专题15 三角函数中的范围及最值综合（10年汇编）（三大考点，35题）（全国通用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 三角函数范围及最值专题汇编，精选2017-2026年35道高考真题，分最大值、最小值、范围三大考点系统编排，聚焦高频题型与解题方法。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/多选/填空|35题|辅助角合并、区间最值、参数范围、解三角形|结合十年考情分层设计，基础题（如2021全国乙卷周期与最值）与压轴题（如2026北京卷机械几何模型）兼顾，突出数形结合与分类讨论思想|

专题15 三角函数中的范围及最值综合 （三大考点，35题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 最大值问题 2024 新课标 Ⅱ 卷、2024 全国甲卷、2024 北京卷、2021 浙江卷、2021 全国乙卷、2021 北京卷、2020 天津卷、2020 北京卷、2019 北京卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2018 全国 Ⅰ 卷、2017 全国 Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅲ 卷 1. 以单选、多选、填空小题为主，属于三角函数高频基础题型，难度中等。 2. 核心考查辅助角合并、三角函数区间最大值、几何图形面积最大值、多角代数式最大值。 3. 常结合函数周期、对称轴、图像平移综合判断，数形结合与三角恒等变换为核心解题手段。 考点 02 最小值问题 2025 北京卷、2025 天津卷、2025 全国一卷、2024 北京卷、2024 天津卷、2023 上海卷、2022 全国甲卷、2022 全国乙卷、2021 全国乙卷、2021 上海卷、2020 全国 Ⅲ 卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2018 江苏卷、2018 北京卷、2017 上海卷 1. 选填压轴高频考点，区分度较高，融合函数、解三角形两大模块。 2. 核心参数最小取值、区间函数最小值、边长 / 代数式最小值，常搭配均值不等式求解。 3. 载体包含三角函数图像性质、解三角形边角关系、恒成立条件，多设置参数讨论类陷阱。 考点 03 范围问题 2026 北京卷、2023 新课标 Ⅰ 卷、2019 全国 Ⅲ 卷、2018 北京卷 1. 多选、填空压轴题型，是三角函数难点，综合性强。 2. 核心根据零点个数、极值点个数、角度限制求解 ω、参数的取值区间。 3. 结合机械几何模型、三角形钝角限制等实际背景，要求精准锁定区间边界，分类讨论要求高。 考点01 最大值问题 1. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 2. （2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3. （2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 4. （2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 5. （2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 6. （2019·北京·高考真题）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 7. （2019·全国I卷·高考真题）关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 8. （2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则 A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 9. （2018·全国II卷·高考真题）若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D． 10. （2017·全国III卷·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为 A． B．1 C． D． 11. （2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 12. （2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 13. （2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 14. （2017·全国II卷·高考真题）函数（）的最大值是__________． 15. （2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为__________. 考点02 最小值问题 16. （2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 17. （2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 18. （2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 19. （2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20. （2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 21. （2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 22. （2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 23. （2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 24. （2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 25. （2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 26. （2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___ 27. （2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 28. （2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为___________． 29. （2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 30. （2018·北京·高考真题）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 31. （2017·上海·高考真题）设、，且，则的最小值等于________ 考点03 范围问题 32. （2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 33. （2019·全国III卷·高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[) 其中所有正确结论的编号是 A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 34. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 35. （2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 三角函数中的范围及最值综合 （三大考点，35题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 最大值问题 2024 新课标 Ⅱ 卷、2024 全国甲卷、2024 北京卷、2021 浙江卷、2021 全国乙卷、2021 北京卷、2020 天津卷、2020 北京卷、2019 北京卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2018 全国 Ⅰ 卷、2017 全国 Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅲ 卷 1. 以单选、多选、填空小题为主，属于三角函数高频基础题型，难度中等。 2. 核心考查辅助角合并、三角函数区间最大值、几何图形面积最大值、多角代数式最大值。 3. 常结合函数周期、对称轴、图像平移综合判断，数形结合与三角恒等变换为核心解题手段。 考点 02 最小值问题 2025 北京卷、2025 天津卷、2025 全国一卷、2024 北京卷、2024 天津卷、2023 上海卷、2022 全国甲卷、2022 全国乙卷、2021 全国乙卷、2021 上海卷、2020 全国 Ⅲ 卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2018 江苏卷、2018 北京卷、2017 上海卷 1. 选填压轴高频考点，区分度较高，融合函数、解三角形两大模块。 2. 核心参数最小取值、区间函数最小值、边长 / 代数式最小值，常搭配均值不等式求解。 3. 载体包含三角函数图像性质、解三角形边角关系、恒成立条件，多设置参数讨论类陷阱。 考点 03 范围问题 2026 北京卷、2023 新课标 Ⅰ 卷、2019 全国 Ⅲ 卷、2018 北京卷 1. 多选、填空压轴题型，是三角函数难点，综合性强。 2. 核心根据零点个数、极值点个数、角度限制求解 ω、参数的取值区间。 3. 结合机械几何模型、三角形钝角限制等实际背景，要求精准锁定区间边界，分类讨论要求高。 考点01 最大值问题 1. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 2. （2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 3. （2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 4. （2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 5. （2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以周期，故①正确； ，故②不正确； 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象， 故③正确. 故选：B. 【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题. 6. （2019·北京·高考真题）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 【答案】B 【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值， 此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+ . 故选B. 【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 7. （2019·全国I卷·高考真题）关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④    正确，故选C． 【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C． 8. （2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则 A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 【答案】B 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有， 所以函数的最小正周期为， 且最大值为，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 9. （2018·全国II卷·高考真题）若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以由得 因此，从而的最大值为，故选：A. 10. （2017·全国III卷·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为 A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由诱导公式可得， 则, 函数的最大值为. 所以选A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 11. （2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 12. （2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 13. （2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________． 【答案】（均可） 【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出. 【详解】因为， 所以，解得，故可取. 故答案为：（均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题. 14. （2017·全国II卷·高考真题）函数（）的最大值是__________． 【答案】1 【详解】化简三角函数的解析式， 可得 ， 由，可得， 当时，函数取得最大值1． 15. （2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可． 【详解】解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2， 可知函数的最大值为：． 故答案为． 【点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值． 考点02 最小值问题 16. （2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 17. （2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 18. （2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 19. （2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 20. （2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 21. （2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 22. （2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 23. （2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 24. （2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 25. （2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.     26. （2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___ 【答案】 【分析】 利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值. 【详解】在单位圆中分析，由题意， 的终边要落在图中阴影部分区域 （其中）， 必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内， ∴， ∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了）， 故存在正整数,使得，即，， 同时， ∴的最小值为, 故答案为：. 【点睛】 本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键. 27. （2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 28. （2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为___________． 【答案】. 【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解. 【详解】， ，当时，， 故函数的最小值为． 【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误． 29. （2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. ［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 30. （2018·北京·高考真题）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值. 【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值， 所以， 因为，所以当时，取最小值为. 【点睛】函数的性质 （1）. （2）周期 （3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足， （4）由求增区间；由求减区间. 31. （2017·上海·高考真题）设、，且，则的最小值等于________ 【答案】 【详解】 由三角函数的性质可知，， 所以，即， 所以， 所以. 考点03 范围问题 32. （2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 33. （2019·全国III卷·高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 ③在（）单调递增 ④的取值范围是[) 其中所有正确结论的编号是 A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当时，， ∵f（x）在有且仅有5个零点， ∴， ∴，故④正确， 由，知时， 令时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当时，， 若f（x）在单调递增， 则 ，即 ， ∵，故③正确． 故选D． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 34. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 35. （2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $