第2章 一元二次方程（复习课件）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系及应用，通过单元知识图谱和考点串讲，将概念、解法、应用等核心内容串联，帮助学生构建完整的知识体系。 其亮点在于采用“题型剖析-变式训练-针对训练”的复习策略，如增长率问题中“700(1+x)²=1008”的方程建模，培养学生的运算能力和模型意识。分层设计让不同水平学生提升，教师可精准把握学情，提高复习效率。

单元复习课件 第二章 一元二次方程 新教材浙教版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.认识生活中蕴含的一元二次方程现象，明确一元二次方程的概念、一般形式及各项系数的含义，理解方程解的意义，掌握将实际问题抽象为一元二次方程模型的方法。 3.通过操作、观察、推理等活动，探索一元二次方程的解法规律与应用逻辑，在探究过程中发展代数推理能力与模型思想，掌握一元二次方程知识在面积、增长率、动点等实际问题中的运用方法。 2. 能识别一元二次方程的结构特征，熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法求解方程，会用根的判别式判断方程根的情况；掌握根与系数的关系，能结合实际场景检验方程解的合理性，培养符号意识与运算能力。 单元学习目标 一元二次方程 概念 一般形式 bx是一次项，b是一次项系数 ax²是二次项，a是二次项系数 c是常数项 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 单元知识图谱 一元二次方程 解(根) 解法 配方法：通过配方把一元二次方程转化为(x+n)²=p (p≥0)的形式 直接开平方法：x²= p或(mx + n)²=p (p≥0) 使方程左右两边相等的未知数的值 概念 因式分解法：依据：若ab = 0，则a = 0或b = 0 根的判别式： = b² - 4ac 根与系数的关系（ ） 当 时，方程有两个不相等的实数根 当 时，方程有两个相等的实数根 当 时，方程没有实数根 公式法：x = (b²-4ac≥0) 单元知识图谱 一元二次方程 一元二次方程的应用 审、设、列、解、验、答 分类 传播问题 利润问题 增长率问题（连续增长/下降：a(1±x)² = b） 步骤 面积问题 工程问题 行程问题 握手、循环赛问题 动态几何问题 其他问题 单元知识图谱 考点一、一元二次方程的概念 1．一元二次方程的定义： 只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是___的_______方程叫做一元二次方程。 2. 一般形式：___________________，其中______________分别叫做二次项、一次项和常数项，_______分别称为二次项系数和一次项系数。 注意：最高次项的系数________。 一 2 整式 ax²，bx，c a，b a≠0 ax²+bx+c=0 (a≠0) 考点串讲 考点一、一元二次方程的概念 【判断一元二次方程的条件】 ①__________________； ②________________________； ③_____________。 3. 使方程_________________________就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_______。 只含有一个未知数 所含未知数的最高次数是2 整式方程 左右两边相等的未知数的值 根 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 1．利用因式分解解一元二次方程的方法叫做____________，这种方法把解______个一元二次方程转化为解______个一元一次方程。 2．对于形如_________________的方程，根据平方根的定义，可得 ，这种解一元二次方程的方法叫做__________。 3．把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做________。 因式分解法 一 两 x²=a（a ≥ 0） 开平方法 配方法 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 4．对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，如果b²-4ac≥0，那么方程的两个根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 考点串讲 考点三、换元法解一元二次方程 1．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫_________． 换元的实质是_____，关键是构造元和设元，理论依据是________，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是___________，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 换元法 转化 等量代换 整体换元法 考点串讲 考点四、一元二次方程根的判别式 1. 根的判别式：一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a ≠ 0) 是否有实数根，由判别式 = b²-4ac 的符号决定。 2. 根的判别式与根的情况的关系： 当 = b²-4ac > 0 时，方程有___________实数根。 当 = b²-4ac = 0 时，方程有___________的实数根。 当 = b²-4ac < 0 时，方程______实数根。 特别地，当 = b²-4ac ≥ 0 时，方程有两个实数根（方程有实数根） 两个不相等 两个相等 没有 考点串讲 考点五、根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁, x₂，（前提是 = b²-4ac ≥ 0），则 x₁ 和 x₂ 与系数 a, b, c 之间有如下关系： x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ ； ； (x₁-x₂)² = (x₁+x₂)² - 4x₁x₂ ； 考点串讲 考点六、利用一元二次方程解决实际问题 1. 列方程解应用题步骤：即____________________________六步。 2. 一元二次方程应用题的等量关系： (1) 传染问题：a(1+x)ᵖ=b (2) 变化率(增长率)问题：a(1±x)ᵖ=b （+代表增长，-代表下降） (3) 单循环问题： 每两个队之间比赛一场，每两人握手一次 双循环问题：x(x-1) 每两个队之间比赛两场，每两人互送礼物或贺卡 审、设、列、解、验、答 考点串讲 考点六、利用一元二次方程解决实际问题 (4) 利润问题：总利润=单件利润×销量； 单件利润=售价-进价； 利润率= 。 (5) 面积问题：长方形面积=长×宽，三角形面积= ， 考点串讲 题型一、一元二次方程的定义 例1：下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A. B. ax²+bx+c=0 C. y²+3x=2 D. (x+1)²=2x² 解析：A、是分式方程，不是 x 的一元二次方程，故 A 选项不符合题意； B、ax²+bx+c=0，a=0 时，不是 x 的一元二次方程，故 B 选项不符合题意； C、y²+3x=2 中含有两个未知数，不是 x 的一元二次方程，故 C 选项不符合题意； D、(x+1)²=2x²，化简得 x²-2x-1=0，是 x 的一元二次方程，故 D 选项符合题意。故选：D。 D 题型剖析 1. 明确定义内容——判断一元二次方程的条件，是依据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，同时是整式方程”的规则，识别方程的结构与限制条件，核心是区分不同形式下的方程要求，排除不符合一元二次方程定义的情况。 2. 掌握核心思路——解题抓“判、定、验”：先判断方程是否为整式方程，再确定未知数的个数与最高次数，最后验证二次项系数是否不为0，从而确认是否为一元二次方程。 题型一、一元二次方程的定义 题型剖析 变式：在若方程 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） A. m ≠ 1 B. m ≥ 0 C. m ≥ 0 且 m ≠ 1 D. m 为任意实数 题型一、二次根式有意义的条件 解析：要使方程 是关于 x 的一元二次方程，需满足： 1. 二次项系数不为零：m-1 ≠ 0，即 m ≠ 1； 2. 根号下被开方数非负：m ≥ 0。 综合得 m ≥ 0 且 m ≠ 1。 故答案为：C C 题型剖析 例2：方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m=______. 题型二、由一元二次方程的定义求参数 -2 解析：∵ 是关于 x 的一元二次方程， ∴ 2-m ≠ 0, |m|=2， ∴ m=-2， 故答案为：-2。 题型剖析 1. 