第01讲 图形的对称、平移和旋转（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第01讲 图形的对称、平移和旋转 第七章 图形的变换 3大考点 3大重难突破 1大中考命题点 8题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 轴对称与轴对称图形 1. 理解轴对称的概念，掌握其性质（对应点连线被对称轴垂直平分）。 2. 能识别常见的轴对称图形，如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆等。 3. 会画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。 4. 运用轴对称性质解决最短路径、折叠等问题。 1. 识别与作图：直接判断轴对称图形，或根据对称性质补全图形（如 2025・江苏苏州卷、2025・湖北武汉卷）。 2. 折叠问题：结合三角形、四边形的折叠，利用勾股定理、相似三角形求线段长度或角度（如 2025・四川成都卷、2025・广东卷）。 3. 最短路径：利用轴对称变换，解决 “将军饮马” 模型的最值问题（如 2025・山东青岛卷、2025・河南卷）。 中心对称与中心对称图形 1. 理解中心对称的概念，掌握其性质（对应点连线经过对称中心且被平分）。 2. 能识别常见的中心对称图形，如平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等。 3. 会画简单平面图形关于给定对称中心的中心对称图形。 1. 识别判断：在选择题中判断一个图形是否为中心对称图形，或区分轴对称与中心对称图形（如 2025・浙江杭州卷、2025・河北卷）。 2. 坐标变换：结合平面直角坐标系，求一个点关于原点或某点的中心对称点坐标（如 2025・湖南长沙卷、2025・福建卷）。 图形的平移 1. 理解平移的概念，掌握其性质（图形平移后，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等）。 2. 会画简单平面图形沿指定方向和距离平移后的图形。 3. 运用平移性质解决坐标变化、面积计算等问题。 1. 坐标变化：已知平移方向和距离，求平移后点的坐标（如 2025・北京卷、2025・上海卷）。 2. 作图与计算：结合网格或坐标系，画出平移后的图形，并计算平移后图形的面积或周长（如 2025・安徽卷、2025・重庆卷）。 3. 综合应用：与函数图像结合，判断函数图像平移后的表达式（如 2025・四川绵阳卷）。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 图形的旋转 1. 理解旋转的概念，掌握其性质（图形旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角）。 2. 会画简单平面图形绕某点按指定方向和角度旋转后的图形。 3. 运用旋转性质解决角度计算、全等证明、最值等问题。 1. 坐标变换：已知旋转中心、方向和角度，求旋转后点的坐标（如 2025・江苏南京卷、2025・广东深圳卷）。 2. 角度与长度计算：结合三角形、四边形的旋转，利用全等、勾股定理求角度或线段长度（如 2025・陕西卷、2025・江西卷）。 3. 综合压轴：在动态几何问题中，利用旋转构造全等三角形，解决线段和差、面积最值等难题（如 2025・浙江宁波卷、2025・天津卷）。 图形的对称、平移、旋转的综合应用 1. 能综合运用轴对称、平移、旋转的性质进行图案设计。 2. 能解决与对称、平移、旋转相关的综合计算与证明问题。 1. 图案设计：在网格中利用对称、平移、旋转进行图案设计或判断（如 2025・山东济南卷）。 2. 动态几何综合：与三角形、四边形、函数图像结合，作为中考压轴题的核心考点，考查空间想象和逻辑推理能力（如 2025・全国新课标卷、2025・四川南充卷）。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：图形的对称、平移和旋转是中考数学的核心几何内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题和中档解答题为主，难度层次分明。其中，动态几何问题和坐标变换计算是重点，旋转构造全等是难点，着重考查学生对图形变换性质的理解与应用能力。同时也常与三角形、四边形、函数等知识综合，考查学生的空间想象、逻辑推理和知识迁移能力。 备考建议： 夯实基础，精准识别：重点掌握轴对称、中心对称图形的特征，能快速准确识别。熟练掌握点坐标在平移、旋转、对称变换下的计算规则，确保基础题不丢分。 强化作图，培养直观：多练习网格中的图形变换作图，提升对图形变换的直观感知能力。通过作图加深对变换性质的理解，为解决动态几何问题打下基础。 总结模型，提升效率：总结 “将军饮马”（轴对称）、“半角模型”（旋转）等经典模型。熟悉其解题套路，能在复杂题目中快速识别并应用。 突破综合，提升能力：加强与函数、相似、勾股定理等知识的综合训练。多做动态几何压轴题，总结解题技巧，培养分析复杂图形和动态过程的能力。 关注创新，拓展思维：练习图案设计、新定义等创新题型，提升阅读理解和知识迁移能力。学会从题目中提取关键信息，将陌生问题转化为熟悉的几何模型。 知识导航•网络构建   轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 图示   性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.两个图形全等. 知识 • 核心梳理 考点一 图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 知识 • 核心梳理 考点一 图形的对称 1.轴对称图形与轴对称   轴对称图形 轴对称 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒: 折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分. 知识 • 核心梳理 考点一 图形的对称 2.中心对称图形与中心对称   中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 图形   性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等. 1）中心对称的两个图形是全等图形； 2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等. 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的(位置)关系 真题 • 实战精炼 考点一 图形的对称 1．（2025·四川绵阳·中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B. C. D. 解： A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合， 所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合， 所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也能绕某点旋转后与原图形重合， 所以该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C符合题意； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也不能绕某点旋转后与原图形重合， 所以该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意， C 真题 • 实战精炼 考点一 图形的对称 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 解：∵，， ∴ ， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ C 真题 • 实战精炼 考点一 图形的对称 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． A 真题 • 实战精炼 考点一 图形的对称 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则 ． 解：∵的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴的面积为， ∴， 知识 • 核心梳理 考点二 图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 图示   性质 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 真题 • 实战精炼 考点二 图形的平移 1．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ． 解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ． 解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即， 真题 • 实战精炼 考点二 图形的平移 本本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键． 根据平移的性质可得DF=AC、AD=CF=2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可． 解析 3．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为 ． 解：沿方向平移个单位长度得到， ，， 四边形的周长 的周长 ． 知识 • 核心梳理 考点三 图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示   性质 1）旋转前后的两个图形全等； 2）对应点到旋转中心的距离相等； 3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 真题 • 实战精炼 考点三 图形的旋转 1．（2025·陕西·中考真题）如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴n可以为（或或或）． 故答案为：（或或或） （答案不唯一）． 真题 • 实战精炼 考点三 图形的旋转 2．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ． 解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， B ∟ 真题 • 实战精炼 本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得∠BAC=30°；再由旋转的性质得∠CAD=90°,AD=AB=2,∠ADE=120°，从而得∠ADC=60°,∠ACD=30°，故可得CD=2AD，从而可求出结论． 解析 考点三 图形的旋转 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（    ）  A． B．4 C． D．6 解：在中，， ∴ ； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， B 图形的变化 命题点一 ►题型01 轴对称/中心对称的识别 ►题型02 平移/旋转/轴对称作图 ►题型03 坐标变换计算（平移/旋转/对称后点坐标） ►题型04 图形变换性质的直接应用 ►题型05 折叠问题 ►题型06 将军饮马问题 ►题型07 图形变换与函数综合 ►题型08 图形变换与几何图形综合 ►题型01 轴对称/中心对称的识别 1）寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 2）若一个图形上，存在这样的一个点，使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原来的图形重合，则这个图形就是中心对称图形. 【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B. C. D. 解： A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B ►题型01 轴对称/中心对称的识别 【变式1】（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） ►题型01 轴对称/中心对称的识别 A． B. C. D. 解： 选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； C ►题型01 轴对称/中心对称的识别 【变式2】（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B. C. D. 解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C ►题型01 轴对称/中心对称的识别 【变式3】（2025·山东济南·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B. C. D. 解： ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B ►题型02 平移/旋转/轴对称作图 【典例2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． （1）解：如图1，建立平面直角坐标系，  ∴对称中心的坐标是， 点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． -3 -2 -1 1 2 3 x O -3 -2 -1 1 3 2 y G 【变式1】（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． ►题型02 平移/旋转/轴对称作图 (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． （1）解：如图1，即为所求： ∵，向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到: ，即； （2）解：如图2，即为所求， ； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为: ►题型02 平移/旋转/轴对称作图 【变式2】（2025·山东烟台·中考真题）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：  (1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． （1）解：如图，即为所求作的三角形； 由作图可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，∵矩形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：； ∴． 【变式3】（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．   ►题型02 平移/旋转/轴对称作图 (1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． (2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． （1）解：如图1，点，直线即为所求． （2）解：如图2，点，直线即为所求． ►题型03 坐标变换计算（平移/旋转/对称后点坐标） 【典例3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴，∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴，，∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， A D ∟ 坐标变换计算（平移/旋转/对称后点坐标） 【变式1】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵平移， ∴， B ∴，∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； ►题型03 坐标变换计算（平移/旋转/对称后点坐标） 【变式2】（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， B ∟ C ∟ 坐标变换计算（平移/旋转/对称后点坐标） 【变式3】（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴， 在轴上，， ∵， ∴，， ∴， A ►题型03 坐标变换计算（平移/旋转/对称后点坐标） 【变式4】（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点A与点C关于坐标原点O中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 解析 C ►题型04 图形变换性质的直接应用 【典例4】（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（   ） A．3 B．2 C．1 D． 解：在中，， 是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， B ►题型04 图形变换性质的直接应用 【变式1】（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． （1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． ►题型04 图形变换性质的直接应用 【变式2】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．  (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． （1）证明： ∵点B，点D关于所在直线对称 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴． ►题型04 图形变换性质的直接应用 【变式3】（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接．  (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． （1）证明：和关于点O成中心对称，， ，，，四边形是平行四边形； （2）解：连接， 和关于点O成中心对称，B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ，，即， ，，， ， 四边形是菱形，， 又四边形是平行四边形， 是菱形． ►题型04 图形变换性质的直接应用 【变式4】（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长．  【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． ►题型04 图形变换性质的直接应用 【变式4】（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长．  【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， ►题型04 图形变换性质的直接应用 【变式4】（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长．  【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； （2） 理由如下： 如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即   ►题型04 图形变换性质的直接应用 【变式4】（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长．  【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． （3）如图，将 绕点B顺时针旋转， 得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． ►题型05 折叠问题 【典例5】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点 恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ►题型05 折叠问题 【变式1】（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则 ． 解：∵平行四边形纸片沿对角线折叠， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴，∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 12 ►题型05 折叠问题 【变式2】（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 解：如图，连接交于点， 过点作，垂足为， 则， ∵正方形，∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴， 又∵， ∴，∴， ∵ ∴， 设正方形边长为， 则， ∵， ∴， 在中， ， 即 解得： 或（舍去） ∴． ►题型05 折叠问题 【变式3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． （1）证明：∵四边形是正方形 ∴， ， 由折叠可得: ，， ∴， ， ∴在和中 ∴； ►题型05 折叠问题 【变式3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到 ，∵ ， ∴ 设， 则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． ►题型06 将军饮马问题 【典例6】（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点 ∴， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值， 即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为: 解：（1）如图1，点即为所求作， （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知，，， ， 【变式1】（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 将军饮马问题 E ∟ ►题型06 将军饮马问题 【变式2】（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 解：作点关于的对称点， 连接，记交于点，如图所示：∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，，∴， ∵，∴， ∵，则是等边三角形，∴， ∵是直径，∴ ∴， ∴周长 ， B 将军饮马问题 【变式3】（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为； ③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为． 解：①如图，延长交于M，过P作直线，   和是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点，为中点， 在线段上运动， 在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， 到直线l的距离， P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点， 连接，当P运动到与直线l的交点， 即共线时， 最小， 此时最小值，故①错误； 将军饮马问题 【变式3】（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为； ③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为． ②， ， 当共线时， 最小，最小值为的长度， 为的中点，， 为等边三角形的高， 的最小值为，故②正确； ③过D作于K， 过C作于T，如图，   和是等边三角形， ，， ， 即， ， 周长的最小值为6，故③正确； 将军饮马问题 【变式3】（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为； ③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为． ④设，则， ，， ， ， ， 当时， 四边形面积的最小值为， 故④正确． ②③④ ►题型07 图形变换与函数综合 【典例7】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值；(2)求直线的解析式；(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠， 点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设，根据折叠的性质， 得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得，故， 设直线的解析式为， ∴，解得， 故直线的解析式为． ►题型07 图形变换与函数综合 【典例7】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值；(2)求直线的解析式；(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时， ， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 【变式1】（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．  (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． ►题型07 图形变换与函数综合 （1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为： ； 在中，当时， ，∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 【变式1】（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．  (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为 ； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． ►题型07 图形变换与函数综合 （2）解：由函数图象可知， 当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为： ， ∴不等式的解集为； 【变式1】（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．   (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． ►题型07 图形变换与函数综合 （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D， 连接，则，由轴对称的性质可得； ∵，，∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵，∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，，∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则，∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． ►题型07 图形变换与函数综合 【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标； 若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． （1）解：抛物线与轴相交于，两点， 将两点坐标代入抛物线，得， 解得，∴抛物线的表达式， ►题型07 图形变换与函数综合 【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标； 若不存在，说明理由； （2）∵， ∴当时，， ∴，作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵，∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得，∴， ►题型07 图形变换与函数综合 【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标； 若不存在，说明理由； 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得，∴， 联立， 解得或， ∴； ►题型07 图形变换与函数综合 【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标； 若不存在，说明理由； ∵， ∴当时，，∴， 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立， 解得 或 ， ∴； 综上：或； ►题型07 图形变换与函数综合 【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值；②当时，求原抛物线平移的距离． （3）①∵，∴， ∵，同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角， 作，交轴于点，作于点，则：， ∴，同法可得直线的解析式为， ∴当时，，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴； ►题型07 图形变换与函数综合 【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值；②当时，求原抛物线平移的距离． ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移，∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位 得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为： ，∴， 联立， 解得：，∴， 作轴，交的延长线于点，  ∴， ， ►题型07 图形变换与函数综合 【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值；②当时，求原抛物线平移的距离．  ∴，∴， ∴，∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时， 同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． ►题型07 图形变换与函数综合 【变式3】（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． （1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则，∴， 再把，代入， 则，解得： 则一次函数的解析式为：． ►题型07 图形变换与函数综合 【变式3】（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． （2）解：令时，则，∴， ∵点D与点A关于点O对称，∴ 设点， ∵，∴ 又∵，， ∴， ， ， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时，即， 解得：，此时，点， 当，即， 解得：，此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 ►题型08 图形变换与几何图形综合 【典例8】（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） ►题型08 图形变换与几何图形综合 【典例8】（2025·广西·中考真题）综合与实践 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时， 如图，设交于点 交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积，∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，∴当时， 随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点， 则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵，∴四边形为梯形， ∴ ， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【典例8】（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时， ； ∴图3情形时，，； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【典例8】（2025·广西·中考真题）综合与实践 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； （3）当时，如图，设向右移动后得到， 设交于点，交于点，交于点， 则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为： ； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【典例8】（2025·广西·中考真题）综合与实践 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式1】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：  【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． [探究发现]： 解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式1】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：  【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． [探究证明]： 证明：如图：将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式1】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：  【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形， 若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ，，， 设，则， ， 为中点，，， 四边形是菱形，， 四边形是矩形，， ，，， ， ， ， ， ； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式1】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：  【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，，， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述， 四边形为轴对称图形时，的值为或． ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式2】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．  (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式2】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．  (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； G ∟ H ∟ （1）①证明：过点P作、， 如图所示：则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式2】（2025·山东德州·中考真题）  ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； G ∟ H ∟ ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； ►题型08 图形变换与几何图形综合 【变式2】（2025·山东德州·中考真题）   (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． （2）解：过点P作、，连接， 如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 ． 答：四边形的面积为． ►突破一 与图形变换有关的规律探究问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得： ∴ 设∴ 解得：（舍去） ∴ ►突破一 与图形变换有关的规律探究问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴ ， ►突破一 与图形变换有关的规律探究问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵，∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ． ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ►突破一 与图形变换有关的规律探究问题 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且，为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转，∴， 为等边三角形，的中点为， ，， 同理， 则， ∵，∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形，，此时点在点的正北方． D ►突破一 与图形变换有关的规律探究问题 【变式3】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是__ ___；②点的坐标是__ ____； ③点的坐标是_ _____；④点的坐标是___ ___；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． （1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …，一般地：； （2）解：由（1）知，， 且12次一个循环，， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． ►突破二 直线类运动轨迹问题 【典例2】（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ． 解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，， ，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ►突破二 直线类运动轨迹问题 【变式1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴ ， ，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积 ， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 2 ►突破二 直线类运动轨迹问题 【变式2】（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 解： 矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ，． A ►突破二 直线类运动轨迹问题 【变式3】（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ． 解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，， 作点B关于x轴的对称点， 把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F， 过点作交x轴于点E， 则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得，即； 过点D作轴于点G，直线与x轴的交点为， 则，∴， ∴， ∴， 即的最小值是， ►突破二 直线类运动轨迹问题 【变式4】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为 ． 解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ，， ，点G为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中， ， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【典例3】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ）  A． B． C． D． 解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【典例3】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ）  A． B． C． D． 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，∴，即， ∴，∴ ∴， 即面积的最小值为． B ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 解：∵矩形，∴， ∵翻折，∴， 当点在矩形内部时，作，交于点， 则：， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时， 点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时， 作，交的延长线于点， 同法可得： ，， ∴， 点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴，∴， ∴， ∵折叠，∴， ∴， ∴，∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的， 路径长为， ∴点的运动路径总长为：； ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为 ． 解：如图所示，连接，延长交于点，设交于点 ∵在平行四边形中，，， ，点为线段的中点． ∴，， ∴ ∴， ∵，∴， ∴， ∵ ∴∴是等边三角形， ∵动点从点开始沿边以的速度运动至点， 动点从点开始沿边以的速度运动至点∴ ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为 ． ∵∴ ∴ ∴ ∵， ∴∴ ∴，过点O， ∴点是的外心， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， ∴当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，则的运动轨迹为 ∴点的运动路径长为 ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【变式3】（2025·河南驻马店·二模）如图，等腰 中 ，，点是边上一动点，点是射线上一动点，，交于点，且．连接，当动点沿边从点移动到点过程中，长的最小值为 ． 解：等腰中 ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， 分别作和的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，如图所示： ， 点在上， 在优弧上任取点，连接、，如上图， 则，， ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【变式3】（2025·河南驻马店·二模）如图，等腰 中 ，，点是边上一动点，点是射线上一动点，，交于点，且．连接，当动点沿边从点移动到点过程中，长的最小值为 ． ，， ， 连接，，，如图所示， ， 当点在线段上时，取得最小值， 此时， ，， ， ， ， ►突破三 弧线类运动轨迹问题 【变式4】（2025宣城一模）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为 . 解：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点， 连接交半圆于点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形，∴， ∵点关于直线的对称点，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为 7 感谢聆听! $