概率与统计 解答题专项训练-2026届高三数学二轮复习

概率与统计解答题专题 一．独立事件、古典概型 例1．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则记，否则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． (1)求随机变量的分布列，并求出的期望和方差； (2)求张老师当天穿西装的概率． 【举一反三1】第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关．其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节．该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组：硬件组2人、算法组2人、数据组2人．现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等． (1)求事件“硬件组的和算法组的同时被抽中”的概率； (2)求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率； (3)已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过．现被选中组成答辩代表小组，三人各自答辩通过的概率分别为，三人答辩通过相互独立，求该团队答辩通过的概率． 二．频率分布直方图、总体百分位数、平均数、方差 例2．某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． (1)若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) (2)从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 【举一反三2】绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：，，，得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）． （2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计 （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案． 附：参考公式和数据：，.临界值表： 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 三.相互独立、全概率公式 例3．春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”.据悉，有，，三家工厂可以各自独立生产烟花“加特林”，已知工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为. （1）分别求，，三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率； （2），，三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，求的数学期望，它反映了什么实际意义？ 【举一反三3】2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 四．独立性检验、条件概率 例4．某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 观点 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 （1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【举一反三4】甲在进行某项试验时，设计了A，B两种方案.为了判断方案的选择对试验结果是否有影响，方案A运行了60次，试验成功了40次;方案B运行了70次，试验成功了60次. （1）根据题干信息，完善以下列联表，依据的独立性检验，能否认为方案的选择对试验结果有影响. 方案 结果 合计 成功 未成功 A B 合计 （2）以题干样本数据中两个方案试验成功的频率为相应试验成功的概率，若甲在每次试验中，选择方案A的概率为现已知甲在一次试验中获得了成功，请问此次试验选择方案A的概率是多少. 参考公式及数据：. 五．二项分布、随机变量分布列 例5．课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为. (1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率； (2)乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望. 【举一反三5】某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为. ②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望： （2）若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值. 六．正态分布、超几何分布 例6．人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标，当时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件． (1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量的分布列和数学期望： (2)已知P，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案． 【举一反三6】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表： 组别 年龄 组统计结果 组统计结果 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车 27人 13人 40人 20人 23人 17人 35人 25人 20人 20人 35人 25人 （1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去. ①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数； ②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自组，求组这4人中得到礼品的人数的分布列和数学期望； （2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应取25还是35？请通过比较的观测值的大小加以说明. 参考公式：，其中. 七．线性回归方程、残差、决定系数 例7.某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班6名学生每周课外阅读时间（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数（单位：分），数据如下表： 1 2 3 4 5 6 38 40 43 45 50 54 (1)根据上述数据，求出高三学生语文作文分数与该学生每周课外阅读时间的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩； (2)从这6人中任选2人，记为语文作文分数不小于45分的人的个数，求的分布列及期望． 参考公式：，参考数据： 【举一反三7】BMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm时，我们说身高较高，身高小于170cm时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 166 167 160 173 178 169 158 173 体重（kg） 57 58 53 61 66 57 50 66 （1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 166 167 160 173 178 169 158 173 体重（kg） 57 58 53 61 66 57 50 66 残差 0.1 0.3 0.9 ﹣1.5 ﹣0.5 （2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. 参考公式： ，.. 参考数据：，，，，. 八.非线性回归方程、相关系数的计算 例8．某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【举一反三8】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图： 参考数据：其中，，，，，，，， (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)求声音强度D关于声音能量I的回归方程． (3)假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 九、决策性问题 例9.甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，，①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【举一反三9】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖． (1)求只抽3次即获奖的概率； (2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 十、概率与主干知识的交汇问题 例10.为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 （1）求的值； （2）设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； （3）求． 【举一反三10】宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率． （1） 从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2） 从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率与统计解答题专题 一．独立事件、古典概型 例1．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则记，否则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． (1)求随机变量的分布列，并求出的期望和方差； (2)求张老师当天穿西装的概率． 【解析】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，掷出的点数之和是3的倍数有：，12种； 则掷出的点数之和不是3的倍数有24种， 随机变量的取值为0，1，，所以的分布列为： 0 1 ．； （2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装． 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为， 穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为， 则当天穿西装的概率为． 所以张老师当天穿西装的概率为． 【举一反三1】第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关．其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节．该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组：硬件组2人、算法组2人、数据组2人．现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等． (1)求事件“硬件组的和算法组的同时被抽中”的概率； (2)求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率； (3)已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过．现被选中组成答辩代表小组，三人各自答辩通过的概率分别为，三人答辩通过相互独立，求该团队答辩通过的概率． 【解析】（1）从6人中随机抽取3人的所有可能组合为：， ， ， ，共20种．记“硬件组的和算法组的同时被抽中”为事件，则事件包含：，，共4种，所以． （2）记“硬件组恰有1人被抽中”为事件，则事件包含：， ， ，共12种，所以． （3）记答辩通过分别为事件H，A，D，则， 记“该团队答辩通过”为事件，则，     二．频率分布直方图、总体百分位数、平均数、方差 例2．某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． (1)若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) (2)从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 【解析】（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， 第1组的频率的平方为第2组和第4组频率的积，所以，解得 ， 又 ，解得，所以， 成绩落在 内的频率为：，落在内的频率为： ，设第70百分位数为，则，解得 ，所以晋级分数线划76较为合理. （2）由图可知， 按分层抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人， 分别记为 和 ，则所有的抽样有： ， 共 15 个样本点， "抽到的两位同学来自不同小组"，则 ， 共 8 个样本点，所以 ． （3）因为 ， 所以，所以 ，所以 ， 剔除其中的 和 86两个分数， 设剩余 8 个数为 ，，平均数与标准差分别为 ，则剩余 8 个分数的平均数： 方差：. 【举一反三2】绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：，，，得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）． （2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计 （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附：参考公式和数据：，.临界值表： 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【解析】（1）． 估计今年7月份游客人均购买水果的金额为元． （2）列联表如下： 水果达人 非水果达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 ,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． （3）若选方案一：则需付款元； 若选方案二：设付款元，则可能取值为，96，，． ， ，， ，所以． 因为，所以选择方案二更划算． 3． 相互独立、全概率公式 例3．春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”.据悉，有，，三家工厂可以各自独立生产烟花“加特林”，已知工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为. （1）分别求，，三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率； （2），，三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，求的数学期望，它反映了什么实际意义？ 【解析】（1）设，，三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品分别为事件，，，依题意，则，即， 所以，解得或（舍去）， 所以，. （2）依题意随机变量的取值为、、、， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， 数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，它反映了随机变量平均取值的大小. 【举一反三3】2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 【解析】（1）由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. （2）记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4. 四．独立性检验、条件概率 例4．某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据： 观点 高二 高三 热爱 30 20 不热爱 20 （1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；（2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）由题意可知，高二学生热爱数学概率为，热爱数学的学生人数，则，， ，，故的分布列为： 0 1 2 3 的期望为． （2）因为根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，所以， 令，则， 所以， 因为的对称轴为， 且当时，，所以在上恒大于0，在上单调递增，而，所以实数的最小值为57． 【举一反三4】甲在进行某项试验时，设计了A，B两种方案.为了判断方案的选择对试验结果是否有影响，方案A运行了60次，试验成功了40次;方案B运行了70次，试验成功了60次. （1）根据题干信息，完善以下列联表，依据的独立性检验，能否认为方案的选择对试验结果有影响. 方案 结果 合计 成功 未成功 A B 合计 （2）以题干样本数据中两个方案试验成功的频率为相应试验成功的概率，若甲在每次试验中，选择方案A的概率为现已知甲在一次试验中获得了成功，请问此次试验选择方案A的概率是多少.参考公式及数据：. 【解析】（1）完善列联表如下， 方案 结果 合计 成功 未成功 A 40 20 60 B 60 10 70 合计 100 30 130 零假设方案的选择对试验结果没有影响， 根据列联表中的数据，经计算可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为方案的选择对试验结果有影响，此推断犯错的概率不超过； （2）在一次试验中，选择方案A记为事件A，选择方案B记为事件B，试验成功记为事件， 由题意，得A与B是对立事件，且，， ，， 所以， 故甲在一次试验中获得了成功，则此次试验选择方案A的概率是. 五．二项分布、随机变量分布列 例5．课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为. (1)求甲3次投篮的得分超过3分的概率； (2)乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望. 【解析】（1）甲3次投篮投进的次数为，则， 故甲3次投篮的得分超过3分的概率. （2）记“乙第次投篮投进”为事件， 由题意可得：的可能取值为，则有： ， ， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 故的期望. 【举一反三5】某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为. ②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望： （2）若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值. （1）小明同学答每个问题的概率，则， 故，， ，. 则的分布列为 0 1 2 3 故. （2）记事件为小明同学答对了道题，事件为唐老师答对了道题，，， 其中小明同学答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则，， ，， 所以小明同学获胜的概率为 ， 解得，故的最小值为. 六．正态分布、超几何分布 例6．人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标，当时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件． (1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量的分布列和数学期望： (2)已知P，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案． 【解析】（1）由题意可知的可能取值为1,2,3， ∴ξ的分布列如下： 1 2 3 P ∴． （2）∵且，∴． ∴这批产品的次品率为设该工厂生产的这批产品有n件，记Y为这批产品的次品数量，则若这批产品不检测，则该工厂的利润的期望为．若选择方案一，则该工厂的利润的期望为令，解得． 若选择方案二，假设抽样检测件，则检测出的次品的期望为0.04m件，不检测的产品有件，则该工厂的利润的期望为 令，解得．则， ∵，且，∴．∴，并从工厂盈利的角度应选择方案一、． 【举一反三6】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表： 组别 年龄 组统计结果 组统计结果 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车 27人 13人 40人 20人 23人 17人 35人 25人 20人 20人 35人 25人 （1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去. ①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数； ②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自组，求组这4人中得到礼品的人数的分布列和数学期望； （2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应取25还是35？请通过比较的观测值的大小加以说明. 参考公式：，其中. 【解析】（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为. ②组这4人中得到礼品的人数的可能取值为0，1，2，3，相应概率为： ，，，. 故其分布列为 0 1 2 3 ∴. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表： 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到35岁 125 75 200 达到35岁 55 45 100 合计 180 120 300 时，由（1）中的列联表，可求得的观测值. 时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表： 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到25岁 67 33 100 达到25岁 113 87 200 合计 180 120 300 可求得的观测值. ∴，欲使犯错误的概率尽可能小，需取. 七．线性回归方程、残差、决定系数 例7.某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班6名学生每周课外阅读时间（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数（单位：分），数据如下表： 1 2 3 4 5 6 38 40 43 45 50 54 (1)根据上述数据，求出高三学生语文作文分数与该学生每周课外阅读时间的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩； (2)从这6人中任选2人，记为语文作文分数不小于45分的人的个数，求的分布列及期望．参考公式：，参考数据： 【详解】（1）根据表中数据，可得， ，， 则，， 故关于的线性回归方程为：，当时，. 预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩为分. （2）依题意，6人中语文作文分数不小于45分的有3人，的可能值有， 则，，.则的分布列为： 0 1 2 故的数学期望为. 【举一反三7】BMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm时，我们说身高较高，身高小于170cm时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 166 167 160 173 178 169 158 173 体重（kg） 57 58 53 61 66 57 50 66 （1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 166 167 160 173 178 169 158 173 体重（kg） 57 58 53 61 66 57 50 66 残差 0.1 0.3 0.9 ﹣1.5 ﹣0.5 （2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. 参考公式： ，.. 参考数据：，，，，. 【解析】（1）由题意知线性回归方程为，计算，，.完善下列残差表如下， 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm）xi 166 167 160 173 178 169 158 173 体重（kg）yi 57 58 53 61 66 57 50 66 残差 0.1 0.3 0.9 ﹣1.5 ﹣0.5 ﹣2.3 ﹣0.5 3.5 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值. （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且 由，计算修订后 又，，修订后. 所以， .所以关于的线性回归方程是. 八..非线性回归方程、相关系数的计算 例8．某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .②参考数据：. 【解析】（1）令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. （2）由（1）知，用模型比较合适，令，则可化为，即，所以，因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 【举一反三8】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图： 参考数据：其中，，，，，，，， (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)求声音强度D关于声音能量I的回归方程． (3)假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【解析】（1）更适合． （2）令，则，        ，        D关于W的回归方程是，则D关于I的回归方程是． （3）设点P处的声音能量为，则．因为所以 当且仅当，即时等号成立 所以，所以点P处会受到噪声污染 九、决策性问题 例9.甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【解析】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，则. ②依题可知，的可能取值为，则 ，所以. （2）设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为， 则 由， 得因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 【举一反三9】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖． (1)求只抽3次即获奖的概率；(2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 【解析】（1）设事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡， （j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖， 则，， 所以. （2）设事件D表示获奖，则， 且，为互斥事件， ， 由（1），， ， ， 又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖的人数，若促销的30天中预计有360人参加活动，则， 所以，即估计获奖人数的平均值为30，又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，，所以商家准备60套书签作为奖品较为合理． 十、概率与主干知识的交汇问题 例10.为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 （1）求的值；（2）设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望；（3）求． 【解析】（1）由题可知， （2）随机变量所有可能取值为：3，4，5，6， 的分布列 3 4 5 6 ； （3）爬到第个台阶有两种情况：情形一：爬到第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶，情形二：爬到第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶， 故，则，所以，，又，故是等比数列，， 故. 【举一反三10】宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率． （1） 从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； 【详解】（1）的可能取值为2,3,4， ,, 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 所以..................................................5分 (2)因为这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家，所以，，则 由两式相减得， 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $