第01讲 实数及其运算（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习课件系统覆盖实数的分类、运算等核心考点，严格对接中考说明，分析各考点考频与权重，如科学记数法、平方根等高频考点，归纳无理数估算、实数混合运算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点解析+真题实战+重难突破”模式，如通过非负性应用、数轴与实数结合等题型，培养运算能力与推理意识，详解2025年中考真题中科学记数法、实数比较等典型题，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此高效规划复习，提升学生中考得分率。

第01讲 实数及其运算 第一章 数与式 6大考点 3大重难突破 6大中考命题点 13题型探究 考点 课标要求 考法分析 实数的分类 理解实数的分类，能区分有理数和无理数，明确正实数、负实数、零的归属。 识别无理数（如开方开不尽的数、π），或结合数轴判断数的类型（如 2025・江苏扬州卷、2025・江西卷）。 实数的相关概念及其性质 掌握正数和负数、数轴、相反数、绝对值、倒数的概念及性质，理解实数的几何意义。 考查用正负数表示相反意义的量（如 2025・吉林长春卷、2025・湖南长沙卷）； 数轴上点的表示、移动及实数大小比较（如 2025・山东卷、2025・北京卷）； 直接求相反数（2025・浙江卷、2025・四川眉山卷）、 绝对值（2025・江苏连云港卷、2025・重庆卷）、 倒数（2025・山东烟台卷），常与其他概念综合考查。 科学记数法与近似数 会用科学记数法表示较大或较小的数，能按要求取近似数。 考查大数（如经济数据、人口）或小数（如时间单位）的科学记数法表示（2025・辽宁卷、2025・广东卷 T17）；注重实际背景，强调应用，近似数常结合测量、统计考查。 算术平方根、平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示，会求某些数的平方根、立方根。 直接求算术平方根、平方根或立方根，或与非负性结合解方程（2025・四川凉山卷、2025・江西卷），可能涉及简单计算和性质应用。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 实数的比较大小 会比较实数的大小，包括正数、负数和零。 实数的运算 会进行实数的混合运算，包括加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值、三角函数等。 能理解新定义运算或材料内容，解决与实数相关的综合问题。 命题预测 命题趋势：实数部分是中考数学的基础内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题为主，难度适中。其中，实数的混合运算和新定义题是重点和难点，着重考查学生对运算顺序、符号规则的熟练掌握程度，同时也会涉及到与数轴、函数等知识的综合应用，考查学生的数形结合能力和知识迁移能力。 备考建议： 重视基础概念： 重点掌握相反数、绝对值、科学记数法等基础概念的直接应用，确保在基础题上不丢分。 强化数形结合练习： 加强实数与数轴结合的题目训练，提升利用数轴分析实数问题的数形结合能力，如通过数轴比较实数大小、确定实数的位置等。 熟练掌握混合运算：针 对实数的混合运算，需综合掌握绝对值、指数幂、开方等知识点，严格遵循运算顺序，注意符号变化： 重视新定义题的训练，培养材料阅读和逻辑推理能力，提升应对创新题型的能力。 考情剖析•命题前瞻 知识导航•网络构建 知识导航•网络构建 8 知识导航•网络构建 1.实数的分类： 考点一 实数的分类 知识 • 核心梳理 知识 • 核心梳理 考点一 实数的分类 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 2. 常见的无理数： 真题 • 实战精炼 考点一 实数的分类 1．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数）， 因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， A 2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． A 解：A．1大于0，是正数，故本选项符合题意； B．0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C．小于0，属于负数，故本选项不符合题意； D．小于0，属于负数，故本选项不符合题意． 真题 • 实战精炼 考点一 实数的分类 本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键． 根据正数的定义判断各选项是否符合条件． 解析 真题 • 实战精炼 考点一 实数的分类 3．（2025·陕西·中考真题） 满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， （答案不唯一） 3 知识 • 核心梳理 考点二 实数的相关概念及其性质 1.实数的相关概念及性质 a 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 1）若a，b互为相反数，则a+b=0 2）0的相反数是0 3）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）若ab=1a，b互为倒数； 若ab=-1a，b互为负倒数； 知识 • 核心梳理 考点二 实数的相关概念及其性质 用正、负数可以表示具有相反意义的量， 一对相反意义的量， 其中一个“意义”规定用“+”表示， 则另一个“意义”必定用“-”表示． 2.用正、负数表示相反意义的量 如： 若规定向东5米为“+5米”， 则向西9米为“-9米”. 真题 • 实战精炼 考点二 实数的相关概念及其性质 1．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 解：实数的绝对值是， A 本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 解析 真题 • 实战精炼 考点二 实数的相关概念及其性质 2．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 解： A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；     B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； A 真题 • 实战精炼 考点二 实数的相关概念及其性质 3．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）  A． B． C． D． 解：由数轴得， ，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， D 知识 • 核心梳理 考点三 科学记数法与近似数 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 1.科学记数法 表示方法： 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数， n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数， n=小数点右移的位数 a= - 5.5，n= - 6 对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示. 常考的计数单位：； 常考的计量单位：. 温馨提示 知识 • 核心梳理 考点三 科学记数法与近似数 2.近似数 确定近似数的精确度的方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一数位. 精确度： 近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数： 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 例如：π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 1．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． C 解：亿， 真题 • 实战精炼 考点三 科学记数法与近似数 科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 解析 2．（2025·四川资阳·中考真题）2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆．将数“1300万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 解；1300万． B 真题 • 实战精炼 考点三 科学记数法与近似数 此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 解析 3．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 解：∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． A 真题 • 实战精炼 考点三 科学记数法与近似数 考点四 算术平方根，平方根，立方根 名称 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根，记作± 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 立方根 如果，则x叫做a的立方根，记作   正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 知识 • 核心梳理 真题 • 实战精炼 考点二 实数的相关概念及其性质 1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（    ） A． B． C．2 D．4 解：∵表示4的算术平方根，且， ∴ ． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）， 可得2的相反数是，即的相反数是． B 2．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 解：因为，所以，即4的算术平方根是2. 2 3．（2025·浙江·中考真题） ． 解：， 2 知识 • 核心梳理 考点五 实数的比较 数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，左边的数小于右边的数. 类别比较法 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 差值比较法 设a，b是两实数，若 平方比较法 若a，b是两负实数，若a＜b；若a，b是两正实数，若a＞b； 倒数法 对于符号相同的两个数，若，则a＞b；若，则a＜b. 求商比较法 设a，b是两正实数，若 估算法 设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈1.414，≈1.732，≈2.236； 真题 • 实战精炼 考点五 实数的比较 1．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 解：， ∵是无理数， C 2．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 解：， ， ， ， ， ， ∴四个数中，最大的是， D 真题 • 实战精炼 考点五 实数的比较 3．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 解：由数轴得： ， ∴， 知识 • 核心梳理 考点六 实数的运算 1.四则运算 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数. 实数的乘法法则 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 实数的除法法则 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 2.几种常见的运算 3.加法、乘法运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 知识 • 核心梳理 考点六 实数的运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识 • 核心梳理 考点六 实数的运算 4.实数的混合运算 5.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 真题 • 实战精炼 考点六 实数的运算 1．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 解：， ， ， ． 2．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 解：原式 ． 真题 • 实战精炼 考点六 实数的运算 3．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 解：原式 实数的分类 命题点一 ►题型01 实数的分类 ►题型02 无理数的估算 37 ►题型01 实数的分类 有理数与无理数的根本区别在于小数的循环与不循环.有限小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，也就是说无理数应满足两个条件，一是无限小数，二是不循环的，二者缺一不可. 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（    ） A． B． C． D． 解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B ►题型01 实数的分类 【变式1-1】（2025·山东泰安·模拟预测）下列各数，、、0、、中，负有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：依题意，， ，， ∴负有理数有数、、、共个， C ►题型01 实数的分类 【变式1-2】（2025·湖南永州·一模）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解： ，为正数； ，为负数； ，既不是正数，也不是负数； ，为负数； ，为负数； ，为负数； 所以负数个数为4个， C ►题型01 实数的分类 【变式1-3】（2025·四川资阳·模拟预测） 在，数中，其中整数有m个，非负数有n个，即 ． 解：∵，， ，， 整数有、，，，，共5个，即， 非负数有、，，，，，共6个，即， ， ►题型01 实数的分类 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小. 例如:因为25＜a＜36，则. ►题型02 无理数的估算 【典例2】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， ►题型02 无理数的估算 【变式2-1】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； C ►题型02 无理数的估算 【变式2-2】（2025·河北唐山·三模）如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（    ）  A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 解： A选项：，∴， 即在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意． B ►题型02 无理数的估算 【变式2-3】（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． ►题型02 无理数的估算 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； ►题型02 无理数的估算 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵ ， ， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 实数的相关概念及其性质 命题点二 ►题型01 实数的相关概念及性质 ►题型02 相反意义的量 ►题型01 实数的相关概念及性质 【典例2-1】（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（    ） A． B．-1 C．0 D． 解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， A 50 【典例2-2】（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． ►题型01 实数的相关概念及性质 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 解析 ►题型01 实数的相关概念及性质 【变式2-1】（2024·江苏南京·中考真题） 如果实数满足 ，那么互为相反数． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ， 的相反数是 ． B 也可填 ►题型02 相反意义的量 找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义. 【典例3】（2025·四川遂宁·中考真题）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 解：根据题意，向东跑20米记为“米”，说明向东为正方向，向西则为负方向，向西跑的距离与向东跑的距离绝对值相同，方向相反，因此向西跑20米应记为“米”；选项中B符合这一规则； B ►题型02 相反意义的量 ►题型02 相反意义的量 【变式3-1】（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（   ） A． B． C． D． A 解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． ►题型02 相反意义的量 【变式3-2】（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 解：体重增加记作， 那么体重减少应记作； 本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 解析 科学记数法及近似数 命题点三 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 ►题型02 利用科学记数法表示较小的数 ►题型03 利用科学记数法表示较小的数 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： ►题型1 利用科学记数法表示较大的数 【典例4】（2025·四川攀枝花·中考真题）银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（   ） A． B． C． D．1600000000 本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为比原整数位数少1的整数进行表示即可． 解析 B 解：16亿； ►题型1 利用科学记数法表示较大的数 【变式4-1】（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 𝟏≤|𝒂|<𝟏𝟎，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数 解析 解：千米/秒米/秒 米/秒， ►题型1 利用科学记数法表示较大的数 【变式4-2】（2025·四川南充·中考真题）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 B 解：计算25马赫的速度： （米/秒） 用科学记数法表示：（米/秒）, ►题型2 利用科学记数法表示较小的数 【典例5】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为， 其中，n为整数， 表示时关键要正确确定a的值以及n的值． n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 解析 C 解：， ►题型2 利用科学记数法表示较小的数 【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 C 解： ； ►题型2 利用科学记数法表示较小的数 【变式5-3】（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． （1）解：， 答：该铜棒的伸长量． ►题型2 利用科学记数法表示较小的数 【变式5-3】（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． ►题型2 利用科学记数法表示较小的数 【变式5-3】（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 1.取一个精确到某一位的近似数时，应是从这一位后面相邻的第一个数字进行四舍五入； 2.取较大数的近似数时，通常先把该数用科学记数法表示，再按要求精确. ►题型3 近似数与精确度 【典例6】（2025·四川资阳·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 解：A、，4在十位，故选项说法正确； B、4.6093万，精确到个位，故选项说法错误； C、用科学记数法表示的数精确到千位， 故选项说法正确； D、近似数0.6精确到十分位，0.60精确到百分位，故近似数0.6和0.60表示的意义不同，故选项说法正确； B ►题型3 近似数与精确度 【变式6-1】（2025·四川·模拟预测）西昌年地区生产总值（）首次突破亿元大关，达到亿元，持续稳坐凉山州经济“头把交椅”．这里的亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．千万位 D．百万位 解：亿， ∵亿的末位数字在还原后的数中所占的数位是百万位， ∴亿精确到百万位， ►题型3 近似数与精确度 ►题型3 近似数与精确度 【变式6-2】（2025·山东潍坊·一模）某市2025年参加中考的学生数大约为人，下列关于这个近似数说法正确的是（   ） A．精确到百位，有3个有效数字 B．精确到百位，有5个有效数字 C．精确到百分位，有3个有效数字 D．精确到百分位，有5个有效数字 A 在标准形式中的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是，且其展开后可看出精确到的是百位． 解析 解：， 所以有 3 个有效数字，， 精确到百位． 算术平方根、平方根、立方根 命题点四 ►题型01 求一个数的平方根/立方根 ►题型02 根据平方根/立方根的性质求解 ►题型03 平方根/立方根的实际应用 ►题型01 求一个数的平方根/立方根 【易错失分点】 求的平方根，要先把去根号，再求平方根 【典例7】（2025·眉山·中考真题）的立方根是 ． 解：∵， ∴的立方根为， ►题型01 求一个数的平方根/立方根 【变式7-1】（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， B 【变式7-2】（2025·山东·三模）2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（   ） A．2025的相反数是2025 B．2025的绝对值是2025 C．2025的倒数是2025 D．2025的平方根是2025 解：A、2025的相反数是，故A选项不符合题意； B、2025的绝对值为2025，故B选项符合题意； C、2025的倒数为，故C选项不符合题意； D、2025的平方根为（因），故D选项不符合题意； B ►题型01 求一个数的平方根/立方根 【典例8】（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 解：∵是的算术平方根， ∴， ∴必为非负数， ►题型02 根据平方根/立方根的性质求解 【变式8-1】（2025·湖北·模拟预测）已知实数满足、则实数（   ） A． B．2 C． D． 解：∵， ∴， ∵， ∴， A 75 【变式8-2】（2025·宁夏银川·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 . 解： ∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 4 ►题型02 根据平方根/立方根的性质求解 【变式8-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）若，则x的值为 ． 解： x的值为0，． 0， 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. ►题型03 平方根/立方根的实际应用 【典例9】（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． ►题型03 平方根/立方根的实际应用 【变式9-1】（2025·广东深圳·三模）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是 ． 解：∵大正方形的面积为8，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长， 由图可知：， ∴正方形的边长可能是； （答案不唯一） 【变式9-2】（2025·山东德州·二模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ）   A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 解：由排水法可知， 排出的水的体积即为铁块的体积， ∴铁块的体积为， ∴铁块的棱长为， ∵， ∴， ∴铁块的棱长在3和4之间， ►题型03 平方根/立方根的实际应用 B 实数的大小比较 命题点五 ►题型01 实数的比较大小 ►题型01 实数的比较大小 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法. 这里主要介绍一下平方法： 对任意正实数a，b，若a＞b； 对任意负实数a，b，若a＜b. 【典例10】（2025·青海西宁·中考真题）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 解：负数小于0，0小于正数， ， 又，，且， ， ， 最大的是， ►题型01 实数的比较大小 【变式10-1】（2025·浙江温州·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 解：∵m为小于1的正数， ∴ ∴， ∴ C ►题型01 实数的比较大小 【变式10-2】（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 解：A．∵，∴， A正确，故该选项不符合题意； B．∵，∴， ∴，即， B不正确，故该选项符合题意； C．∵，∴，∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵，∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． B ►题型01 实数的比较大小 【变式10-3】（2025·河北唐山·三模）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． （1）解：当时， ∵， ∴最大数是3，最小数是，它们的差是：； （2）解：当时，，，， ∵， ∴． ►题型01 实数的比较大小 实数的运算 命题点六 ►题型01 实数的混合运算 ►题型02 实数运算与新定义问题 ►题型01 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 【典例11】（2025·山东威海·中考真题） 计算： ． 解： ． ►题型01 实数的混合运算 【变式11-1】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： ►题型01 实数的混合运算 解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 【变式11-2】（2025·云南昆明·模拟预测） 计算： ． 解：原式 ． ►题型01 实数的混合运算 本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质、零指数幂，负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式及相关的运算法则． 根据实数的运算法则及绝对值的性质、零次幂，负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简求解即可． 解析 ►题型02 实数运算与新定义问题 1）准确理解新定义的概念、规则，将其转化为数学语言。 2）分析新定义的应用条件，避免忽略限制。 3）把新定义问题转化为常规实数运算、方程等知识求解。 4）可通过示例或特殊值验证理解，分步骤拆解问题解决。 【典例12】（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论： ① ； ②若 ，则 ③ ； ④若 ， 则的取值范围为． 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型02 实数运算与新定义问题 解：①∵，∴ ，故①正确， ②∵ ，当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立， 例如，则 ，故③不正确； ④当即时， 则：，解得：，∴； 当，即时，则：， 解得：，∴， 综上所述，，故④正确，故正确的有①和④，共2个， B 【变式12-1】（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴． ∵， ∴． D ►题型02 实数运算与新定义问题 【变式12-2】（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，， 如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 解：在中，的倍数有共4个， 因此中，末尾共有4个0，故； ∵中的因数有9， ∴能被9整除，其各位数字之和 也能被9整除， ∴是9的倍数，即， ∴， A ►题型02 实数运算与新定义问题 【变式12-3】（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如， ． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． （1）解：； （2）解： a，b均为正整数 若，则，a不为整数，此种情况不成立 若，则此时， 综上这个三位数为274 ►题型02 实数运算与新定义问题 【典例1】（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 四 ►突破一 非负性的应用 【变式1-1】（2025年四川省凉山州中考数学真题） 若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； C ►突破一 非负性的应用 【变式1-2】（2025·广东清远·三模）若与互为相反数， 则的值为 ． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ►突破一 非负性的应用 【变式1-3】（2025·贵州·一模）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， ►突破一 非负性的应用 【典例2】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（    ） A．或 B．或 C． D． 解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 A ►突破二 实数与数轴相结合的应用 【变式2-1】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ）   A． B． C． D． 解：根据数轴得 ， ∴ ， D ►突破二 实数与数轴相结合的应用 【变式2-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）   A．2 B． C． D．-2 解∶由数轴知∶ ，， ∴， ∴ ， A ►突破二 实数与数轴相结合的应用 【变式2-3】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用：如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． ►突破二 实数与数轴相结合的应用 （1）解：设经过x秒，则A表示的数为， B表示的数为， 根据题意，得： ，解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； 【变式2-3】（2024·山东威海·中考真题）定义 应用：如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． ►突破二 实数与数轴相结合的应用 （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵，∴，即， 当时，， ∵，∴，即， 当时，， ∵，∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 【典例3】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ．将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 A 【变式3-1】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 【变式3-1】（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 ． ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 解：∵ ，， 且 ， ∴ ，∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． ∴． 72 【变式3-2】（2025·上海·模拟预测）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日， 但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则： 当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． 【变式3-2】（2025·上海·模拟预测）） ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日， 但他们无法完成． (1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日； 小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则： 当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了． 此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？ 小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶... （1）解：∵， ， ∴2月14日可表示为：月 日； 【变式3-2】（2025·上海·模拟预测）如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息） ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 (2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明． （2）证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数， ∵， ∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）． 【变式3-2】（2025 安徽模拟预测）阅读以下材料，解决生活中的数学问题： 材料1：我国个人所得税起征点为每月5000元，具体规则如下： ①免税条件：月收入低于5000元的居民个人无需缴纳个人所得税； ②计税方式：超出5000元的部分按超额税率计算应纳税额． 应纳税所得额月工资收入元（起征点）-专项扣除金额； ③税率参考：具体适用税率见个人所得税税率表． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 0至3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 ．．． ．．． ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 材料2：我国个人所得税专项附加扣除项目及金额主要有以下几个部分： ①子女教育专项： 每个子女受教育阶段可享受2000元定额扣除； ②住房贷款利息专项： 首套住房贷款可享受1000元定额扣除； ③赡养老人专项： 每个独生子女赡养两位老人可扣除金额3000元； ④其它法定扣除项： 如各类保险、公益捐赠等． 问题1：某公司员工小张扣除各项费用后的应纳税所得额为1800元，请直接写出小张缴纳的税额为___________元． 问题2：某公司员工小李除有首套住房贷款外，其他不满足专项附加扣除项目，小李月工资收入为8500元，求小李税后工资为多少元． 问题3：小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读中学的孩子．小刘每月工资收入为14000元，已申报赡养两位老人；妻子每月工资收入为9000元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 解：问题1：（元） 54 问题2：（元） （元） （元） 答：小李税后工资为8425元． 个人所得税税率表 应纳税所得额 税率 0至3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 ．．． ．．． 问题3：小刘与妻子均为独生子女，需共同赡养四位老人（双方父母各两位）并养育一个在读中学的孩子．小刘每月工资收入为14000元，已申报赡养两位老人；妻子每月工资收入为9000元，已申报赡养两位老人．子女教育专项附加扣除可选择由小刘或妻子一方申报．请通过计算说明，由谁申报此项扣除能使小刘家庭缴纳的税费较少． ►突破三 利用实数的相关知识解决新情境问题 问题3：若小刘申报“子女专项附加费”小刘纳税： （元） 妻子纳税：（元） 夫妻共纳税：（元） 若妻子申报“子女教育专项” 妻子纳税： ∴妻子不纳税． 小刘纳税： （元） 夫妻共纳税：（元） ∵， ∴小刘申报“子女教育专项”缴纳税费更少． 感谢聆听! 115 $