专题06 三角函数中的图象变换、恒等变换与最值范围（3大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题06 三角函数中的图象变换、恒等变换与最值范围 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 三角函数的图像伸缩平移与三角函数的性质综合 题型02 三角恒等变换求解析式与三角函数的性质综合 题型03 在三角形或一般函数背景下求最值与范围 模块三、综合实战演练 一、求三角函数解析式的优先策略： 一、第一优先：锁定标准解析式形式（定框架，不跑偏） 所有三角函数解析式最终都化为正弦/余弦标准型，根据题目条件优先选形式，直接搭建解题框架，无需复杂变形： 1. 首选正弦型：（适配含周期、单调、最值、图像平移/伸缩的场景，高考最常用）； 2. 余弦型备选：（适配含对称轴为y轴、初始值为最值的场景，少走相位推导弯路）； 3. 基础型兜底：/（无上下平移、相位简单时直接用）。 关键：若题目给图像/最值，直接锁定含（振幅）、（纵移量）的形式；仅给周期/单调，先定再补其他参数。 二、第二优先：由直观特征求定参（先易后难，先求无争议参数） 按「（纵移）→（振幅）→（周期）→（相位）」的顺序求参，先求无需推导的直观参数，再解复杂相位，避免参数混淆。 步骤1：求纵移量（上下平移，由最值直接得） （最值的平均值，无上下平移时）； 步骤2：求振幅（最值差，非负） （振幅恒为正，与函数增减无关）； 步骤3：求角频率（由周期定，核心公式记牢） - 核心公式：（正弦/余弦通用，，无特殊说明时直接取正）； - 周期的求法：① 图像上相邻最高点/最低点/零点的水平距离；② 性质给出的周期直接用；③ 平移/伸缩条件推导（如横坐标缩短为1/2，变为原来1/2）； 步骤4：求相位（最后求，2种核心方法，按需选） 方法1：特殊点代入法（首选，简单直接，适配所有场景） - 选点原则：优先选最高点、最低点、零点（与x轴正方向交点）（坐标无误差，计算简单），避开图像上的模糊点； - 步骤：将代入标准型，把所选特殊点代入解析式，解关于的方程，结合的范围要求（如）定唯一值。 方法2：相位平移法（适配图像平移/伸缩背景，直接推） - 核心：由“基函数（）→变换后函数”的平移/伸缩条件，直接推； 三、第三优先：恒等变换化简求解析式（适配无图像/仅给三角等式条件） 若题目无图像、仅给三角恒等式、角度关系、函数值，优先用三角恒等变换化简，再化为标准型，核心步骤： 1. 降幂扩角：用降幂公式（，）消平方项，统一角的倍数； 2. 和差化积/积化和差：合并同类三角项，减少函数种类； 3. 辅助角合一：用（辅助角公式），化为单一正弦/余弦标准型； 4. 整理参数：从化简后的标准型中直接读出，完成解析式求解。 一、求三角函数的性质的重要技巧：换元法 一、核心换元原则（3条必守，不跑偏） 1. 整体换元：将（相位整体）或含的整式/分式整体设为新变量，记为； 1. 定新元范围：根据原函数的定义域，严格推导的取值范围（最关键步骤，决定后续性质求解的准确性）； 1. 保对应关系：换元后原函数转化为，原函数的性质由和的性质复合推导（如单调性遵循“同增异减”）。 二、高频换元场景+解题技巧（分题型，直接套用） 场景1：求的单调区间/对称轴/对称中心 最基础换元，适配所有三角标准型，优先用 1. 换元：令（），原函数化为/； 2. 定范围：若，则；若无定义域限制，； 3. 求的性质：套用的核心性质（直接记结论）： - 单调增区间：→，→（）； - 单调减区间：→，→（）； - 对称轴：→，→； - 对称中心：→，→； 4. 回代求：将代入的性质结论，解关于的不等式/方程，得到原函数性质。 关键：若，先利用奇偶性将化为正（如），避免单调性判断错误。 场景2：求含平方/分式的三角函数值域/最值（如、） 换元消三角，转化为初等函数求最值，核心技巧 1. 换元：令或，利用、，定； 2. 转化函数：将原函数化为关于的二次函数/一次分式函数/一次函数（如、）； 3. 求初等函数最值：结合的范围，利用二次函数对称轴/分式函数单调性求值域/最值； 4. 回代验证：若有需要，将的最值点回代为的取值（无需则省略）。 拓展：若含，令，则，且，实现“和积互化”换元。 三、换元法解题标准化步骤（4步通解，所有题型适用） 1. 设元：根据函数结构，令内层相位/三角整体为，简化原函数； 1. 定界：由原函数的定义域，推导的准确取值范围（无定义域则）； 1. 求解：将三角问题转化为的初等函数问题，求的性质（单调、最值、对称）； 1. 回代：将/回代，解出原函数关于的性质结论。 题型01 三角函数的图像伸缩平移与三角函数的性质综合 1．已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 2．已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得的解析式唯一确定，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为；③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 3．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若函数的图象可由函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，求当时，函数的值域． 4．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 5．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若为上的偶函数，求的值； (3)将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有最小值，无最大值，求的取值范围. 一、核心：图像变换遵循“先平移后伸缩，左加右减、上正下负”，变换后结合单调性、奇偶性、对称性质求解 二、解题技巧（四步标准化） 1. 基式定位：明确原函数（如/），标注核心性质（周期、对称轴等）； 2. 按序变换：严格遵循平移→伸缩（横坐标）→伸缩（纵坐标）→上下平移（平移仅针对，伸缩需提系数），记变换规则： - 左右平移：，左加右减； - 横坐标伸缩：，周期变为，伸缩比； - 纵坐标伸缩：，振幅变为； - 上下平移：，上正下负； 3. 写变换后解析式：整理为/标准形式； 4. 结合性质求解：由求周期、相位，再求单调区间、对称轴、对称中心（代入标准性质公式求解）。 题型02 三角恒等变换求解析式与三角函数的性质综合 1．已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知，若关于的方程在区间上恰有两个不同实根，求的取值范围． 2．已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求的值和在区间上的单调递减区间； (2)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 3．已知函数． (1)求的最小值； (2)若，，（且），求的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值，无最小值，求的取值范围． 4．已知函数． (1)求的单调递增区间． (2)若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 5．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 一、核心：用恒等变换公式将复杂式子化为标准型，再分析性质，化简是前提，公式是关键 二、 解题技巧（五步标准化） 1. 降幂扩角：用降幂公式（、）消去平方项，统一角为/； 2. 辅助角合一：用两角和差公式/辅助角公式（，），将多三角项化为单一正弦/余弦式； 3. 整理标准型：化为/，标注； 4. 求核心性质： - 周期：；振幅：；值域：； - 单调区间：令代入单调区间，解； - 对称中心/对称轴：代入的对称性质公式，解； 5. 结合条件求解：根据题目给出的定义域、特殊点等，细化性质结论。 三、必记核心公式（直接套用） - 降幂公式：，； - 辅助角公式：（满足，）； - 两角和差：，。 题型03 在三角形或一般函数背景下求最值与范围 1．在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 2．如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 4．已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 5．如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 一、核心：先定约束条件（三角形中用正余弦定理、内角和；一般函数中用定义域），再将式子化为单三角函數，结合值域求最值 二、分场景解题技巧（两大场景，针对性突破） 场景1：三角形背景下（核心：内角和+正余弦定理） 1. 角的约束：利用，将多角化为单一角（如），角范围均为； 2. 边角化归： - 求角的最值：用余弦定理将边转化为角（），结合基本不等式； - 求边的最值：用正弦定理（）将边转化为角的正弦式； 3. 单角化简：将所求式子化为（为单一内角，范围）； 4. 定域求最值：结合角的范围求的范围，再根据正弦/余弦函数的单调性求最值。 场景2：一般函数背景下（核心：定义域约束+三角恒等变换） 1. 化简解析式：用恒等变换化为/标准型； 1. 定内层范围：根据的定义域，求的取值范围； 1. 结合图像求最值：画出（）的图像，根据单调性+端点值求值域，即得的最值/范围； 特殊约束：若含平方/分式，可换元（令/，），转化为二次函数/分式函数求最值。 1．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 2．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 6．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 7．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．当时， 8．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． 9．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 10．已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 11．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是___________． 12．在中，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 13．已知函数，其中 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 14．在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 15．已知函数. (1)若函数的最小正周期为，求函数的单调递增区间； (2)若函数在上有最大值和最小值，求的取值范围； (3)当时，若存在，使得对任意的，都有，求实数的取值范围. 16．已知函数，其中. (1)若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数中的图象变换、恒等变换与最值范围 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 三角函数的图像伸缩平移与三角函数的性质综合 题型02 三角恒等变换求解析式与三角函数的性质综合 题型03 在三角形或一般函数背景下求最值与范围 模块三、综合实战演练 一、求三角函数解析式的优先策略： 一、第一优先：锁定标准解析式形式（定框架，不跑偏） 所有三角函数解析式最终都化为正弦/余弦标准型，根据题目条件优先选形式，直接搭建解题框架，无需复杂变形： 1. 首选正弦型：（适配含周期、单调、最值、图像平移/伸缩的场景，高考最常用）； 2. 余弦型备选：（适配含对称轴为y轴、初始值为最值的场景，少走相位推导弯路）； 3. 基础型兜底：/（无上下平移、相位简单时直接用）。 关键：若题目给图像/最值，直接锁定含（振幅）、（纵移量）的形式；仅给周期/单调，先定再补其他参数。 二、第二优先：由直观特征求定参（先易后难，先求无争议参数） 按「（纵移）→（振幅）→（周期）→（相位）」的顺序求参，先求无需推导的直观参数，再解复杂相位，避免参数混淆。 步骤1：求纵移量（上下平移，由最值直接得） （最值的平均值，无上下平移时）； 步骤2：求振幅（最值差，非负） （振幅恒为正，与函数增减无关）； 步骤3：求角频率（由周期定，核心公式记牢） - 核心公式：（正弦/余弦通用，，无特殊说明时直接取正）； - 周期的求法：① 图像上相邻最高点/最低点/零点的水平距离；② 性质给出的周期直接用；③ 平移/伸缩条件推导（如横坐标缩短为1/2，变为原来1/2）； 步骤4：求相位（最后求，2种核心方法，按需选） 方法1：特殊点代入法（首选，简单直接，适配所有场景） - 选点原则：优先选最高点、最低点、零点（与x轴正方向交点）（坐标无误差，计算简单），避开图像上的模糊点； - 步骤：将代入标准型，把所选特殊点代入解析式，解关于的方程，结合的范围要求（如）定唯一值。 方法2：相位平移法（适配图像平移/伸缩背景，直接推） - 核心：由“基函数（）→变换后函数”的平移/伸缩条件，直接推； 三、第三优先：恒等变换化简求解析式（适配无图像/仅给三角等式条件） 若题目无图像、仅给三角恒等式、角度关系、函数值，优先用三角恒等变换化简，再化为标准型，核心步骤： 1. 降幂扩角：用降幂公式（，）消平方项，统一角的倍数； 2. 和差化积/积化和差：合并同类三角项，减少函数种类； 3. 辅助角合一：用（辅助角公式），化为单一正弦/余弦标准型； 4. 整理参数：从化简后的标准型中直接读出，完成解析式求解。 一、求三角函数的性质的重要技巧：换元法 一、核心换元原则（3条必守，不跑偏） 1. 整体换元：将（相位整体）或含的整式/分式整体设为新变量，记为； 1. 定新元范围：根据原函数的定义域，严格推导的取值范围（最关键步骤，决定后续性质求解的准确性）； 1. 保对应关系：换元后原函数转化为，原函数的性质由和的性质复合推导（如单调性遵循“同增异减”）。 二、高频换元场景+解题技巧（分题型，直接套用） 场景1：求的单调区间/对称轴/对称中心 最基础换元，适配所有三角标准型，优先用 1. 换元：令（），原函数化为/； 2. 定范围：若，则；若无定义域限制，； 3. 求的性质：套用的核心性质（直接记结论）： - 单调增区间：→，→（）； - 单调减区间：→，→（）； - 对称轴：→，→； - 对称中心：→，→； 4. 回代求：将代入的性质结论，解关于的不等式/方程，得到原函数性质。 关键：若，先利用奇偶性将化为正（如），避免单调性判断错误。 场景2：求含平方/分式的三角函数值域/最值（如、） 换元消三角，转化为初等函数求最值，核心技巧 1. 换元：令或，利用、，定； 2. 转化函数：将原函数化为关于的二次函数/一次分式函数/一次函数（如、）； 3. 求初等函数最值：结合的范围，利用二次函数对称轴/分式函数单调性求值域/最值； 4. 回代验证：若有需要，将的最值点回代为的取值（无需则省略）。 拓展：若含，令，则，且，实现“和积互化”换元。 三、换元法解题标准化步骤（4步通解，所有题型适用） 1. 设元：根据函数结构，令内层相位/三角整体为，简化原函数； 1. 定界：由原函数的定义域，推导的准确取值范围（无定义域则）； 1. 求解：将三角问题转化为的初等函数问题，求的性质（单调、最值、对称）； 1. 回代：将/回代，解出原函数关于的性质结论。 题型01 三角函数的图像伸缩平移与三角函数的性质综合 1．已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，递增区间为，递减区间为 【分析】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可； （2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得的值域与单调区间. 【详解】（1）函数，当时，， 则当，即时，，即， 解得，故， 当时，，由，得， 则，所以， 因此函数在区间内的零点个数为4． （2）依题意，， 因此函数的值域为； 由，，解得，， 由，，解得，， 所以函数的递增区间为， 递减区间为． 2．已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得的解析式唯一确定，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为；③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1)选择①②或②③， (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式. （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，使用整体代入法即可求得函数的值域. 【详解】（1）选择①② 由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. （选择②③证明过程和①②一致；因为①的推论为，与③一致，故不可选择①③） （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 3．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若函数的图象可由函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，求当时，函数的值域． 【答案】(1)，对称轴方程为 (2) 【分析】（1）根据函数图象可求出函数的解析式，利用正弦函数的对称性可求其对称轴； （2）利用图象变换可求得的解析式，利用换元法求解的值域. 【详解】（1）设函数的最小正周期为T， 由题意可得，，故， 所以． 因为， 所以，又，所以， 所以． 由，得， 所以函数的对称轴方程为． （2）由题意得，． 当时，，所以， 所以，即的值域为． 4．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）由题可知，， 当时，，由得， 由得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 令，则，即， 又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是． 5．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若为上的偶函数，求的值； (3)将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有最小值，无最大值，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦型函数的最小正周期公式求结论； （2）方法一：由条件结合函数是偶函数推出函数为偶函数，结合三角函数性质求； 方法二：由条件结合偶函数性质可得，化简可得，故，化简求即可； （3）根据三角函数图象变换结论求，由条件结合正弦函数性质列不等式求的范围. 【详解】（1）由正弦型函数的最小正周期公式可得， 函数.的最小正周期. （2）方法一：因为函数是偶函数， 且函数为上的偶函数，所以函数为偶函数， 所以 因为，所以. 方法二：因为为上的偶函数，所以， 所以，即， 则，则， 所以对恒成立，则， 因为，所以. （3）依题意可得. 当时，. 因为，所以， 又在上有最小值，无最大值，所以， 解得，即的取值范围为. 一、核心：图像变换遵循“先平移后伸缩，左加右减、上正下负”，变换后结合单调性、奇偶性、对称性质求解 二、解题技巧（四步标准化） 1. 基式定位：明确原函数（如/），标注核心性质（周期、对称轴等）； 2. 按序变换：严格遵循平移→伸缩（横坐标）→伸缩（纵坐标）→上下平移（平移仅针对，伸缩需提系数），记变换规则： - 左右平移：，左加右减； - 横坐标伸缩：，周期变为，伸缩比； - 纵坐标伸缩：，振幅变为； - 上下平移：，上正下负； 3. 写变换后解析式：整理为/标准形式； 4. 结合性质求解：由求周期、相位，再求单调区间、对称轴、对称中心（代入标准性质公式求解）。 题型02 三角恒等变换求解析式与三角函数的性质综合 1．已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知，若关于的方程在区间上恰有两个不同实根，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及辅助角公式将化为的形式，根据公式求其最小正周期，利用整体代换的方法，根据正弦函数的对称中心可求得的对称中心坐标； （2）利用整体代换法，将“关于的方程在区间上恰有两个不同实根”转化为“恰有两个解”，从而得到的取值范围，得到的取值范围. 【详解】（1） ， 的最小正周期为； 令，解得， 所以的对称中心坐标为． （2）. 令，则. 所以在上恰有两个解. 所以，解得． 所以的取值范围是． 2．已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求的值和在区间上的单调递减区间； (2)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 由相邻对称轴间距为，得周期. 由，且得，即. 令， 解得. 结合定义域，对整数分类讨论： 取时，得区间，该区间完全包含在内，符合要求； 取时，得区间，与无交集，舍去； 取时，得区间，与无交集，舍去。 同理易得取非零整数时， 单调区间均与无交集. 综上所述，在上的单调递减区间为. （2）方程可化为， 即函数与直线的图象有个不同交点，时， . 令， 在有最大值，最小值. 故. 如图所示： 当时，一个函数值对应个不同； 当或时，一个函数值对应个. 要使有个不等实根，需满足， 解得. 3．已知函数． (1)求的最小值； (2)若，，（且），求的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值，无最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质求解即可. （2）结合对数函数及正弦型函数的性质解不等式即可. （3）根据图象的平移求出，结合题意列不等式求解即可. 【详解】（1）， 所以． （2）设函数. 当时，， 所以在上的最大值为. 因为，，成立，所以． 当时，为减函数，，不符合题意． 当时，为增函数，则， 则，则，又，所以． 综上，a的取值范围为． （3）依题意得． 由，得． 因为，所以，， 因为在上有最大值，无最小值，所以，结合，解得． 所以的取值范围为． 4．已知函数． (1)求的单调递增区间． (2)若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 【答案】(1) (2)（i）（ii），最多8个元素. 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行化简，再根据余弦函数的性质，求出函数单调递增区间. （2）（i）根据不等式，求出自变量的范围，进而写出函数的解析式，根据解析式求出给定区间里的值域即可； （ii）根据函数周期性求出方程的解，进而判断集合交集为空集时参数的范围，并判断此时集合中元素的个数. 【详解】（1） ， 令，解得， 即函数的单调递增区间为. （2）当时，即，化简得，解得. 同理时，解得. 所以， （i）当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 综上，在上的值域为. （ii）由题意，且是周期为的函数， 结合（2）可知，在上的根依次为， 因为，且，所以，且集合A中最多有8个元素. 5．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式，把化成标准形式，再套单调区间通式，解出的范围即可； （2）先算出时，的范围，再得到的值域，最后转化为恒成立，代入最值求出的范围； （3）先换元，利用，把三角方程变成关于的代数方程，再根据的区间求的范围，最后整理方程根据单调性，得到的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以令，则， 所以的单调递增区间为. （2） 不等式等价于，即， 因为该不等式对任意恒成立， 所以 所以实数的取值范围是. （3）由题意有， 则关于的方程为， 令， 当时，， ， 则，有， 若关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 即. 一、核心：用恒等变换公式将复杂式子化为标准型，再分析性质，化简是前提，公式是关键 二、 解题技巧（五步标准化） 1. 降幂扩角：用降幂公式（、）消去平方项，统一角为/； 2. 辅助角合一：用两角和差公式/辅助角公式（，），将多三角项化为单一正弦/余弦式； 3. 整理标准型：化为/，标注； 4. 求核心性质： - 周期：；振幅：；值域：； - 单调区间：令代入单调区间，解； - 对称中心/对称轴：代入的对称性质公式，解； 5. 结合条件求解：根据题目给出的定义域、特殊点等，细化性质结论。 三、必记核心公式（直接套用） - 降幂公式：，； - 辅助角公式：（满足，）； - 两角和差：，。 题型03 在三角形或一般函数背景下求最值与范围 1．在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 2．如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式列式，再利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简，借助正弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）由，得，而，则， ，由，得，， 则，，在中，由正弦定理得， 所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得， 则，又， 因此四边形的面积 ，由，得， 因此，即， 所以四边形面积的取值范围是. 3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 4．已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件边角互化，得到关系，代入面积公式求解； （2）设，将表示出来，化简求最值. 【详解】（1）由，， 得， 即， 即， 所以， 故，因为，所以， 故在中，， 因为，所以． （2）不妨设点靠近点，， 设， 则在中，， 在中，， ， 设，则，故， 因为函数在上单调递减， 所以时，，故的最小值为2． 5．如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得； （2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. （2）设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 一、核心：先定约束条件（三角形中用正余弦定理、内角和；一般函数中用定义域），再将式子化为单三角函數，结合值域求最值 二、分场景解题技巧（两大场景，针对性突破） 场景1：三角形背景下（核心：内角和+正余弦定理） 1. 角的约束：利用，将多角化为单一角（如），角范围均为； 2. 边角化归： - 求角的最值：用余弦定理将边转化为角（），结合基本不等式； - 求边的最值：用正弦定理（）将边转化为角的正弦式； 3. 单角化简：将所求式子化为（为单一内角，范围）； 4. 定域求最值：结合角的范围求的范围，再根据正弦/余弦函数的单调性求最值。 场景2：一般函数背景下（核心：定义域约束+三角恒等变换） 1. 化简解析式：用恒等变换化为/标准型； 1. 定内层范围：根据的定义域，求的取值范围； 1. 结合图像求最值：画出（）的图像，根据单调性+端点值求值域，即得的最值/范围； 特殊约束：若含平方/分式，可换元（令/，），转化为二次函数/分式函数求最值。 1．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到. 所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到. 又，所以. 2．已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的解析式，再求出的零点，再根据范围求得的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 3．已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角恒等变换对函数化简，再根据对称性和单调性求出，分析方程解的情况，最后求出在区间上所有不相等的实数根之和. 【详解】 ，， 因为为的一条对称轴，所以，，即， 设函数的周期为，由在区间上单调递增，则，即， 所以，即， 所以或或或， 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，满足题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 综上，，. 当时，， 当时，，即， 所以方程等价于，即， 所以或， 解得或， 当时，在区间上，时，，时，，时，； 当时，在区间上，时，，时，，时，； 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 4．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数的解析式为，求出的零点，从而得到使得没有零点的条件，列出相应不等式，求解可得的取值范围. 【详解】． 令，得. 因为在区间内没有零点， 所以当时，则， 则内不包含任何； 则可得，所以. 由，得. 当时，，符合题意； 当时，.因为，所以； 当时，，不合题意. 综上，的取值范围是. 故选：C. 5．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 6．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】先由平移变换得，再是偶函数，得，进而可得及，再结合三角恒等变换得，根据正弦函数的性质可判断BC选项，对D，将函数的零点转化为函数与图象在上的交点的横坐标，进而转化为函数在与交点的横坐标，从而可判断结果. 【详解】因为函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又因为是偶函数， 所以，得，即， 再由，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 所以函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 因为，所以，函数在单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以函数在上的零点，转化为函数与图象在上的交点的横坐标， 令，所以函数在有两条对称轴和，如图： 当时，函数与有两个交点，且关于对称， 即，所以，得. 当时，函数与有3个交点，， ，所以，得. 所以函数在上的所有零点之和为，则，D错误. 7．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用三角恒等变换得到，再根据正弦函数性质逐项判断. 【详解】， 所以最小正周期，A正确； 的最大值为，B错误； 令， 所以函数的单调递增区间， 当时，单调递增区间是 所以在区间上单调递增，C正确； 当时，即，则， 所以， 则，D正确. 8．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． 【答案】 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，得到， ∵的图象关于轴对称， ∴是偶函数， ∴，，即，， ∵， ∴． 9．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由相邻对称轴的距离确定周期，求得，再结合平移法则及三角函数中奇偶性的判断，即可求解. 【详解】函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期为， 所以，结合，可得， 所以， 又因为将函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象， 所以， 因为为偶函数，所以，即， 易知当时，得. 10．已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可. 【详解】. 因为，所以时，， 因为在上单调递增，所以，， 解得，. 又，所以当时，，当时，范围不符合题意. 综上的取值范围为. 11．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题可知. 因为，所以． 又函数在内恰有3个最值点和4个零点. 由正弦函数图象得，解得. 注: 是为了保证有4个零点, 是为了有3个最值点. 故实数的取值范围是. 12．在中，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由角平分线定理得出，结合余弦定理可得出，于是得出，，由及可得出的值，进而得出、，进而可求得的值； （3）由角平分线定理可得出，即得出，结合及两式相除并结合正弦定理、三角恒等变换得出，求出角的取值范围，可求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 整理得， 因为，所以，故，可得， 因为，所以. （2）因为的角平分线交于点，且， 由角平分线定理可得， 又因为，由余弦定理可得， 所以，故，， 因为，则， 可得，故，，， 因此. （3）因为为锐角三角形，且，则，解得， 由角平分线定理可得，即，解得， 故①， 又因为②， ①②得，故 ， 因为，则， 因为，故， 所以，因此. 13．已知函数，其中 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再结合三角函数的性质求解即可； （2）（i）先根据周期性求得，再整体代换求函数值域即可； （ii）根据题意，将问题转化为与在有两个交点，横坐标分别为且，进而作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）解： ， 令，， 所以，当，， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得 又，所以的取值范围为 （2）解：因为图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 所以得最小正周期，即，解得， 所以 （i）当时，， 所以， 所以函数的值域为 （ii）因为，当时，, 所以，即，有最大值， 因为，， 所以在上的图象如图所示， 关于的方程在上有两个不同的根，且 所以与在有两个交点，横坐标分别为且 所以，根据图象，有，，且 所以 所以的取值范围为. 14．在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】(1)； (2)选①②，答案均为； (3) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以，   在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 15．已知函数. (1)若函数的最小正周期为，求函数的单调递增区间； (2)若函数在上有最大值和最小值，求的取值范围； (3)当时，若存在，使得对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. (3) 【分析】（1）通过三角恒等变形得到，再利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案； （2）由函数的周期性与对称性，建立不等式求解可得答案； （3）设，，由题意得，设，求得即可得答案. 【详解】（1）， 由题意，，得， 由，解得，. 所以函数的单调递增区间为， （2）由，得， 由题意，得或 解得或. （3）当时，， 设， 由题意可知，， 设，取，，， 得，， . 所以， 当且仅当， 即时，取等号. 故，. 所以，的取值范围是. 16．已知函数，其中. (1)若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用正弦函数相邻对称轴间距为半个周期，求出的最小正周期，再代入周期公式求解. （2）先通过平移变换得到的解析式，利用零点条件结合确定，再求出的所有零点，结合恰有8个零点的条件，找到区间的最小长度. （3）分别求出和在上的值域，根据“任意存在使得”等价于的值域包含于的值域，列不等式组求解的取值范围. 【详解】（1）因为两个相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，得. （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，，或，， 得，或，， 因为，所以， 所以. 所以的最小正周期为. 令，则， 所以，或，， 得，或，. 因为函数在（且）上恰好有8个零点， 要使最小，需找到跨度最小的连续个零点. 的零点为，或，. 通过比较不同起始零点的连续个零点区间的长度， 区间的长度为， 区间的长度为， 所以的最小值为. （3）由（2）知， 设在上的值域为A，在上的值域为B， 因为对任意，存在，使得成立， 所以. 当时，，所以， 所以，所以. 当时，，所以， 所以，，所以， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $