二次方程通常会出现两个实数根，而实际问题中长度、人数、时间、面积等不能为负、不能为小数、不能超过限制，因此比一元一次方程更要谨慎：解出两个根后，必须逐一检验是否符合实际意义 知识回顾 初始量 × (1 ±增长率)2= 最终量 设为初始量，为增长率，增长次数2，为最终量 a(1±x)2=b​ （1）连续两次增长平均增长率（降低）问题基本公式 （1）利润=售价-进价； （2）利润率= ×100％= × 100％； （3）售价=进价×（1+利润率）； （4）总利润=总售价-总成本=单件利润×销售总量. (5)折扣价 = 标价 × 折扣（如八折即 ×0.8） （2）销售问题中常见的几个等量关系： a h a b a a a b b a h a b a h r 导入新课 还记得 这些图象的面积计算公式吗？ 导入新课 📝 试一试 一个矩形的长比宽多2米，面积是8平方米，求这个矩形的长和宽？ 解题五步法 1. 设未知数：宽为 x 米，则长为 (x+2) 米 2. 找关系：长 × 宽 = 面积 (8m²) 3. 列方程：x(x+2) = 8 ➔ x² + 2x - 8 = 0 4. 解方程：因式分解得 x₁=2, x₂=-4 5. 验答案：舍去-4，得宽2m，长4m 我们已经学习了一元二次方程的解法，今天我们将运用这些知识来解决生活中与图形相关的实际问题。 相信你能行 ——“数学源于生活，又服务于生活” 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm （1）纸盒的高度与剪去小正方形的边长由什么关系 纸盒的高度 = 剪去小正方形的边长 （2）设纸盒的高度为 cm，如何表示盒底的边长？ 40-2x 25-2x 底面长：(40 - 2x) cm 底面宽：(25 - 2x) cm 设元 · 定变量 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm （3）等量关系是什么？ 40-2x 25-2x 纸盒的长×纸盒的宽= （4）根据等量关系能列出方程吗？ 方程：(40-2x)(25-2x)=450 列式 · 建模型 核心思路： 通过设未知数，用含未知数的代数式表示图形的长、宽、高等关键量，再根据面积公式列出方程。 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm （3）等量关系是什么？ 40-2x 25-2x 纸盒的长×纸盒的宽= （4）根据等量关系能列出方程吗？ 方程：(40-2x)(25-2x)=450 列式 · 建模型 核心思路： 通过设未知数，用含未知数的代数式表示图形的长、宽、高等关键量，再根据面积公式列出方程。 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm 40-2x 25-2x （5）解方程：(40-2x)(25-2x)=450 解答 · 找答案 ٭整理方程： ٭计算Δ ： Δ = (-65)² - 4×2×275 = 4225 - 2200 =2025 (45²) ٭ 代入求解： 解得： x₁ = 27.5，x₂ = 5 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm 40-2x 25-2x 解答 · 找答案 ٭ 检验： x₁ = 27.5（舍去） 底面宽：25 - 2×27.5 =-30 cm 长度不能为负数，此解无实际意义，需舍去。 （6）两个数学解都符合实际问题的几何意义吗？为什么？ x₁ = 27.5，x₂ = 5 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm 40-2x 25-2x 解：设纸盒的高为 cm，由题意得： 整理： 解得：， 检验：当时，， 不符合实际，舍去。 答：纸盒的高为5 cm。 规范书写 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 几何图形实际问题列方程通用解题过程 01 审题设未知数 找出问题核心，用字母清晰表示未知量。 02 分析表示关系 用含未知数的代数式，准确表示相关量。 03 寻找等量列方程 依据面积、体积等关键信息列出方程。 04 解方程求根 运用公式法或因式分解法解一元二次方程。 05 检验回归实际 检验解的合理性，舍去不符合实际的根。 06 规范写出答案 用完整、规范的语言，写出最终答案。 典例分析 80cm x x x x 50cm 例1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条绿色纸边，制成一幅矩形挂图。如果要使整个挂图的面积是5400cm²，求绿色纸边的宽是多少cm？ 知识点1 图形面积问题 解：设绿色纸边的宽为x cm，由题意可得 (80 + 2x) × (50 + 2x) = 5400 4000 + 160x + 100x + 4x²= 5400 x² + 65x - 350 = 0 解得：， 检验：，舍去。 答：绿色纸边的宽是5cm 例2 .如图，某课外活动小组准备围出一个矩形场地，其中一边靠墙(墙的长度为45m)，另外三边用长为80m的篱笆围成.怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ 设未知数 列方程 解方程 取符合题意的结果 AD+AB+BC=80m S矩形ABCD=750m2 求未知数的值 限制条件：“墙的长度为45m” 分析: 典例分析 x 80-2x 例2 .如图，某课外活动小组准备围出一个矩形场地，其中一边靠墙(墙的长度为45m)，另外三边用长为80m的篱笆围成.怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ 解：设AD=x m，则AB=(80-2x)m. 依题意，得：x(80-2x)=750. 整理，得：x2-40x+375=0. 解得：x1=15， x2=25. ∵80-2x≤45，∴x ≥ . ∴x=15不合题意，舍去 ∴x=25，80-2x=30. 答：围成的矩形场地的长为30m，宽为25m，才能使其面积为750m2. 典例分析 新知巩固 1.已知一长方形公园的面积为，周长为280 m。求这个公园的长与宽。 解：设公园的长为 m，则宽为 m。 由题意得： 整理： 解得：，。 经检验： ，是方程的解， ∵长>宽，∴长为80 m，宽为60 m。 答：公园的长为80 m，宽为60 m。 课内练习 KENEILIANXI 教材P52页 拓展提升 1.从一块腰长为20 cm的等腰直角三角形白铁皮零料上裁出一块长方形白铁皮，要求长方形的四个顶点都在三角形的边上，裁出的长方形白铁皮的面积为，应怎样裁？ 解：由勾股定理得： 腰长为20 cm的等腰直角三角形的斜边长 设长方形垂直于斜边的边长为 cm， 则平行于斜边的边长为 cm。 由题意得 整理： 解得：，。 对应另一边长为1或。 答：可以裁出长 cm、宽cm， 或长 cm、宽 cm的长方形。 教材P53页C组第6题 作业题 ZUOYETI 2、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:设要放x层,则每一层放(1+x) 支铅笔. 由题意得: x (1+x) =190×2 x²＋ x －380＝0 解得：，(不合题意) 答:要放19层. 拓展提升 真题感知 1.（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________ ．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． （1）解：由题意得，饲养场的长米 （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴的值为． 米 真题感知 2.（2023·浙江宁波）：如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处。已知 cm， cm，求的长。 解：在Rt中， cm， ∴ cm。 设 cm，则 cm。 在Rt中， 解得：。 答：的长为3 cm。 课堂小结 掌握核心方法：六步法 审、设、列、解、验、答 —— 解决应用题的通用框架 体验数学建模思想 将实际问题转化为数学方程，设未知数、找等量关系是关键 深化“检验”的重要性 数学解 ≠ 实际解，必须检验结果是否符合现实意义 强化数形结合思想 几何与动态问题中，画图是理清思路、寻找等量关系的捷径 课后练习 教材P52页 1.在一个长方形客厅的一角铺上一块正方形地毯，已知长方形客厅的面积为，问：应选边长为多少米的地毯？ 解：设正方形地毯的边长为 m。由图可知，客厅的长为 m，宽为 m。 由题意得： 整理： 解得：，（舍去）。 答：应选边长为3米的地毯。 作业题 ZUOYETI A组 4m　 2m　 课后练习 2.一块长方形绿地长100 m，宽50 m。在绿地中开辟两条道路后，绿地面积缩小到原来的88.32%，求。 解：设道路宽度m，由题意可得： 整理： 解得：，（舍去，因）。 答：道路宽度为4 m。 教材P52页 作业题 ZUOYETI A组 课后练习 3.取一张长与宽之比为5:2的长方形纸板，剪去四个边长为5 cm的小正方形，做一个无盖的长方体包装盒，容积为（纸板的厚度略去不计），求纸板的长与宽。 解：设纸板的长为 cm，宽为 cm。 则包装盒底面长为 cm， 宽为 cm，高为5 cm。 由题意可得 整理： 解得：，（舍去，因）。 ∴ 长为 cm，宽为 cm。 答：纸板的长为30 cm，宽为12 cm。 教材P53页 作业题 ZUOYETI B组 5 cm 感谢聆听! $