第九章 概率与统计（举一反三综合训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

第九章 概率与统计（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·云南·模拟预测）已知一组数据：3，7，，12，15的平均数为9，则该组数据的第40百分位数为（   ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【解题思路】先由平均数9解出，为整数，则该组数据的第40百分位数为从小到大排列的第2位与第3位的平均数. 【解答过程】因为，解得， 从小到大排列数据为：3，7，8，12，15． 又因为，所以这组数据的第40百分位数为：， 故选：C． 2．（5分）（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先写出通项，进而计算第四项即可； 【解答过程】二项式的通项为， 则． 故选：A. 3．（5分）（2025·陕西汉中·模拟预测）若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】基本事件总数为，利用分步乘法原理结合排列组合求出符合条件的方案数，从而可求出概率. 【解答过程】从6人中选3人排列共有种，由题意得 去班的方案有：种； 去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种； 所以，满足条件的方案数是：. 所以所求概率是. 故选：D. 4．（5分）（2026·陕西榆林·二模）已知一组样本数据的方差为2，则数据的方差为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用方差和平均数的概念和性质，结合已知条件计算求解． 【解答过程】样本数据的方差为，设样本平均数为， ， 数据的平均数为 ， ，故D正确． 故选：D． 5．（5分）（2026·山东济南·一模）我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1222.1亿元 B．1310.9亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 【答案】B 【解题思路】先利用样本中心点在回归直线上的性质，求出截距，再代入2025年对应的时间变量计算预测值. 【解答过程】， 所以样本中心点为满足回归方程， 代入得：，计算得： 所以回归方程为. 2025年对应的时间变量，代入回归方程： 因此，预测我国2025年科幻产业营收为1310.9亿元. 故选：B. 6．（5分）（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据随机变量分布列的性质，所有概率之和为，可求解，再进行计算即可. 【解答过程】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以. 故选：D. 7．（5分）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解. 【解答过程】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列， 有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法. 故选：B. 8．（5分）（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【解答过程】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·湖北荆门·模拟预测）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75 【答案】AB 【解题思路】利用正态分布的性质及正态曲线求解出的值和的值，利用公式及求解，由两组电池能否正常使用相互独立，利用独立重复试验求概率. 【解答过程】对于选项A，，，， ，， ，，故选项A正确； 对于选项B， ，故选项B正确； 选项C，，， 故选项C错误； 选项D，，，，， 两组电池能否正常使用相互独立， 这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为，故选项D错误. 故选：AB. 10．（6分）（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【解答过程】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC. 11．（6分）（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望公式，可判断C、D的正误. 【解答过程】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以，故C正确，D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·福建厦门·二模）某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有___________种（用数字作答）． 【答案】18 【解题思路】结合排列组合知识，按照分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【解答过程】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法. 所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有种. 故答案为：18. 13．（5分）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为________. 【答案】 【解题思路】先计算出不喜欢蒜蓉口味的食客的概率，再计算出喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的概率，最后利用条件概率求解即可. 【解答过程】记事件：喜欢麻辣口味的食客；记事件：喜欢蒜蓉口味的食客， 则喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客为， 由题意可知， 则不喜欢蒜蓉口味的食客的概率为：， 由喜欢麻辣口味但不喜欢蒜蓉口味的食客的事件为：， 则， 所以从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人， 则此人喜欢麻辣口味的概率为：， 故答案为：. 14．（5分）（2026·河南开封·模拟预测）甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为___________；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为___________. 【答案】； 【解题思路】第一空：分两种情况：从甲箱摸出非黄球、乙箱摸出非黄球；从甲箱摸出黄球、乙箱摸出黄球，再利用古典概型概率公式计算；第二空：先分析的可能取值，计算每个取值的概率，再计算的值. 【解答过程】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况： 一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率； 另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率， 则甲箱中恰有3个黄球的概率为， ②由题知的取值可能为4，5，6， 当时，甲箱中取出的是蓝球或黄球，乙箱中取出的是红球，此时概率；当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是红球， 或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率； 当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是黄球，此时概率， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异 【解题思路】（1）根据统计表格中的数据，利用古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据列联表中的数据，计算得到，结合附表，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：根据统计表格中的数据，可得甲部门的职工熟练使用AI工具的概率为； 乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为． （2）解：零假设为：甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 根据列联表中的数据，计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据拒绝原假设， 即认为甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 16．（15分）（2026·陕西榆林·模拟预测）某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 【答案】(1)75 (2)28.2 【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算出样本的中位数. （2）利用分层抽样的方差公式计算即得． 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得，解得，    数据在的频率为，在的频率为， 所以样本的中位数约为. （2）由（1）知数据在上与上的频率之比为， 因此样本数据的总平均重量（克），             所以总方差. 17．（15分）（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【解答过程】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得 ， 所以甲获胜的概率为． 18．（17分）（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)游戏Ⅱ 【解题思路】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果； （2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望； （3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ. 【解答过程】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 19．（17分）（2026·福建泉州·二模）如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置．若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量．例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即． (1)求，； (2)证明：； (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮．记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)分布列见解析，证明见解析 【解题思路】（1）记为棋子顺时针移动次，为棋子逆时针移动次，则、，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据、计算概率，即可证明； （3）先分析连续移动6次后的取值情况，即可求出，从而得到随机变量的分布列，再利用错位相减法求出，即可得证. 【解答过程】（1）记为棋子顺时针移动次，为棋子逆时针移动次， 则与互斥. 所以，； （2）因为， ， 所以. （3）先分析连续移动6次后的取值情况：6次均为顺时针，则； 5次顺时针1次逆时针，则； 次顺时针2次逆时针，则； 3次顺时针3次逆时针，则； 次顺时针4次逆时针，则； 1次顺时针5次逆时针，则； 次逆时针，则. 故. 所以的可能取值为，其中 ， ； 所以随机变量的分布列如下： 1 2 3 9 10 由. 令， 则． 两式相减，得， 即， 故，又因为，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 概率与统计（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·云南·模拟预测）已知一组数据：3，7，，12，15的平均数为9，则该组数据的第40百分位数为（   ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 2．（5分）（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（2025·陕西汉中·模拟预测）若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2026·陕西榆林·二模）已知一组样本数据的方差为2，则数据的方差为（    ） A．0 B．2 C． D． 5．（5分）（2026·山东济南·一模）我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1222.1亿元 B．1310.9亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 6．（5分）（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（5分）（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·湖北荆门·模拟预测）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.75 10．（6分）（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·福建厦门·二模）某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有___________种（用数字作答）． 13．（5分）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为________. 14．（5分）（2026·河南开封·模拟预测）甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为___________；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（15分）（2026·陕西榆林·模拟预测）某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 17．（15分）（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 18．（17分）（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 19．（17分）（2026·福建泉州·二模）如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置．若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量．例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即． (1)求，； (2)证明：； (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮．记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $