专题03 三角函数中范围问题-2026届高考数学三轮冲刺

专题03 三角函数中范围问题 题型01 与最值（极值）有关的范围问题 1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知，.若函数，且在区间上有极大值，无极小值，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．若在区间上为增函数，则实数的取值范围是 B．若在区间上有两个零点，则实数的取值范围是 C．若在区间上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是 D．若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是 3．（2025·全国·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 4．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 5．（2026·山东青岛·模拟预测）（多选）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 6．（25-26高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. 题型02 与单调性有关的范围问题 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为______. 8．（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·福建·模拟预测）已知函数，则下列选项不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 10．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线是图象的一条渐近线，则 C．不存在，使为图象的一个对称中心 D．若在区间内单调，则的取值范围是 11．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型03 与零点（根）有关的范围问题 13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B．(0，1) C． D． 14．（2026·河北张家口·一模）已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河北·一模）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 16．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是_________. 18．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 19．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定． 条件①，函数的图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件②，函数在区间内无极值点，且，恒成立． (1)求的值； (2)若不等式在区间内有解，求实数的取值范围． 20．（2026·山东德州·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 题型04 与对称轴（中心）有关的范围问题 21．（2025·湖南常德·模拟预测）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为_____ 22．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（   ） A． B．的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 C．的图象在区间内有3个对称中心 D．若在区间上的最大值与最小值分别为，则的取值范围是 23．（2025·山西晋中·模拟预测）（多选）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象恰有一条对称轴和一个对称中心在区间内，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间内有两个极值点 C．直线是曲线的一条切线 D．的取值范围为 24．（2025·四川巴中·二模）（多选）已知函数在区间在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．在区间上有且仅有2个不同的零点； B．的最小正周期可能是； C．的取值范围是； D．在区间上单调递减 25．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·湖南长沙·一模）（多选）已知函数的定义域为，集合，则（    ）. A．若，则. B．若，且，则的图象在上存在对称轴. C．若，且在上单调，则的取值范围是. D．若中恰有3个不同元素，则. 强化训练 1．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）已知函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·月考）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南许昌·模拟预测）（多选）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 6．（2026·江苏镇江·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）（多选）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 8．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．是函数最小正周期为的充要条件； B．的最大值是； C．若在单调递增，则的取值范围是； D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是. 9．（2025·福建厦门·二模）（多选）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的一个对称中心是 B． C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点，则的取值范围为 10．（2026·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，下列说法正确的是（    ） A． B．与有相同的对称中心 C．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数m的取值范围为 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 12．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 13．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 14．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数中范围问题 题型01 与最值（极值）有关的范围问题 1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知，.若函数，且在区间上有极大值，无极小值，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出的值，将其带入化简得正弦型函数，则依据题意结合函数图像性质即可求解. 【解析】因为， 所以，即， 又，所以，故， 所以 ， 若，则，令， 则在区间上有极大值，无极小值在上有极大值，无极小值， 则根据图像性质可知， 故选：D. 2．（2023·江苏镇江·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．若在区间上为增函数，则实数的取值范围是 B．若在区间上有两个零点，则实数的取值范围是 C．若在区间上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是 D．若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解题思路】由求出的范围，然后根据正弦函数的性质对每个选项逐一判断即可. 【解析】当时，， 对于A，若在区间上为增函数，则，解得，故正确； 对于B，若在区间上有两个零点，则，解得，故错误； 对于C，若在区间上有且仅有一个极大值，则，解得，故正确， 对于D，若在区间上有且仅有一个最大值，则，解得，故错误， 故选：AC 3．（2025·全国·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)2 【解题思路】（1）将代入解析式，求出，并求出，数形结合得到不等式，求出的取值范围； （2）在（1）基础上，得到，求出平移后的解析式，得到，结合求出最大值. 【解析】（1）将代入解析式得， 又，故，又，当时，， 因为在区间上恰有一个极大值和一个极小值， 故，解得； （2）是整数，又，故，所以， 的图象向右平移个单位长度得到， 所以， ， 又，故当，即时， 取得最大值，最大值为. 4．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由求出，令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解； （2）设的周期为，分别由①②③判断相应范围，判断选①和③；由①③分别求范围，取其交集. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以． 当时，， 因为，所以． 令，则， 所以， 所以． （2）对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③． 由，得， 即的取值范围是． 5．（2026·山东青岛·模拟预测）（多选）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 【答案】BD 【解题思路】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，D项. 【解析】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C错误； 不妨取，则，， 因，故不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确. 故选：BD. 6．（25-26高三上·广东揭阳·期中）若函数在上有最大值，则的最小正周期为___________，的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】由最小正周期的计算公式及换元法和正弦函数的图象性质可得结果. 【解析】的最小正周期， 令，当时，， 由函数在上有最大值，可转化为在上有最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为：；. 题型02 与单调性有关的范围问题 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【解题思路】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【解析】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 8．（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦函数的单调性来确定参数的取值范围. 【解析】，则． 由，得． 因为在上单调，所以，得． 故选：A. 9．（2025·福建·模拟预测）已知函数，则下列选项不正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】D 【解题思路】由三角恒等变换化简函数.求出函数的周期判断A选项；求出函数对称中心判断B选项；由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题意建立不等式组，解得的取值范围判断D选项. 【解析】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图象关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，， ∴，要想函数不单调，则，∴，D选项不正确. 故选：D 10．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线是图象的一条渐近线，则 C．不存在，使为图象的一个对称中心 D．若在区间内单调，则的取值范围是 【答案】ABD 【解题思路】利用正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切函数的渐近线方程可判断B选项；利用正切型函数的对称性求出的表达式，结合赋值法可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出的取值范围，结合可得出的取值范围，可判断D选项. 【解析】对于A选项，因为函数的最小正周期为，故，A对； 对于B选项，由A选项可得， 令，，解得，， 因为，所以，B对； 对于C选项，若点为图象的对称中心，则，， 即，，当时，，C错； 对于D选项，若在区间内单调， 由可得， 所以，， 则，，即，， 记，，则， 又所以的取值范围，D对. 故选：ABD. 11．（2025·福建漳州·一模）已知，若在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合函数图像，根据函数单调性，分析和的取值范围，最后解不等式组即可. 【解析】画出函数的部分图象如图所示， 因为，所以 因为在区间上不单调， 所以解得 故选：B. 12．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【解析】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得，结合，得的取值范围为． 故选：D． 题型03 与零点（根）有关的范围问题 13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B．(0，1) C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数零点的意义变形并构造函数，作出函数图象，数形结合求出范围. 【解析】函数，由，得， 令函数，由函数有3个不同的零点， 得方程有3个不同的解，即直线与函数的图象有3个交点， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以的取值范围是. 14．（2026·河北张家口·一模）已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个零点可限定出范围，即可解得实数的取值范围. 【解析】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得， 因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个零点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 15．（2026·河北·一模）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可. 【解析】（1） ， 所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）由题可知，， 当时，，由得， 由得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 令，则，即， 又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是． 16．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的解析式，再求出的零点，再根据范围求得的取值范围. 【解析】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 17．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解题思路】利用正弦型函数的零点性质，分析相位的范围，即可得到参数取值范围. 【解析】因为，所以, 由函数零点等价于函数的零点， 再结合正弦函数在区间上恰有3个零点， 则，解得， 故答案为： 18．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【答案】C 【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可. 【解析】 . 选项A：最小正周期，故A错误； 选项B：求的单调递增区间： 令，，解得，， 所以区间包含（递增）和（递减），故B错误； 选项C：的图象向左平移个单位长度后得到： ， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 选项D：令，即， 则，，即，， 当时，；当时，； 若在区间上恰有一个零点，则， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：C. 19．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定． 条件①，函数的图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件②，函数在区间内无极值点，且，恒成立． (1)求的值； (2)若不等式在区间内有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）先化简函数解析式，若选择①，由对称得到方程，接着结合题设和正弦函数性质得到不等式，由所得方程和不等式即可分析计算求解；若选择②，由题设即可得到函数周期，由周期公式即可求解； （2）先解不等式得到，  再结合即可分析计算求解. 【解析】（1）函数， 若选择①，因为函数的图象关于对称， 所以，解得， 因为，所以， 若函数在区间有且只有一个最大值和一个最小值， 则，解得，即，则有， 又，所以，所以，函数存在且唯一确定， 若选择②，设函数的最小正周期为， 因为在区间内无极值点，且，， 所以，即，，所以函数存在且唯一确定， 综上，函数存在且唯一确定，； （2）由（1）得， 所以不等式，即， 所以，即，   因为，， 则当时，，即， 所以要使得不等式在区间内有解，则， 所以实数的取值范围为. 20．（2026·山东德州·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解题思路】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【解析】由图可得，函数的最小正周期，又，所以， 则，由，得，， 解得，，又，所以，故A正确； 由上分析，得故，因为， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为[kπ+]， ， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值， 需使，解得，故D正确. 故选：ABD. 题型04 与对称轴（中心）有关的范围问题 21．（2025·湖南常德·模拟预测）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为_____ 【答案】 【解题思路】根据极值点及已知可得，则，结合正弦型函数的性质及区间零点和对称轴有，即可得. 【解析】因为是的极大值点， 所以，，即， 又，故，所以， 当时，，在有两个零点和三条对称轴， 所以，解得. 故答案为： 22．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（   ） A． B．的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 C．的图象在区间内有3个对称中心 D．若在区间上的最大值与最小值分别为，则的取值范围是 【答案】BD 【解题思路】A选项，根据题意得到函数最小正周期，进而得到，代入对称轴方程，求出；B选项，在A选项基础上，利用平移法则得到B正确；C选项，区间是函数的一个周期，而，故在此区间内有2个对称中心，C错误；D选项，根据的位置，结合函数对称性和三角恒等变换得到的最值. 【解析】A选项，的最小正周期为， 因为，故，解得． 由题意得，即．又， 所以令，得，A错误； B选项，由A可得，将其图象上的所有点向右平移个单位长度， 得到的图象，B正确； C选项，因为，又，所以区间是函数的一个周期， 而，故在仅有两个零点， 即有2个对称中心，C错误； D选项，由，得， 即图象的对称轴为． 的最小正周期为，由对称性可知， 当与关于直线对称时，取得最小值， 由得， 此时． 当为偶数时，最小值为，最大值为； 当为奇数时，最大值为，最小值为， 故的最小值为1； 当或时， 函数在上单调，此时取得最大值， ， 当或时等号可以成立，所以的取值范围为，D正确． 故选：BD 23．（2025·山西晋中·模拟预测）（多选）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象恰有一条对称轴和一个对称中心在区间内，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间内有两个极值点 C．直线是曲线的一条切线 D．的取值范围为 【答案】ACD 【解题思路】对化简，根据三角函数的性质判断A，B；对求导，令，判断C；根据变换后图象恰有一条对称轴和一个对称中心在区间内，得，判断D. 【解析】 对于A，当，，根据正弦函数图象知在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，即，当时，， 当时，，当时，，在区间内有一个极值点，故B错误； 对于C，，令， 则或， 即或， 取，则，所以函数在处的切线方程为，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得，所得图象恰有一条对称轴和一个对称中心在区间内， 则，，则，即，故D正确； 故选：ACD. 24．（2025·四川巴中·二模）（多选）已知函数在区间在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．在区间上有且仅有2个不同的零点； B．的最小正周期可能是； C．的取值范围是； D．在区间上单调递减 【答案】BD 【解题思路】由已知结合余弦函数的对称性可得的取值范围，从而判断C；再根据余弦函数的零点、周期性、单调性结合的取值范围分别检验即可判断A,B,D． 【解析】的对称轴方程为， 已知在上有且仅有3条对称轴， 当时，时，时，时，， 因为上有且仅有3条对称轴，所以，解第一个不等式得，解第二个不等式得，即，故C不正确； 令，则， 当时，时，时，时，， 因为，当时，,在上有3个零点，故A错误； 根据周期公式，当时，在范围内，所以的最小正周期可能是，故B正确； 当时，，因为，则， 由于在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 25．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【解析】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故选：B. 26．（2025·湖南长沙·一模）（多选）已知函数的定义域为，集合，则（    ）. A．若，则. B．若，且，则的图象在上存在对称轴. C．若，且在上单调，则的取值范围是. D．若中恰有3个不同元素，则. 【答案】ACD 【解题思路】根据函数解析式结合角的值化简计算判断ACD，用时举反例判断B选项. 【解析】的定义域为， 对于A：当时，， 令得，所以当时，与矛盾， 所以不存在使，所以，故A正确； 对于B：当时，取，则 ，， 若的图象在上存在对称轴，则对称轴必为，则必有， 又与矛盾，故B错误， 对于C：当时，的单调递增区间是， 则，故C正确； 对于D：若中有3个不同元素，则方程在上恰有3个不同实根，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 强化训练 1．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数. 【解析】对于函数，对任意固定的取遍一切实数，． 要存在使得，只需． 该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即． 因此的取值范围是． 故选：B. 2．（2026·重庆·一模）已知函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数求出，记，然后求出即可得解. 【解析】因为，所以在上单调递增， 所以，记， 因为函数，且对任意的，都存在，使得恒成立， 所以，又，所以. 故选：A 3．（25-26高三上·广东·月考）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得. 【解析】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：A 4．（2025·河南·模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角函数图象变换得出，由求出的取值范围，由求得，结合题意得出关于的不等式，解之即可. 【解析】由三角函数的图象变换可得， 当时，，则， 因为，则， 因为，总存在唯一实数，使得， 当时，， 由题意可知，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 5．（2026·河南许昌·模拟预测）（多选）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是 【答案】BC 【解题思路】先由平移变换得，再是偶函数，得，进而可得及，再结合三角恒等变换得，根据正弦函数的性质可判断BC选项，对D，将函数的零点转化为函数与图象在上的交点的横坐标，进而转化为函数在与交点的横坐标，从而可判断结果. 【解析】因为函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又因为是偶函数， 所以，得，即， 再由，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 所以函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 因为，所以，函数在单调递增，C正确； 对于D，因为， 所以函数在上的零点，转化为函数与图象在上的交点的横坐标， 令，所以函数在有两条对称轴和，如图： 当时，函数与有两个交点，且关于对称， 即，所以，得. 当时，函数与有3个交点，， ，所以，得. 所以函数在上的所有零点之和为，则，D错误. 6．（2026·江苏镇江·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可. 【解析】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解题思路】根据图象可确定，判断A的真假；利用可验证B的真假；利用函数的平移变换结合诱导公式，可判断C的真假；利用换元法，结合函数图象可求的取值范围，判断D的真假. 【解析】由题意：，， 又，所以，，故A错误； 对B：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对C：将函数的图象向左平移个单位长度，可得： ，故C正确； 对D：，当时，. 设，，若要在上有两个不相等的实数根， 由下图可知： ，故D错误. 8．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．是函数最小正周期为的充要条件； B．的最大值是； C．若在单调递增，则的取值范围是； D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是. 【答案】BCD 【解题思路】由三角函数周期公式依次分析充分性和必要性即可判断A；利用诱导公式、平方和公式和二次函数性质直接计算即可求解判断B；由变量范围和正弦函数单调性列不等式计算即可求解判断C；由函数单调性结合正弦函数的单调性和周期列方程和不等式即可求出范围判断D. 【解析】时，，函数最小正周期为，充分性成立， 当函数最小正周期为时，，必要性不成立， 所以是函数最小正周期为的充分不必要条件，A错误； ， 所以的最大值是，B正确； 若，则时，， 因为在单调递增，所以， 解得，，又，所以，， 解得，， 所以，则，故的取值范围是，C正确； 若， 因为，在单调递增，在单调递减， 所以， 且， 所以，即的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 9．（2025·福建厦门·二模）（多选）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的一个对称中心是 B． C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点，则的取值范围为 【答案】BC 【解题思路】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可. 【解析】由题图可知，，所以，所以， 由，得， 由，解得，所以． 对于A，令，则，,故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，函数变换后的解析式为，因为，即为函数，故C正确； 对于D，因为，得，令，则， 由正弦函数图象可知，，解得，故D错误． 故选：BC 10．（2026·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，下列说法正确的是（    ） A． B．与有相同的对称中心 C．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数m的取值范围为 【答案】BC 【解题思路】根据已知条件求出函数解析式，再根据诱导公式及二倍角公式分析判断A，B，C选项；结合已知条件及函数图象分析判断选项D. 【解析】由题意知，，又，所以，所以. 选项A: ，故A错误； 选项B： ，所以与有相同的对称中心，故B正确； 选项C：， 向右平移个单位长度，可得，故C正确； 选项D：由，得， 因为在上有极大值点和极小值点，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：BC. 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解题思路】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可. 【解析】. 因为，所以时，， 因为在上单调递增，所以，， 解得，. 又，所以当时，，当时，范围不符合题意. 综上的取值范围为. 12．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【解析】由题可得 ， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________. 【答案】 【解题思路】问题化为上有4个不同实根，且有2个不同实根，结合正弦函数的图象得，即可得. 【解析】共有6个不同的实根， 由，则有4个不同实根，且有2个不同实根， 根据正弦函数的图象知，可得. 故答案为： 14．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【解析】（1）由题意，． 求单调递减区间： 由，得， 求单调递增区间： 由，得． 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）由题意，当时，关于的不等式有解， 即不等式有解; 因为当时，，所以有解， 只需要即可． 而． 令，则在上单调递减， 所以当时，，即， 所以实数的取值范围为． 2 / 31 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $