第01讲 几何图形初步（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第01讲 几何图形初步 第四章 三角形 3大考点 2大重难突破 4大中考命题点 22题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 立体图形与平面图形 ①通过实物和模型，了解从物体抽象出几何体、平面、直线、点等概念；②了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象几何体，制作模型；③初步形成空间观念，能进行立体与平面的相互转化。 选择题（识别几何体、判断展开图）、填空题（折叠后形状）（例如2025·江苏宿迁卷，2025·广东广州卷等）； 直线、射线、线段 ①掌握 “两点确定一条直线”“两点之间线段最短” 两个基本事实；②会比较线段长短，理解线段和、差及中点的意义；③理解两点间距离，能度量与表达两点间距离；④会用直尺、圆规作一条线段等于已知线段。 题型以选择题、填空题基础题为主。一种考法是基本事实应用（生活中 “最短路径”）（例如2025·山东滨州卷等）；另一种是概念辨析（直线 / 射线 / 线段的区别）（2025·四川达州卷等） 角的概念与计算 ①理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒，会简单换算与角的和差计算； ②理解余角、补角、对顶角，掌握：对顶角相等；同角（等角）的余角相等、补角相等；③会用量角器画角，会画一个角的平分线。 多为选择题、填空题，难度不大。常考角的简单运算（2025·陕西卷，2025·山东淄博卷，2025·江苏常州卷等）；角在三角板中的应用（2025·海南卷，2025·黑龙江齐齐哈尔卷，2025·四川南充卷） 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 相交线 ①理解垂线、垂线段概念，能用三角板/量角器过一点画已知直线的垂线；②掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的基本事实；③ 理解点到直线的距离，能度量点到直线的距离。④能识别同位角、内错角、同旁内角。 是中考基础常考点，题型涵盖选择、填空。常规考法是识别“三线八角”2025·四川攀枝花卷等；对顶角的性质应用（2025·四川乐山卷，2025·湖北卷，2025·四川眉山卷）； 平行线 ①理解平行线概念；掌握平行线的判定与性质定理；②了解 “平行于同一条直线的两条直线平行”；③能用三角板和直尺画平行线。 高频考点，多以选择题或填空形式考查，①由平行求角度（性质）（2025·四川凉山卷，2025·山东东营卷） 几何作图（初步） ①掌握基本尺规作图：作线段等于已知线段、作角等于已知角；②能用三角板、量角器画垂线、平行线。 高频考点，识别作图痕迹（如作角平分线、垂线）（2025·黑龙江大庆卷，2025·四川广安卷等）；尺规作图进行画图（2025·江苏南京卷，2025·黑龙江哈尔滨卷等） 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：2026 年全国中考数学 “几何图形初步” 模块将以基础题为主，聚焦核心概念、简单计算与直观应用，重点考查正方体展开图、线段中点、角的和差与余补角、平行线判定与性质、相交线相关角度计算，题型以选择、填空为主，偶有简单解答，难度稳定在易到中档，注重空间观念与基础逻辑推理，不涉及复杂证明，常结合生活情境与简单图形综合考查。 备考建议：备考时紧扣课标核心，夯实基础概念与计算，强化高频考点训练，熟练掌握正方体展开图判断、线段与角的计算、平行线判定与性质应用，规范几何语言与解题步骤，针对性突破易错点（如分类讨论、度分秒换算、三线八角识别），结合典型例题与真题训练，提升图形直观分析与简单推理能力，确保基础题不丢分。 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 立体图形的初步认识 一、基本概念 1.平面图形 定义：所有点都在同一平面内的图形，是二维图形，只有长度和宽度，无厚度。 常见类型： 线段、角、三角形、四边形(正方形、长方形、平行四边形、梯形)、圆、扇形、多边形等。 2.立体图形 定义：各部分不都在同一平面内的图形，是三维图形，有长度、宽度、高度(厚度)。 常见类型： 柱体：棱柱(三棱柱、四棱柱/长方体、正方体)、圆柱； 锥体：棱锥(三棱锥、四棱锥)、圆锥； 球体：球； 台体：棱台、圆台(初中较少涉及)。 知识 • 核心梳理 考点一 立体图形的初步认识 二、立体图形的分类与特征 1.棱柱(以长方体、正方体为核心) 结 构：由两个互相平行且全等的多边形底面+若干长方形侧面围成，侧棱平行且相等。 正方体：6个面都是正方形，12条棱长度相等，8个顶点。 长方体：6个面都是长方形(特殊情况2个面为正方形),相对面完全相同， 12条棱分长、宽、高三组，每组4条相等，8个顶点。 2.圆柱 结构：由两个大小相等的圆形底面+1个曲面侧面围成，侧面展开是长方形(长=底面圆周长，宽=圆柱高)。 知识 • 核心梳理 考点一 立体图形的初步认识 3.棱锥(以四棱锥为核心)结构：1个多边形底面+若干三角形侧面，所有侧面交于1个顶点。 4.圆锥结构：1个圆形底面+1个曲面侧面，侧面展开是扇形，有1个顶点。 5.球结构：由1个曲面围成，无顶点、无棱、无平面。 三、点、线、面、体的关系（几何基础） 1.点动成线：笔尖移动形成线（直线/曲线）； 2.线动成面：长方形绕一边旋转形成圆柱（面动成体的基础）； 3.面动成体：直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，半圆绕直径旋转形成球； 4.体由面围成：立体图形的表面是平面或曲面，面与面相交成线，线与线相交成点。 真题 • 实战精炼 考点一 立体图形的初步认识 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 解：根据主视图和左视图是长方形可知，该几何体是柱体，俯视图判断几何体的底面形状是正方形，说明几何体是长方体， 2．（2025·广东广州·中考真题）如图，将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 解：绕直角边所在的直线旋转一周后所得到的几何体是一个圆锥．故B选项正确． B 真题 • 实战精炼 考点一 立体图形的初步认识 3．（2025·吉林长春·中考真题）下面几何体中为圆锥的是（　　） A． B． C． D． 解： A、该几何体为正方体，不符合题意； B、该几何体为球，不符合题意； C、该几何体为圆锥，符合题意； D、该几何体为是三棱锥，不符合题意．． C 真题 • 实战精炼 考点一 立体图形的初步认识 4．（2025·四川宜宾·中考真题）下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 解： A：此图为球，故不正确； B：此图为圆锥，故不正确； C：此图为圆台，故不正确； D：此图为圆柱，故正确；故选：D． D 知识 • 核心梳理 考点二 几何图形的展开图 1.展开与折叠(判断能否围成立体图形) 正方体展开图：共11种，分4类： “一四一”型(6种)：中间4个正方形，上下各1个； “一三二”型(3种)：中间3个，上1下2; “三三”型(1种)：两行各3个； “二二二”型(1种)：三行各2个。 易错：出现“田”字、“凹”字结构的展开图不能围成正方体。 圆柱展开图：2个圆(底面)+1个长方形(侧面)。 圆锥展开图：1个圆(底面)+1个扇形(侧面)。 2.从不同方向看(三视图，中考高频) 定义：从正面、左面、上面三个方向观察立体图形， 得到的平面图形分别叫主视图、左视图、俯视图，合称三视图。 真题 • 实战精炼 考点二 几何图形的展开图 1．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 解： A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意； B．有 “田” 字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意． A 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（   ） A．中 B．国 C．之 D．都 解：与“钒”字相对面上的字是：之， C 真题 • 实战精炼 考点二 几何图形的展开图 3．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C 真题 • 实战精炼 考点二 几何图形的展开图 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； B 知识 • 核心梳理 考点三 与角相关的计算 一、角的基本概念与表示 1.角的定义 静态定义：由有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点是顶点，两条射线是边。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始边为始边，终止边为终边。 2.角的表示方法(中考常考规范) ①用三个大写字母：顶点字母在中间，如∠AOB(0为顶点); ②用一个大写字母：顶点处只有一个角时，如∠O; ③用数字：如∠1、∠2; ④用希腊字母：如∠α、∠β、∠Y。 3.角的度量 单位：度(°)、分(')、秒(”),60进制(1°=60′,1'=60”); 度量工具：量角器，测量时顶点与量角器中心重合，一边与0刻度线重合。 真题 • 实战精炼 考点三 与角相关的计算 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：点在直线上，， ， ， ， ． B 真题 • 实战精炼 考点三 与角相关的计算 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 真题 • 实战精炼 考点三 与角相关的计算 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点， ∵AD平分，∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 10 解： 真题 • 实战精炼 考点三 与角相关的计算 4．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． D 知识 • 核心梳理 考点四 相交线中相关求解 一、特殊角的关系(中考几何核心) 1.互余角定义：若∠α+∠β=90°,则∠α与∠β互余； 性质：同角(等角)的余角相等(如∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3)。 2.互补角定义：若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互补； 性质：同角(等角)的补角相等(如∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,则∠2=∠3)。 3.对顶角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、无公共边的两个角； 性质：对顶角相等(中考直接用，无需证明)。 4.邻补角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角； 性质：邻补角互补(和为180°),如∠1与∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°。 知识 • 核心梳理 考点四 相交线中相关求解 2.垂线的性质 1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(“一点”可在直线上，也可在直线外) 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。(简称：垂线段最短) 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是长度，是一个数值，不是线段本身 二、垂线的定义以及性质 1.垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角(90°)时，称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号：⊥,读作“垂直于”,如直线a⊥b,垂足为0。 真题 • 实战精炼 考点四 相交线中相关求解 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， C 真题 • 实战精炼 考点四 相交线中相关求解 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵ ∴， ∵， ∴， B 真题 • 实战精炼 考点四 相交线中相关求解 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴； C 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ． 解：∵直线，相交于点O，且， ∴， 故答案为：   知识 • 核心梳理 考点五 平行线的性质与判定 一、平行线的基本概念 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。 3.前提：必须在同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行(异面直线)。 二、平行公理及推论(基础) 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.推论(平行线的传递性): 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。 知识 • 核心梳理 考点五 平行线的性质与判定 四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”) 性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。 ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③两直线平行，同旁内角互补 五、平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2.性质：平行线间的距离处处相等。 三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”) 判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。 ①同位角相等，两直线平行 ②内错角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 真题 • 实战精炼 考点五 平行线的性质与判定 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 解： A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； C 真题 • 实战精炼 考点五 平行线的性质与判定 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． B 真题 • 实战精炼 考点五 平行线的性质与判定 3．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 解：过点C作，  ∵， ∴， ∴， ， ∴． D 解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行， 且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 真题 • 实战精炼 考点五 平行线的性质与判定 4．（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． C 真题 • 实战精炼 考点五 平行线的性质与判定 5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， D F 立体图形 命题点一 ►题型01 生活中常见的立体图形 ►题型02 从不同方向看几何图形 ►题型03 几何图形的展开图 ►题型04 求展开图两点折点后的距离 ►题型05 平面图形旋转后得到的立体图形 ►题型06 截一个几何图形 ►题型07 用七巧板拼几何图形 ►题型01 生活中常见的立体图形 【典例】（2025·贵州铜仁·模拟预测）下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（   ） A． B． C． D． 解： A、从正面看是长方形，从上面看是圆，从左面看是长方形，不合题意； B、从正面看是两个长方形，从上面看是三角形，从左面看是长方形，不合题意； C、从正面、上面、左面观察都是圆，符合题意； D、从正面看是三个长方形，从上面看是六边形，从左面看是两个长方形，不合题意． C ►题型01 生活中常见的立体图形 【变式1】（2025·山西太原·二模）素描是在纸上描绘外在形体在空间中的位置，并借此来掌握物体的明暗层次和基本形象．素描是绘画的基础，几何体则是素描的基础．如图是一副几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 解：根据题意，该作品中由几何体： 棱锥，四棱柱，球体，圆柱， 则该作品中不存在的几何体是圆锥． B 【变式2】（2025·河南信阳·三模）下面几何体的名称是 （   ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．正方体 解：根据图示可知：此几何体有四条棱，顶面和底面都是相同的四边形，故其名称是四棱柱． B ►题型01 生活中常见的立体图形 【变式3】（2025·河南商丘·模拟预测）关于下列几何体，说法正确的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2可以展开成圆形 C．四个几何体中，含有平面最多的是图3 D．只有一个顶点的几何体是图4 解： 选项A，图（1）圆锥，由一个平面和一个曲面围成，A选项符合题意； 选项B，图（2）为球由一个曲面围成，B选项不符合题意； 选项C，四个几何体中，含有平面最多的是图4，C选项不符合题意； 选项D，只有一个顶点的几何体是图1，D选项不符合题意． A ►题型02 从不同方向看几何图形 “从不同方向看”(三视图)是中考几何基础题的高频易错点，核心错因集中在空间想象不足、规则理解不清、细节忽略。以下按概念、画图、计算、综合应用四大模块，梳理最易丢分的易错点及避坑策略。 一、核心概念混淆(基础错因) 1.混淆“视图”与“图形本身” 易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。 例：圆柱的主视图是长方形(平面),不是圆柱的侧面(曲面);圆锥的俯视图是“圆+圆心”,不是单纯的圆。 避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。 ►题型02 从不同方向看几何图形 2.忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等) 易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。 例：主视图的“长”≠俯视图的“长”,左视图的“高”≠主视图的“高”。 避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。 3.误解“看得见与看不见的枝” 易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。 规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。 例：正方体挖去一个小正方体后，内部看不见的楼必须用虚线表示。 避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。 ►题型02 从不同方向看几何图形 【典例】（2025·湖北·模拟预测）由五个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看这个几何体看到的是（   ） A． B． C． D． 解：从上面看，所形成的图形第一行是个相邻的小正方形，第二行中间是一个小正方形， C ►题型02 从不同方向看几何图形 【变式1】（2024·广东·模拟预测）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 解： A、三棱锥的三视图均为三角形（或由三角形组成的图形），不存在正方形，此选项不符合题意； B、三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面边长相等且垂直底面）的正视图为中间有虚线（表示看不见的侧棱）的正方形，左视图为正方形，俯视图为等边三角形，与题目给出的三视图完全匹配，此选项符合题意； C、圆柱的俯视图为圆形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； D、长方体的俯视图为矩形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； B ►题型02 从不同方向看几何图形 【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． A 【变式3】（2025·陕西西安·二模）如图所示的几何体，从左面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 解：从左面看，可得选项B的图形． 解：从上面看，得到的平面图形如图所示： B ►题型03 几何图形的展开图 一、正方体对面判断万能口诀（必背） 1.相间必对面：在同一行（或列）中，间隔一个正方形的两个面，一定是对面。 2.Z端是对面：在展开图中，呈“Z”字形两端的两个面，一定是对面（Z的首尾）。 3.拐角必相邻：三个面形成“L”型拐角，这三个面两两相邻，无对面。 4.排除法：一个面的相邻面有4个，剩下的1个就是对面。 二、避坑提醒（绝对不能错） 1.“田”“凹”型不是正方体展开图：出现“田”字格、“凹”字形的展开图，无法围成正方体，无需找对面。 2.相邻面≠对面：有公共边或公共顶点的面，一定是相邻面，不是对面。 3.一个面只有1个对面：正方体6个面，每个面有4个相邻面、1个唯一对面，找完4个相邻面，剩下的就是对面。 ►题型03 几何图形的展开图 【典例】（2026·全国·模拟预测）如图是一个正方体的平面展开图，它的每个面上都有一个汉字．在正方体展开前，与“苏”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．强 B．富 C．美 D．高 解：在原正方体中，与“苏”字所在面相对的面上的汉字是“富”， B 【变式1】（2025·四川雅安·二模）如图，是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（    ） A．中 B．梦 C．复 D．兴 解：由正方体的展开图可知，“中”字相对面上的字是“梦”，“国”字相对面上的字是“兴”， “复”字相对面上的字是“梦”． D ►题型03 几何图形的展开图 【变式2】（2024·河南洛阳·二模）“中国航天精神”是推动中国航天事业发展的重要精神力量，其核心内涵可以概括为“特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”．为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．将“中国航天精神”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，下列是它的四种平面展开图，则在原正方体中，“中”的对面是“精”的是（ ） 解： A、选项的图案中，“中”的对面是“神”，故此选项不符合题意； B、选项的图案中，“中”的对面是“精”，故此选项符合题意； C、选项的图案中，“中”的对面是“天”，故此选项不符合题意； D、选项的图案不是正方体的展开图，故此选项不符合题意； B A． B． C． D． ►题型04 求展开图两点折点后的距离 【典例】（2025·河南周口·三模）如图是一个立方体的平面展开图，每个小正方形的边长均为1， 则在立方体上，点A，B 的距离为（    ）    A．2 B． C． D．1 解：如图 依题意，， 在立方体上，点A，B 的距离为 C ►题型04 求展开图两点折点后的距离 【变式1】（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 解：把图形围成立方体如图所示：   所以与顶点距离最远的顶点是， A ►题型04 求展开图两点折点后的距离 【变式2】（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 解：如图所示： 将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接， 最短距离为的长度， 厘米， 最短路程为厘米． D ►题型04 求展开图两点折点后的距离 【变式3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ►题型05 平面图形旋转后得到的立体图形 【典例】（2025·河北邯郸·二模）如图是一个几何体的主视图，则该几何体可以看作是由下列哪个图形绕直线l旋转一周得到的（    ） A． B． C． D． 解：根据几何体的主视图可得立体图形是一个圆柱上下各挖去了一个圆锥，只有D选项的平面图形旋转后可得立体图形的主视图， D ►题型05 平面图形旋转后得到的立体图形 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 解：根据题意得：图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是 B ►题型05 平面图形旋转后得到的立体图形 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）下列几何体中，不能由平面图形绕某直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 解： A．正方体不能由平面图形绕某直线旋转一周得到，因此选项A符合题意； B．球体可以看作圆绕着直径所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项B不符合题意； C．圆锥体可以看作一个直角三角形，绕着一条直角边所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项C不符合题意； D．圆台可以看作一个直角梯形，绕着直角腰所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项D不符合题意； A A． B． C． D． ►题型06 截一个几何图形 【典例】（2025·广东深圳·三模）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） 解 A：得到的平面图形是扇形，故该选项不符合题意； B：得到的平面图形是矩形，故该选项不符合题意； C：得到的平面图形是圆形，故该选项不符合题意； D：得到的平面图形是正方形，故该选项符合题意． D ►题型06 截一个几何图形 【变式1】（2025·河南郑州·三模）用刀截一个正方体豆腐块，截面不可能是（   ） A．三角形 B．矩形 C．六边形 D．七边形 解：用刀截一个正方体豆腐块，截面可能是三角形、矩形、六边形，不可能是七边形 D ►题型06 截一个几何图形 【变式2】（2025·陕西西安·二模）用一个平面截一个几何体，得到的截面形状是长方形，则这个几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 解：用一个平面截一个几何体， A．当该平面与长方体的一个面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； B．当该平面与圆柱的底面垂直时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； C．选项的截面不可能是长方形，故该选项符合题意； D．当该平面与三棱柱的一个侧面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意． C ►题型07 用七巧板拼几何图形 【典例】（2025·河北沧州·模拟预测）将图1的七巧板拼成火箭图案，并把图案放到图2的矩形中．在矩形中，（   ） A． B．1 C． D． 解：如图，设图1中正方形边长为 则七巧板中最小直角三角形三边长分别为，，； 最大直角三角形三边长分别为，，； 平行四边形的边长为，，小正方形的边长为， ∴图2的矩形中，， ， ∴，， ，∴， D ►题型07 用七巧板拼几何图形 【变式1】（2025·福建南平·三模）如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有 种． 解： 由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此各剪刀都得到边长为的边，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形．在每个图形上各剪一刀，如图所示： ►题型07 用七巧板拼几何图形 【变式2】（2025·甘肃天水·一模）七巧板，又称“七巧图”或“智慧板”，是一种源自中国的古老智力游戏，体现了中国古代文化的智慧和趣味，广泛应用于数学教育，帮助学生建立数学逻辑思维．在一次数学活动课上，小智用七巧板拼了一个对角线长为6的正方形（如图1），再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2），则矩形的对角线长为 ． 解：如图，由题意得， ，  ∴矩形的对角线长 ， ►题型07 用七巧板拼几何图形 【变式3】（2025·福建福州·模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为 ． 解：设“东方魔板”的边长为， 则“东方魔板”的面积为， ， ， 在中， ， ， ， 如下图所示，过点作， 则， ， ， ， ， ， 在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为． 线段中相关计算 命题点二 ►题型01 两点之间线段最短 ►题型02 线段的中点 ►题型03 最短路径问题 A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 ►题型01 两点之间线段最短 【典例】（2025·吉林·三模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（    ） 解： A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意， A ►题型01 两点之间线段最短 【变式1】（2025·吉林长春·二模）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 解：根据两点之间，线段最短可知，剩下参叶的周长比原参叶的周长小， D ►题型01 两点之间线段最短 【变式2】（2025·吉林四平·一模）如图，杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ． 解：大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约，其中的数学道理是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 两点之间线段最短 解：①当点C在线段上时，如图  ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴ ， ∴（）． ►题型02 线段的中点 【典例】（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 ②当点C在线段的延长线上时，如图： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴ ， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8 A ►题型02 线段的中点 【变式1】（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． C ►题型02 线段的中点 【变式2】（2025·云南红河·三模）已知点是线段的中点，，则线段的长度估计应在（   ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 解：∵， ∴， ∴ ∵点是线段的中点，， ∴， ∴线段的长度估计应在1到2之间； B ►题型02 线段的中点 【变式3】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为，则A，B两地之间的距离为（    ） A． B． C． D． 解：根据题意知： D ►题型03 最短路径问题 【典例】（2025·广东广州·一模）如图是一个圆锥的三视图，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发沿表面爬到的中点D，则这只蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，设， ∵弧底面圆周长，∴， ∴，即， ∵为弧中点， ∴， ∴是等边三角形， ∵D是的中点，∴， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路程是． C ►题型03 最短路径问题 【变式1】（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 解：找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． B ►题型03 最短路径问题 【变式2】（2024·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在y轴上运动，当的值最小时，点D的坐标为 ． 解：点的坐标为，点的坐标为， 两点关于轴对称， 如图，连接，与轴的交点即为点， 即此时的值最小， 直线的解析式为， 将，代入得： ，解得， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 角 命题点三 ►题型01 钟面角相关计算 ►题型02 方向角相关计算 ►题型03 角的度量 ►题型04 三角板中角度计算问题 ►题型05 实际问题中角度计算 ►题型06 与角平分线相关的计算 ►题型07 余角和补角问题 ►题型01 钟面角相关计算 核心基础(必记) 1.钟面基本参数 钟面为360°圆周，共12大格、60小格。 每大格：360°÷12=30° 每小格：360°÷60=6° 2.时针、分针转速(关键) 分针：每分钟转6°(360°÷60),每小时转360°。 时针：每小时转30°(360°÷12),每分钟转0.5°(30°÷60)。 3.核心公式(万能) 设时间为H时M分(H取0～11,M取0～59),则： 夹角=|30H-5.5M| ►题型01 钟面角相关计算 【典例】（2025·河南驻马店·三模）如图，上午10时10分整，钟表上时针和分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵时针每分钟转，分针每分钟转， ∴当时针指向上午时， 时针与分针的夹角度数为 ． D 本题考查了时针与分针的夹角，熟练掌握计算方法是解题的关键． 根据时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°， 进而求解即可． 解析 ►题型01 钟面角相关计算 解：∵ 时针速度： ，分针速度：． 对于A． 2时20分： 时针角度 ， 分针角度， 角度差 ，不垂直． 对于B． 6时15分： 时针角度 ， 分针角度 ， 角度差 ，不垂直． 对于C． 12时15分： 时针角度 ， 分针角度 ， 角度差 ，不垂直． 对于D． 3时整： 时针角度， 分针角度 ， 角度差 ， 垂直． 【变式1】（2025·广西·模拟预测）在下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．6时15分 C．12时15分 D．3时整 D ►题型01 钟面角相关计算 【变式2】（2025·安徽淮北·二模）已知时钟的分针长，初始时刻为整，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为（   ） A． B． C． D． 解：设分针走过的角度为， 由题意可知，，解得， 所以分针走了10分钟，即．故选：D． D ►题型01 钟面角相关计算 【变式3】（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 解：∵钟表一圈，共有12个数字， ∴平均分成12份 ∴相邻两个数之间的夹角为 ∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向， ∴她可以说学校在家的2点钟方向． B ►题型02 方向角相关计算 【典例】（2025·河北邯郸·三模）如图，小明沿正东方向行至A处后，沿北偏东方向继续前行至B处，接着沿北偏西方向继续前行至C处，之后小明决定沿的平行线方向行走，则小明应该（　　） A．右转 B．左转 C．右转 D．右转或左转 解：如图，过点C作，  由题意知，，， ， ， ， ， ， ， 小明应该右转或左转， D ►题型02 方向角相关计算 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ） A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 解：如图，由题意可得， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； 连接，∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点A的南偏东的方向上，故B选项错误； ∵， ∴ ∴在四边形中， ， ∴ ， ∴点E在点A的南偏东方向上， 故C选项错误； ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴ ， 故D选项正确． D ►题型02 方向角相关计算 【变式2】（2025·河北唐山·二模）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点在观测台的南偏东的方向上，点A表示另一处观测台，若，那么观测台A在起火点的 ． 解：如图：∵， ∴， ∵南北方向的直线平行， ∴， ∴， ∴观测台A在起火点的北偏东． 北偏东 ►题型02 方向角相关计算 【变式3】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿南偏东方向行走至点处，则的度数为 . 解：如图，在点处画出方位， 由题意可得，，， ， ， ， ►题型03 角的度量 【典例】（2025·浙江湖州·一模）把角度转化成度的形式： 解：∵， ∴， ∴， 【变式1】（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 解：， ►题型03 角的度量 【变式2】（2025·河南周口·二模）如图，已知，在射线上取点，以点为圆心，以为半径画弧，再以点为圆心，以长为半径画弧，两弧在上方交于点，画射线，则的度数为 （结果化成以“”为单位的数）． 解：连接，由作图可知，，， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∵， 将换算为度：， ∴． ∴， 即． ►题型04 三角板中角度计算问题 基础：标准三角板角度(必记) 中考只考一副(2块)三角板，角度固定： 等腰直角三角板：45°、45°、90° 细长三角板：30°、60°、90° 口诀：等腰45、细长三角30/60,直角都有90。 ►题型04 三角板中角度计算问题 【典例】（2026·辽宁阜新·一模）一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ． 解：∵一副直角三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， ►题型04 三角板中角度计算问题 【变式1】（2025·浙江绍兴·二模）一副三角板和按如图方式摆放，其中，点恰好落在上，且，则的度数为 ． 解：， ， ，， ， ， ►题型04 三角板中角度计算问题 【变式2】（2025·宁夏吴忠·二模）将一块含角的直角三角板按如图方式放置在纸片上，其中点，分别落在纸片边上．若，则的度数为 ． 解：∵，， ∴， ， ∴， ∴， ►题型05 实际问题中角度计算 【典例】（2024·河南周口·三模）如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 解 为水面，入射角为， ， C ►题型05 实际问题中角度计算 【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ） 解：依题意，，， ∵， ∴， 解得：， ►题型05 实际问题中角度计算 【变式2】（2024·山东临沂·模拟预测）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为 ． 解：∵， ∴， ∴ ． ►题型05 实际问题中角度计算 【变式3】（2024·江西吉安·一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ． 解：∵, ∴ ， 即入射光线与反射光线的夹角的度数为． ►题型06 与角平分线相关的计算 【典例】（2025·重庆·模拟预测）如图，，直线分别交、于点、，平分，交于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解： ， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ． B ►题型06 与角平分线相关的计算 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：由题意得， ∵平分， ∴， ∴， D ►题型06 与角平分线相关的计算 【变式2】（2025·四川成都·一模）如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． B ►题型07 余角和补角问题 【典例】（2025·云南·一模）已知，则它的余角为（ ） A． B． C． D． 解：， 的余角为． A 【变式1】（2025·陕西·一模）若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 解：∵， ∴的补角．故选：A． A ►题型07 余角和补角问题 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在ABC中，于点，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解：∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ∵ ∴ C 相交线与平行线 命题点四 ►题型01 平行线中三角板问题 ►题型02 根据平行线的性质与判定求角度 ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 ►题型04 利用平行线的性质与判定证明 ►题型05 平行线中折叠问题 ►题型01 平行线中三角板问题 【典例】（2026·山东临沂·模拟预测）将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解：在含角的三角板中，， ∵为平分线， ∴， 由三角形的内角和可得，， ∴， ∵， ∴． C ►题型01 平行线中三角板问题 【变式1】（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：由题意和图可知： ，，， ∴， ∵， ∴， A ►题型01 平行线中三角板问题 【变式2】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解：如图，， ， 又， ． C ►题型02 根据平行线的性质与判定求角度 【例题】（2026·广东中山·模拟预测）如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 解： ， ∴， ∵， ， 平分， ∴， ， C ►题型02 根据平行线的性质与判定求角度 【变式1】（2025·浙江衢州·二模）如图，直线被直线所截形成的角中， ，，则（　　） A． B． C． D． 解： ，， ， ， ， ， ； B 5 ►题型02 根据平行线的性质与判定求角度 【变式2】（2025·陕西咸阳·三模）如图，点、在线段上，点在线段上，连接、、，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， A ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：如图， 反射后的光线均平行于地面， ， ，， ． C 5 ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【变式1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． B ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【变式2】（2026·湖北·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：由题意得， ∴， ∵， ∴， C ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【变式3】（2025·贵州·一模）如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴，， 由物理知识可得反射角等于入射角， ∴， ∴， ∴， ►题型04 利用平行线的性质与判定证明 【典例】（25-26九年级上·浙江丽水·期中）如图，是的直径，、是半圆上两点，平分，与交于点，连接交于点． (1)求证：；(2)若，点为的中点，求的长． 解：（1）证明：∵平分， ∴， 又∵（都是圆的半径）， ∴， ∴， ∴ （2）∵为的中点， ∴ 又∵在和中： ∴（） ∴ ∵是的直径， ∴ （直径所对圆周角为直角）； ∵， ∴，即， ∴是的中位线； ∴； 又∵, ∴ ►题型04 利用平行线的性质与判定证明 【变式1】（2025·四川南充·一模）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：；(2)若，，求的度数． （1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解： ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即的度数为． ►题型04 利用平行线的性质与判定证明 【变式2】（2022·河北保定·三模）如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长． （1）解： 是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ►题型05 平行线中折叠问题 【典例】（2025·河北邯郸·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：如图所示： ∵折叠，∴， 则， ∵， ∴， 即， D ►题型05 平行线中折叠问题 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． B ►题型05 平行线中折叠问题 【变式2】（2025·广西来宾·一模）如图，点、分别在长方形纸片的、边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 解：如图， 过点作，则， 由折叠得：，  由折叠可得：， ∴， (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； ►突破一 线段上的动点问题 【典例】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．   （1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． ►突破一 线段上的动点问题 【典例】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．  (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度，则可分两种情况讨论， 当点在点左侧时， ， 解得； 当点在点右侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； ►突破一 线段上的动点问题 【典例】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． （3）解： 分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒， 此时， 点表示的数为， 点从到所需时间：秒， 此时， 点表示的数为， 点从到所需时间：秒， 此时， 点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒， 此时，点表示的数为， ►突破一 线段上的动点问题 【典例】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 点从到所需时间：秒， 此时， 点表示的数为， 当从到，从到时， 即， ， ， 若，则， 即，解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； ►突破一 线段上的动点问题 【典例】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 从到，从返回时， ， ， ， 若， 则， 解得； 从返回，从返回时， ， ， ， 若， 则， 解得； ►突破一 线段上的动点问题 【典例】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 从返回，从返回时， ， ， ， 若， 则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． ►突破一 线段上的动点问题 【变式1】（2026·广西钦州·模拟预测） 【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动．  【问题探究】 （1）当时，_____，_____； （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，，，射线在的右边，且，，平分． ①若，求的度数； ②已知点在直线上，在直线的上方绕点转动，当射线在射线的左边时，如图3，求出与的数量关系． ►突破一 线段上的动点问题 【变式1】（2026·广西钦州·模拟预测） 【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动．  【问题探究】 （1）当时，_____，_____； （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由； 解：（1） ∵线段，是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵线段，所以， ∴； 故答案为，； （）．理由如下： ∵，是线段的中点， ． ， ∴ ， ∴ ． ∴ ； ►突破一 线段上的动点问题 【变式1】（2026·广西钦州·模拟预测） 【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动．  【拓展延伸】 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，，，射线在的右边，且，，平分． ①若，求的度数； （）①∵平分，， ∴ ∵ ，， ∴ ． ►突破一 线段上的动点问题 【变式1】（2026·广西钦州·模拟预测） 【问题背景】如图1，线段，是线段的中点，线段，且线段在线段上移动．  【拓展延伸】 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，，，射线在的右边，且，，平分． ②已知点在直线上，在直线的上方绕点转动，当射线在射线的左边时，如图3，求出与的数量关系． ②．理由如下： ∵平分， ∴． ∵ ， ∴ ∴ ． ►突破一 线段上的动点问题 【变式2】（2025·河北唐山·三模）如图，A、、是数轴上从左到右的三个点，分别对应着数、、，且．  (1)如果原点是线段的中点，请先直接写出点A、、分别对应的数，再求代数式的值； (2)如果且，请写出原点在哪条线段上，再求的取值范围． （1）解：， ，， 是线段的中点， ，，， 代入： ， 代数式的值为， （2）解：由，， 得，， 代入： ， 解得：， ，， ， 知原点在线段上，故原点在线段上， 的取值范围是． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【典例】（2025·福建·模拟预测）综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【典例】（2025·福建·模拟预测）综合与实践： 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 证明：， ， ， ， ， ，； 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 解：过点作， ， ，， ， ， ， ， ， ； ►突破二 几何图形初步中实践探究 【典例】（2025·福建·模拟预测）综合与实践： 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． ，， 设， ， 平分， ， 过点作， ， ， 解：过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式1】（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 背景 素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题．   任务一   （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____cm． 任务二   （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 探索求圆半径的方法 任务三   （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． 任务四   （4）若矩形纸片的长，宽 ，猜想：绕______（填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式1】（2025·广东佛山·三模）综合与实践： ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式1】（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 任务一   （1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过，．现测得，则可知该圆的半径为_____cm． 解：任务一： ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径． ∵，， ∴， ∴该圆的半径为． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式1】（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 探索求圆半径的方法 任务二   （2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点在半圆上．若，，求圆的半径． 任务二：如图3，作于点N， 交于点M，连接，， 则四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；答：圆的半径为； 探索求圆半径的方法 任务三   （3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得，分别以，所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕旋转得到的圆柱体积，绕旋转得到的圆柱体积，比较大小：_____（填“”，“”或“”）． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式1】（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 任务三：解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积: ， ∴ 探索求圆半径的方法 任务四   （4）若矩形纸片的长，宽 ，猜想：绕______ （填“”或“”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式1】（2025·广东佛山·三模）综合与实践： 任务四： 解：绕旋转得到的圆柱体积； 绕旋转得到的圆柱体积， ∵， ∴ ∴， 故绕旋转得到的圆柱体积更大 ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测） 【问题探究一】（1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是___． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是___． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则____． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？结合图2猜想：与的数量关系是___． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合， 若， 则_____． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测） 【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是 ． 解：（1）在中，， ∴ ， ∵，分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴ ； ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测） 【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是 ． （2）猜想：， 理由如下：在中， ， ∵，分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴ ； ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测） 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且， 则____． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？结合图2猜想： 与的数量关系是 ． （3）∵与分别是的两个外角， 且， ∴ ， ∴ ； ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测） 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且， 则____． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？结合图2猜想： 与的数量关系是 ． （4）， 理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴ ， ∴ ； ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测） 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，， ． （用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴； ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测） 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若， 则 ． （6）∵，结合折叠， ∴ ， ， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得： ． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【变式3】（2025·广东肇庆·三模）综合与实践【主题】自制环保笔筒 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【变式3】（2025·广东肇庆·三模）综合与实践【主题】自制环保笔筒 （1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积： ， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图， 点D，点E为圆柱高的中点， 连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得 ， ， 所需绳子的最短长度为． ►突破二 几何图形初步中实践探究 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【变式3】（2025·广东肇庆·三模）综合与实践【主题】自制环保笔筒 （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是: ， 而，故该铅笔不能露出在外面． 感谢聆听! $