第三章　问题解决活动：最短距离 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

这是一份初中数学北师大版八年级下册同步教学课件，围绕“最短距离”问题展开，通过情境引入、问题链设计、例题解析及跟踪训练，搭建“原理理解-方法应用-迁移拓展”的学习支架，帮助学生掌握利用轴对称和平移解决最短路径问题。 资料特色突出核心素养培养，以“将军饮马”“造桥选址”为载体，引导学生用数学眼光观察现实情境，通过轴对称转化、平移性质应用等推理过程发展数学思维，结合等边三角形、正方形网格等实例提升模型意识，既助八年级学生在逻辑推理关键期感悟转化思想，又为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

问题解决活动：最短距离 初中数学北师大版（2024）八年级下册 第三章 图形的平移与旋转 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.(重点、难点) 学习目标 1.如图1，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2.如图2，点P是直线l外一点，点P与直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 情境引入 “牧民饮马”问题 1 问题1　如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，B的距离之和最短？ 提示　如图，连接AB，与直线l相交于点C. 由“两点之间，线段最短”可知，C点即为所求. 问题2　如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 提示　如图，(1)作点B关于直线l的对称点B'； (2)连接AB'，与直线l相交于点C，则点C即为所求. 问题3　对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B'处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB'的长度相等？ 提示　利用轴对称作出点B关于直线l的对称点B'. 问题4　你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 提示　如图，在直线l上任取一点C'(与点C不重合). 连接AC'，BC'，B'C'，由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'=B'C'. ∴AC+BC=AC+B'C=AB'， AC'+BC'=AC'+B'C'. 在△AB'C'中，AB'<AC'+B'C'， ∴AC+BC<AC'+BC'， 即AC+BC最短. 问题5　证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C'(与点C不重合)，证明AC+BC<AC'+BC'？这里“C'”的作用是什么？ 提示　若直线l上任意一点C'(与点C不重合)与A，B两点的距离之和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小. 点C'表示直线l上除点C外的任意一点. 例1　如图，军官从军营C出发先到河边(河流用AB表示)饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是 √ 解析　由选项D中图可知， 作D点关于直线AB的对称点D'，连接CD'交AB于点N， 由对称性可知，DN=D'N， ∴CN+DN=CN+D'N≥CD'， 当C，N，D'三点共线时，CN+DN的距离最短. 跟踪训练1　(1)如图，已知点D，E分别是等边△ABC中BC，AB边上的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 A.7.5 B.5 C.4 D.不能确定 √ 解析　如图，连接CE，CF， 因为△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点， 即点B与点C关于直线AD对称. 因为点F在AD上，所以BF=CF. 即求BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，线段CE的长即为BF+EF的最小值，CE=AD=5. (2)如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A(3，2)，B(1，3).点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P. 解　如图，作出点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，点P就是所求的点. 造桥选址问题 2 问题6　如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直) 提示　如图，平移点A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于点N，作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. 理由：根据题意任作一线段M1N1，连接AM1，BN1，A1N1. 由平移性质可知，AM=A1N，AA1=MN=M1N1，AM1=A1N1，AM+MN+BN转化为AA1+A1B，而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中，因为A1N1+BN1>A1B. 因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN. 例2　如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直.设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？(保留作图痕迹，不写作法) 解　如图所示. (1)过点P作PA⊥l1，垂足为A，过点Q作QB⊥l4，垂足为B； (2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度； (3)连接CD，分别交l2和l3于点E和M； (4)过点E和M分别作l1和l4的垂线段，垂足分别为F和N； (5)连接PF和QN.则桥建在FE和MN处才能使两村之间的路程最短. 跟踪训练2　为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念， 某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河 岸a.张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直 线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC=1 000 m， BD=2 000 m，且CD=3 000 m，如图所示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D之间距离C　　　　m处.(河岸边上的点到河对岸的距离都相等) 1 000 解析　如图，作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P， ∴BP=B'P， ∴AP+BP=AP+B'P=AB'，此时P点到A与B的距离和最小， 过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M， ∴B'M=CD， 跟踪训练2　为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念， 某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河 岸a.张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直 线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC=1 000 m， BD=2 000 m，且CD=3 000 m，如图所示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D之间距离C　　　　m处.(河岸边上的点到河对岸的距离都相等) 1 000 解析　∵AC=1 000 m，BD=2 000 m，且CD=3 000 m， ∴AM=1 000+2 000=3 000(m)=MB'， ∴∠CAP=45°， ∴AC=CP， ∴P点与C点的距离是1 000 m. 课堂小结 1.如图，点P是直线a外一点，A，B，C，D都在直线上，PB⊥a于B，下列线段最短的是 A.PA B.PC C.PD D.PB 课堂练习 √ 2.如图，已知∠MON=60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为 A.40° B.60° C.100° D.120° √ 解析　如图，分别作出点P关于OM，ON的对称点P1，P2，连接P1P2分别交OM，ON于A，B两点，此时△PAB的周长最小， 由题意可知∠P1PP2=180°-∠MON=180°-60°=120°， ∴∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=60°， ∴∠APB=120°-60°=60°. 课堂练习 3.如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于 A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 √ 解析　如图，作N关于l的对称点E，连接ME，交l于点C， ∴NE的垂直平分线为l， ∴CN=CE， ∴PM+PN=PM+PE≥ME， 即点P应位于点C处. 课堂练习 4.在四边形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，PQ与CP的数量关系为　　 　　. 解析　如图，作点Q关于BD的对称点H，连接PH，则PH=PQ， ∴CP+PQ=CP+PH≥CH. ∴当C，P，H三点共线，且CH⊥AB时，CP+PQ=CH最短， ∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，CH⊥AB， ∴∠HBP=∠PBC=∠ABC=30°，∠BCP=90°-∠ABC=30°， CP=2PQ 课堂练习 4.在四边形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，PQ与CP的数量关系为　　 　　. 解析　∴∠PBC=∠BCP， ∴PB=PC， ∵在Rt△BPH中，∠HBP=30°， ∴PB=2PH. ∵PB=PC，PH=PQ， ∴CP=2PQ. CP=2PQ 课堂练习 5.如图，A，B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A，B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点(保留作图痕迹). 解　如图，P点即为该点. 课堂练习 谢谢 谢谢观看 $