明确定义内容——判断一元二次方程含参数问题，是依据“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，同时是整式方程”的规则，识别方程的结构与限制条件，核心是区分不同形式下的参数要求，排除使方程不满足一元二次方程定义的参数取值。 2. 掌握核心思路——解题抓“定、列、解”：先确定未知数的最高次数为2，列出对应指数方程；再根据二次项系数不为0，列出不等式；最后联立方程与不等式，求解得到参数的取值。 题型二、由一元二次方程的定义求参数 题型剖析 变式：已知方程 关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为______. 解析：∵ 原方程是关于 x 的一元二次方程， ∴ a²-2=2 且 a-2 ≠ 0， 解得：a=-2， 故答案为：-2。 题型二、由一元二次方程的定义求参数 -2 题型剖析 例3：已知关于 x 的方程 为一元二次方程，则 a 的取值范围是__________． 题型三、由一元二次方程的概念求参数的取值范围 a≥1 且 a≠3 解析：∵ 关于 x 的方程 是一元二次方程， ∴ a-3≠0，且 a-1≥0，解得 a≥1 且 a≠3。 故答案为 a≥1 且 a≠3。 题型剖析 1. 明确定义内容——判断一元二次方程的条件，是依据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的整式方程”的规则，识别方程的结构与限制条件. 2. 掌握核心思路——解题抓“找、列、解”：先找出方程中的所有限制条件（如未知数最高次数为2、二次项系数不为0、根式/分母的额外限制等），再列出对应的不等式（组），最后解不等式（组）得到参数的取值范围。 题型三、由一元二次方程的概念求参数的取值范围 题型剖析 变式：若方程kx² - 2x + 1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是( ) A. k > 0 B. k ≠ 0 C. k ge 0 D. k 为实数 B 解析：A：k > 0，忽略了k为负数时方程仍为一元二次方程，A错误； B：k ≠ 0，符合二次项系数不为0的条件，所以B正确； C：k ≥ 0，当k = 0时，方程变为-2x + 1 = 0，是一元一次方程，不符合要求，所以C错误； D：k为实数，当k = 0时方程不是一元二次方程，所以D错误。 故答案为：B. 题型三、由一元二次方程的概念求参数的取值范围 题型剖析 例4：将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2的方程是( ) A. 4x²+2=7x B. 4x²-2=7x C. 4x²+7x=2 D. -4x²-7x=2 题型四、一元二次方程的一般形式 A 题型剖析 题型四、一元二次方程的一般形式 解析：A、4x² + 2 = 7x，则4x² - 7x + 2 = 0，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2，符合题意； B、4x² - 2 = 7x，则4x² - 7x - 2 = 0，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意； C、4x² + 7x = 2，则4x² + 7x - 2 = 0，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题意； D、-4x² - 7x = 2，则-4x² - 7x - 2 = 0，二次项系数是-4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意；故选A. 题型剖析 1. 明确定义内容——先抓“一关键”（二次项系数不为0），再按步骤化：先将方程移项整理，使右边为0，再按未知数的次数从高到低排列，得到形如 ax²+bx+c=0（a≠0）的形式，最后明确二次项、一次项、常数项及对应系数。 2. 掌握核心思路——解题抓“移、排、定”：先把方程所有项移到左边，再按二次项、一次项、常数项的顺序排列，最后确定二次项系数a（a≠0）、一次项系数b、常数项c，得到一般形式。 题型四、一元二次方程的一般形式 题型剖析 变式：一元二次方程x²+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______． 2 题型四、一元二次方程的一般形式 解析：x² + 2x = 1的一般形式为x² + 2x - 1 = 0， ∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1，2，-1， ∴1 + 2 - 1 = 2， 故答案为：2。 题型剖析 题型五、由一元二次方程的解求参数的值 例5：若关于x的一元二次方程2x² - 3x - a² + 1 = 0的一个根为2，则a的值为____________． 解析：把 x = 2 代入方程 2x² - 3x - a² + 1 = 0，得： 2 × (2)² - 3 × 2 - a² + 1 = 0 化简为：3 - a² = 0 移项得：a² = 3 两边开平方得： ，故答案为： 题型剖析 1. 明确定义内容——先抓“方程的解”定义：使方程左右两边相等的未知数的值；再按步骤代：将已知根代入原方程，得到含参数的新方程，最后解新方程求出参数，核心是代入消元，将一元二次方程转化为含参数的一元一次/二次方程。 2. 掌握核心思路——解题抓“代、列、解”：先把已知根代入原方程，再列出含参数的方程，最后解方程得到参数的值。 题型五、由一元二次方程的解求参数的值 题型剖析 解析：把x = 2代入方程4x² - 7x + m = 0， 得16 - 14 + m = 0； 即m = -2。 变式：已知关于x的方程4x² - 7x + m = 0的一个根是2，则m的值是________． 题型五、由一元二次方程的解求参数的值 -2 题型剖析 例6：已知t为一元二次方程x² - 1011x + 2023 = 0的一个解，则2t² - 2022t的值为( ) A. -2023 B. -2022 C. -4046 D. -4044 题型六、由一元二次方程的解求代数式的值 解析：∵ t为一元二次方程x² - 1011x + 2023 = 0的一个解， ∴ t² - 1011t + 2023 = 0， ∴ t² - 1011t = -2023， ∴ 2t² - 2022t= 2(t² - 1011t)= 2 × (-2023)= -4046， 故选：C. C 题型剖析 遇方程求解代数式，核心思路要记牢； 方程解代入原等式，高次变低是诀窍； 先化简再降次，替换替换真巧妙； 化降代三步紧跟随，精准求值不用跑。 题型六、由一元二次方程的解求代数式的值 题型剖析 变式：已知a是方程2x² - 3x - 7 = 0的一个根，求代数式(a+1)(a-1) + 3a(a-2)的值。 解析：∵ a是方程2x² - 3x - 7 = 0的一个根， ∴ 2a² - 3a - 7 = 0， ∴ 2a² - 3a = 7， ∴ (a+1)(a-1) + 3a(a-2) = a² - 1 + 3a² - 6a = 4a² - 6a - 1= 2(2a² - 3a) - 1= 2 × 7 - 1= 13。 题型六、由一元二次方程的解求代数式的值 题型剖析 题型七、一元二次方程的解法——因式分解法 例7：方程 4x²=x 的根为（ ） A.x₁=x₂=4 B.x₁=0，x₂=4 C.x₁=x₂= D.x₁=0，x₂= 解：4x² = x 移项得：4x² - x = 0 提取公因式得：x(4x - 1) = 0 所以 x = 0 或 4x - 1 = 0 解得 x₁ = 0，x₂ = 故选：D。 D 题型剖析 1. 明确定义内容——先抓“右0、左可分、积为0”三要素，再按步骤降次：移项使右边为0，将左边分解为两个一次因式的积，令各因式为0，解一元一次方程得根，核心是降次转化。 2. 掌握核心思路——解题抓“移、分、解”：先移项整理使右边为0，再将左边因式分解为两个一次式相乘，最后分别令每个因式为0，解一元一次方程得到原方程的根。 题型七、一元二次方程的解法——因式分解法 题型剖析 变式：用因式分解法解下列方程： (1) (y-7)(y+5)=0； (2) 4x²=25； 解：(1) y-7＝0 y+5＝0 y₁＝7，y₂＝-5 题型七、一元二次方程的解法——因式分解法 解：(2) 原方程可化为 4x²-25=0， 即 (2x)²-5²=0。 因式分解，得 (2x+5)(2x-5)=0， 即 2x+5=0 或 2x-5=0， 解得 x₁= ，x₂= 。 题型剖析 例8：如一元二次方程 x² - 4 = 0 的解是（ ） A. x₁=2,x₂=-2 B. x=-2 C. x=2 D. x₁=2,x₂=0 A 题型八、一元二次方程的解法——直接开平方法 解析：x² - 4 = 0, x²= 4, ∴ x = ± 2, ∴ x₁ = 2, x₂ = -2, 故选：A。 题型剖析 遇方程能化平方型，直接开平最省心； 形如(mx+n)² = p，先看p的正负性； p>0开方得两根，正负符号要记清； p=0时根相等，mx+n等于零； p<0方程无实根，实数范围解不成； 先整理后再开方，步骤清晰不出错。 题型八、一元二次方程的解法——直接开平方法 题型剖析 变式：如方程 (x-1)² = 0 的解是（ ） A. x₁=1,x₂=-1 B. x₁=x₂=1 C. x₁=x₂=-1 D. x₁=1,x₂=-2 B 题型八、一元二次方程的解法——直接开平方法 解析：方程 (x - 1)² = 0，根据平方的性质可得 x - 1 = 0，解得 x = 1。因为方程有两个相等的实数根，所以方程的解为 x₁ = x₂ = 1。 故选B. 题型剖析 例9：用配方法解关于 x 的一元二次方程 x² - 2x = 4，配方后的方程是（ ） A. (x-1)²=4　B. (x+1)²=4　C. (x-1)²=5　D. (x+1)²=5 题型九、一元二次方程的解法——配方法 解析： ∵ x² - 2x &= 4, ∴ x² - 2x + 1 = 4 + 1, 即 (x - 1)² = 5, 故选：C。 C 题型剖析 遇二次方程要配方，化整为一第一步； 移项要把常数移，右边等号不迷路； 一次系数取一半，平方之后两边补； 左边凑成完全平，右边常数合并住； 若右为正开平方，两解分明要记熟； 若右为零得等根，若右为负无实路； 步骤清晰按序走，配方法解方程不愁。 题型九、一元二次方程的解法——配方法 题型剖析 变式：方程 x² + 2x - 2 = 0 配方得到 (x+m)²=3，则 m 的值_________。 解析:x² + 2x = 2, x² + 2x + 1 = 3, (x + 1)² = 3. 所以 m = 1， 故答案为 1。 题型九、一元二次方程的解法——配方法 1 题型剖析 题型十、一元二次方程的解法——公式法 例10：用公式法解方程 x²-3x-1=0； 解：(1) ∵ a=1,b=-3,c=-1， ∴ = b²-4ac = (-3)² - 4×1×(-1) = 13, ∴ x = , 即 。 题型剖析 1. 明确定义内容——核心是“先化一般式、确定a,b,c、判别 符号、代入公式求解”，解题时紧扣求根公式，用移项、整理、根式化简等知识转化问题。 2. 掌握核心思路——解题抓“化、定、算、代”：先化为标准一般式，再确定系数a,b,c，接着计算判别式 ，最后代入公式求解验证。 题型十、一元二次方程的解法——公式法 题型剖析 变式：用公式法解下列方程： (1) x² - 3x + 2 = 0； (2) x(x-1) = 2。 题型十、一元二次方程的解法——公式法 解：(1) ∵ a=1,b=-3,c=2， ∴ = b² - 4ac = (-3)² - 4 × 1 × 2 = 1, ∴ x = , ∴ 原方程的根为： x₁ = 1, x₂ = 2; 题型剖析 变式：用公式法解下列方程： (1) x² - 3x + 2 = 0； (2) x(x-1) = 2。 题型十、一元二次方程的解法——公式法 解：(2) 原方程化为一般形式为：x² - x - 2 = 0， ∵ a=1,b=-1,c=-2, ∴ = b² - 4ac = (-1)² - 4 × 1 × (-2) = 9, ∴ x = , ∴ 原方程的根为： x₁ = -1, x₂ = 2. 题型剖析 题型十一、根的判别式 例11：关于x的一元二次方程x² + (k - 3)x + 1 - k = 0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 A 解析：要判断方程根的情况，计算判别式： 因为(k-1)²≥0，所以 =(k-1)²+4>0，方程有两个不相等的实数根。 答案选A。 题型剖析 1.明确判别式公式：一元二次方程ax²+ bx + c = 0（a≠0）的判别式为 = b²- 4ac，需牢记公式结构。 2.掌握判别规则：当 > 0时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0时，方程有两个相等的实数根；当 < 0时，方程无实数根，需根据 的符号准确判断。 3.结合方程分析：先确定方程的a、b、c，再计算 ，最后依据判别规则得出根的情况，确保每步逻辑清晰。 题型十一、根的判别式 题型剖析 变式：已知：关于x的方程x²- (k + 2)x + 2k = 0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 题型六、根的判别式 解：（1）证明： = (k + 2)² - 4 × 2k = (k - 2)²， ∵ (k - 2)²≥0，即 ≥ 0， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）依题意有 = (k - 2)²= 0，则k = 2， 方程化为x²- 4x + 4 = 0，解得x₁ = x₂ = 2， 故△ABC的周长= 2 + 2 + 1 = 5． 题型剖析 题型十二、根与系数的关系 例12：已知x₁，x₂是方程x² - 4x+2=0的两根． （1）填空：x₁+x₂=_______，x₁·x₂=_______， =_______， =_______； （2）求x₁ - x₂的值． 解析：(1)x₁+ x₂= 4，x₁·x₂= 2， ； ； 故答案为4，2，2，8； (2) ． 4 2 2 8 题型剖析 1.明确定义内容——一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根x₁、x₂，满足x+x₂= ，x₁x₂= ，即根与系数的关系（韦达定理）。 2.掌握核心思路——先确定方程的a、b、c，再代入根与系数的关系公式计算；代数式求值可变形为含x₁+ x₂和x₁x₂的形式后计算。 题型十二、根与系数的关系 题型剖析 变式：已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+3ax - x+2a²=1的两个实数根，其满足(3x₁ - x₂)(x₁ - 3x₂)+80=0．求实数a的所有可能值． 解：∵ x₁，x₂是关于x的一元二次方程x² + 3ax - x + 2a² = 1的两个实数根， ∴ x₁+ x₂= -3a + 1，x₁·x₂= 2a²- 1． ∵ (3x₁- x₂)(x₁ - 3x₂) + 80 = 0，即 ， ∴ 3(x₁ + x₂)² - 16x₁ · x₂ + 80 = 0， ∴3(-3a + 1)² - 16(2a² - 1) + 80 = 0， 题型十二、根与系数的关系 题型剖析 整理，得：5a²+ 18a - 99 = 0， ∴a₁= 3，a₂= ． 当a = 3时，原方程为x² + 8x + 17 = 0， ， ∴此时原方程无解，不符合题意，舍去； 当a = 时，原方程为 ， ∴符合题意．∴实数a的值为 ． 题型十二、根与系数的关系 题型剖析 题型十三、一元二次方程的应用(传播问题) 例13：有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有144人患了新冠肺炎，则每轮传染中平均一人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则 1+x+x(x+1)=144 (1+x)²=144 解得x₁ = 11，x₂ = -13（舍去）。 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人。 题型剖析 遇一元二次方程传播问题，先抓传播规律点； 明确每轮感染数设元，理清轮次关系是关键； 根据传染过程列方程，实际意义来校验； 步骤要素记分明，传播问题轻松解。 题型十三、一元二次方程的应用(传播问题) 题型剖析 题型十三、一元二次方程的应用(传播问题) 变式：为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动。求x的值。 题型剖析 题型十三、一元二次方程的应用(传播问题) 解：设小王最初邀请了x个好友转发。 第一轮转发人数为x；第二轮每个好友再邀请x人，新增转发人数为x × x = x²； 总人数为初始发布者（小王）加上两轮转发人数，即： 1 + x + x² = 111 x² + x - 110 = 0 (x + 11)(x - 10) = 0 解得x = 10（舍去负解）。 答：x的值为10。 题型剖析 题型十四、一元二次方程的应用(增长率问题) 例14：“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标，如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率。 解：设亩产量的平均增长率为x。 依题意，得 700(1+x)² = 1008 解得 x₁ = 0.2 = 20%，x₂ = -2.2（不合题意，舍去）。 答：亩产量的平均增长率为20%。 题型剖析 1.明确定义内容——一元二次方程增长率问题中，需结合增长（降低）率公式，通过设增长（降低）的百分率为未知量，建立关于未知量的一元二次方程（形如 a(1±x)ⁿ= b ，其中 a 为初始量， x 为增长率或降低率， n 为增长或降低的次数， b 为最终量）。 2.掌握核心思路——先明确初始量、最终量及增长（降低）次数，设出增长（降低）率；再根据增长（降低）率公式列出方程；求解后结合实际意义（增长率为正、降低率为正且小于1等）校验，进而解决增长率相关问题。 题型十四、一元二次方程的应用(增长率问题) 题型剖析 题型十四、一元二次方程的应用(增长率问题) 变式：某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件。为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件。 (1) 降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ (2) 要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (3) 该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润。 题型剖析 题型十四、一元二次方程的应用(增长率问题) 解：(1) 根据题意得： (360 - 280) × 60 = 4800 元 答：降价前商场每月销售该商品的利润是 4800元。 (2) 设每件商品降价 m 元，则每件的销售利润为 (360 - m - 280) 元，每月可售出 (60 + 5m) 件。 根据题意得： (360 - m - 280)(60 + 5m) = 7200 整理得： m² - 68m + 480 = 0 解得 m₁ = 8，m₂ = 60。 又∵要有利于减少库存，∴m = 60。答：每件商品应降价 60元。 题型剖析 题型十四、一元二次方程的应用(增长率问题) (3) 根据题意得： 60 + 60(1 + x) + 60(1 + x)² = 285 整理得： 4x² + 12x - 7 = 0 解得 x₁ = 0.5 = 50%，x₂ = -3.5（不符合题意，舍去）。 ∴ 60(1 + x) = 60 × (1 + 50%) = 90（件）， 60(1 + x)² = 60 × (1 + 50%)² = 135（件）。 ∴ 2月份这种商品的售价为： 360 - = 354 (元) 3月份这种商品的售价为：360 - = 345 (元) 题型剖析 题型十四、一元二次方程的应用(增长率问题) ∴ 该季度的总利润为： (360 - 280) × 60 + (354 - 280) × 90 + (345 - 280) × 135 = 20235 (元) 答：该季度的总利润为 20235元。 题型剖析 题型十五、一元二次方程的应用(工程问题) 例15：甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成。甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务。 (1) 求甲工程队每小时修的路面长度； (2) 通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值。 题型剖析 题型十五、一元二次方程的应用(工程问题) 解：（1）设乙工程队每小时修路 x 米，则甲工程队每小时修路 (2x + 30) 米。 根据题意，甲、乙两队32小时共修路4800米： 32x + 32(2x + 30) = 4800 32x + 64x + 960 = 4800 96x + 960 = 4800 96x = 3840 x = 40 甲工程队每小时修路： 2x + 30 = 2 × 40 + 30 = 110 (米) 答：甲工程队每小时修的路面长度为 110}米； 题型剖析 题型十五、一元二次方程的应用(工程问题) 解：（2）据题意，两队实际工作量之和为5800米： 40(57 + m) + (110 - 3m)(32 + m) = 5800 2280 + 40m + 3520 + 110m - 96m - 3m² = 5800 5800 + 54m - 3m² = 5800 54m - 3m² &= 0 3m(18 - m) &= 0 解得 m = 0 或 m = 18。 由于 m = 0 不符合“时间增加”的题意，舍去，故 m = 18。 答：m 的值为18。 题型剖析 遇工程问题先审题，工作总量是根基； 总量常设为单位1，也可直接给具体； 效率时间要对应，合作效率加一起； 先找等量列方程，化为标准再整理； 形如ax²+bx+c=0，判别根的情况去； 符合实际才可取，工程问题巧解题。 题型十五、一元二次方程的应用(工程问题) 题型剖析 题型十五、一元二次方程的应用(工程问题) 变式：甲、甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米。因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样。甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元。 (1) 若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？ (2) 实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化。甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 m米，若最终每天实际总成本比计划多(11m-8)万元，求m的值。 题型剖析 题型十五、一元二次方程的应用(工程问题) 解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工(2000 - x)米。 由题意得： 8(2000 - x) ≥ × 6x 解得 x ≤ 1000。 答：甲最多施工1000米。 题型剖析 题型十五、一元二次方程的应用(工程问题) 解：(2)由题意得： 整理得： m² - 8m + 16 = 0 解得 m₁ = m₂ = 4。 答：m的值为4。 题型剖析 1．如果关于 x 的一元二次方程 k²x² - (2k + 1)x + 1 = 0 有两个实数根，那么 k 的取值范围是（ ） A. B. 且 k≠0 C. D. 且 k≠0 D 解析：由题意知， k²≠0 且 = b² - 4ac = (2k + 1)² - 4k²= 4k + 1≥0 ． 解得 且 k ≠ 0 ． 故选： D ． 针对训练 2．已知 x₁ ， x₂ 是方程 x² + 3x - 1 = 0 的两根，则 x₁+ x₂- x₁x₂ 的值为（ ） A. 4 B.2 C. -4 D.-2 D 解析：根据韦达定理，对于方程 x² + 3x - 1 = 0 ，两根 x₁、 x₂满足： x₁+ x₂ = -3 ， x₁x₂= -1 。 代入 x₁ + x₂- x₁x₂得： -3 - (-1) = -2 。 故答案为D. 针对训练 3．先化简,再求值: ,其中x满足x² - x - 2 = 0. (2)原式 = = = = x(x + 1) = x² + x ， 针对训练 ∵ x²- x - 2 = 0， ∴(x - 2)(x + 1) = 0， 则x - 2 = 0或x + 1 = 0， 解得x₁ = 2，x₂= -1， ∵x≠-1且x≠-2， ∴ x = 2， 则原式 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6。 针对训练 4．如图所示，将长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。 (1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积； (2)当a = 6，b = 4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长。 针对训练 解：剩余部分的面积为阴影部分面积用 表示 剩余部分的面积为 ab - 4x² (2)当剪去部分的面积等于剩余部分的面积时 则 ab - 4x² = 4x² ∴ 8x²＝ ab ∵a = 6， b = 4 ∴ 8x²= ab = 6×4 = 24 针对训练 ∴8x² = 24 ∴x² = 3 （舍去） 故正方形的边长为 针对训练 5．定义：若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x₁和x₂(x₁≤ x₂)，分别以x₁和x₂为横、纵坐标得到点P(x₁,x₂)，则称点P为该一元二次方程的“两根点”。 (1) 求出方程x²=2x的“两根点”P的坐标； (2) 点P是关于x的一元二次方程x²-(k+1)x+k=0的“两根点”，若点P在直线y=-x上，求k的值。 针对训练 解：解:(1)x²=2x,解得x₁=0,x₂=2. ∵ x₁≤ x₂, ∴ P点的坐标为(0,2). (2)设方程x²-(k+1)x+k=0两根为x₁和x₂(x₁≤ x₂),则P(x₁,x₂). ∵点P在直线y=-x上, ∴ x₁+x₂=0,即k+1=0,解得,k=-1. 针对训练 ✅ 知识构建：一元二次方程 一元二次方程的概念→一元二次方程的一般形式（ax²+bx+c=0,a≠0）→一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）→根的判别式（Delta=b²-4ac，判断根的情况）→根与系数的关系（韦达定理）→一元二次方程的实际应用（传播问题、增长率问题、面积问题、利润问题、工程问题等，需结合实际意义检验根的合理性） 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 数形结合（借助数轴或几何图形直观表示一元二次方程根的大小与实际问题中的取值范围，清晰呈现解的合理性） 转化与化归（将实际问题转化为一元二次方程模型求解，如传播、增长率、面积、利润等问题） 分类讨论（解含参数的一元二次方程时，根据二次项系数、判别式正负等情况分类分析根的情况） 类比迁移（与一元一次方程的解法、应用类比学习一元二次方程的解法与实际应用） 课堂总结 感谢聆听! $