7.5 正态分布 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第7章　 随机变量及其分布 7.5 正态分布 【课标要求】　 1.通过高尔顿板实验，理解正态分布的概念与概率密度函数的意义； 2.掌握正态曲线的特点及参数对曲线的影响； 3.应用 “3原则” 解决实际问题；感受正态分布在自然与社会中的普遍性，体会统计思维的深刻性。 【重点难点】 重点：利用正态曲线性质求随机变量在某一区间的概率 难点：应用正态分布的相关知识，解决简单的概率问题. 【教学过程】 1、 问题导学---引入新知 我们知道生活中存在很多随机事件，随机的前提一般是自然的，没有人为意识主动干涉，允许多个不确定因素。既然已经随机了，是不是就真的无规律可循了？ 思考1►►► 如何描述某地区学生成绩的分布？ 思考2►►► 在高尔顿板实验中，每一个小球在下落过程中呈现出什么分布？ 思考3►►► 在高尔顿板实验中，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图有什么特征？ 二、新知探究---理解新知 知识点一 正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称 ． 2． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 ． （1）特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从 正态分布． （2）若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． （3）正态分布的期望与方差：若，则 ， ． 知识点二 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴的____与x轴______； (2)曲线是单峰的，关于直线____对称； (3)曲线在_____处达到峰值; (4)曲线与x轴之间的面积为__; (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近__轴. (6)参数μ定位置，σ定形状： ①当σ一定时，曲线随μ的变化沿 轴平行移动； ②当μ一定时，σ越小越“ ”,σ越大越“ ” 例：若X～N(1, σ²)，且P(X<0)=a，则 (1) P(X >1)=_________； (2) P(X >0)=_________； (3) P(0<X<1)=_______； (4) P(X<2)=_________； (5) P(0<X<2)=_______. 知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 例：某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为:μ=500g,σ²=1.为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取样品，测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备.他的决定是否有道理呢? 【课后作业】题型一 正态曲线及其特点 例1．（1）设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 （2）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值，方差 （3）（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为(x∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 题型二 利用正态分布求概率 例2、设随机变量，随机变量，画出分布密度曲线草图，并指出与的关系，以及与之间的大小关系. 练习1：已知随机变量X服从正态分布，且，则 . 练习2．设随机变量服从正态分布，且，则 ． 题型三 利用正态曲线的对称性求参数 例3（1）．（多选）设随机变量X服从正态分布，且X落在区间内的概率和落在区间内的概率相等．若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． （2）已知随机变量，若，则的值为 ； 若，，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $