精品解析：广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，根据即可求解. 【详解】， 由，可得， 即，解得. 故选：D. 2. 将分别加上下列各项，其中不能化成形式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对选项逐一分析，由此判断出不能化为完全平方的选项. 【详解】对于A，，故此选项不符合题意；对于B，， 故此选项不符合题意；对于C，，故此选项不符合题意；对于D，，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意， 故选:D. 【点睛】本小题主要考查完全平方公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 3. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角基本关系式求解. 【详解】因为，又为第二象限角， 则，解得. 故选：D 4. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ） 附：若， A. 8400 B. 8185 C. 9974 D. 9987 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】由，数学期望，方差， 由公式可知： ， ， ， 所以单果质量在范围内的大枣个数约为， 故选：B 5. 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（ ） A. 110种 B. 100种 C. 90种 D. 80种 【答案】B 【解析】 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 6. 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以． 故选：A 7. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ） （参考数据：） A. B. C. 6min D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，两边同时取对将代入即可得出答案. 【详解】由题可知，函数， 令，则， 两边同时取对可得：，即， 即. 故选：B. 8. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点为利用双曲线的对称性可知四边形为矩形，设，再结合双曲线定义分别在和中利用勾股定理解得且，所以可知. 【详解】取双曲线的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线过原点，结合双曲线的对称性可知两点关于原点对称，且关于原点对称； 即四边形为平行四边形； 又，所以，因此四边形的对角线相等，即；所以四边形为矩形； 可知； 设，由可得，因此； 结合双曲线定义可得； 在中，由勾股定理可得，即； 解得； 又在中，由勾股定理可得，即； 可得，解得； 因此. 故选：C 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. C. 三棱锥是正三棱锥 D. 平面和平面垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明结合可知面，即可判断A；证明可判断B；由，可判断C；由选项C可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由已知条件知，， 所以即为二面角的平面角，又因为平面平面 所以，即因为，， 所以面，因为面，所以 所以异面直线与所成角为，故选项A正确； 对于B：因为，，，且 所以，所以是等边三角形，可得，故选项B正确； 对于C：因为，且，两两垂直，在内的投影时垂心也是外心，即是中心所以三棱锥是正三棱锥，故选项C正确； 对于D：因为三棱锥是正三棱锥，所以侧面和底面不垂直，故选项D不正确； 故选：ABC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 点满足，则点的轨迹是一个椭圆 C. 过点且与圆相切的直线有1条 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】A:当斜率不存在时，就不能用表示； B:借助椭圆的定义即可判断; C:通过判定点与圆的关系，得到圆外的一点引圆的切线有且只有2条； D:利用平行线间的距离公式，计算即可. 【详解】对于选项A：若经过定点的直线垂直于轴时，不能用方程表示，故A错误； 对于选项B：可以看成到的距离； 可以看成到的距离， 所以,满足椭圆的定义，所以点的轨迹是一个椭圆，故B正确； 对于选项C：将点代入圆，得到， 所以点在圆外，由圆外的一点引圆的切线有且只有2条,故C错误; 对于选项D：将直线化为， 由平行线间的距离公式：，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数有且仅有1个零点 B. 若在处取得极值，则 C. 若无极值，则 D. 若的极小值小于0，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，令求出零点，即可判断A；求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可判断B；令，根据为极值，得到，即可判断C，利用特殊值，判断D. 【详解】对于A：， 则， 令，解得，所以函数有且仅有1个零点，故A正确； 对于B：因为，则， 依题意，所以，解得或， 当时，则， 因为，所以为的变号零点，满足在处取得极值，符合题意； 当时，则， 因为，所以为的变号零点，满足在处取得极值，符合题意， 所以或，故B错误； 对于C：因为，令，解得或， 因为无极值，所以，解得，故C正确； 对于D：令，，则， 所以， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，即， 但是，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题D选项利用特殊值法说明命题不正确，是一个比较好的方法. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人恰好是一名男同学和一名女同学的概率为____________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】求出选取的总情况数和一名男同学和一名女同学的情况数，即可得答案. 【详解】解：总的选取情况为：种， 选取人数为一男一女的情况为：， 所以选中的2人恰好是一名男同学和一名女同学的概率为：. 故答案为： 13. 已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】易知椭圆焦点在轴上，设椭圆方程，再将代入椭圆方程，可得与的坐标，再由等腰直角三角形可知，化简可得解. 【详解】由已知可得椭圆焦点在轴上，不妨设椭圆方程为，， 设为椭圆的右焦点，且点在轴上方，则，， 又轴，所以，代入椭圆方程可知， 化简可得，结合椭圆的对称性可知，且为中点， 即，又为等腰直角三角形，则， 即，等式左右同时除以， 可得，解得，或（舍）， 故答案为：. 14. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，.荡胸生曾云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便 不再是人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图，某工程队将从到修建一条隧道，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到修建隧道的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件在中利用正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】因为点在点的南偏西方向上，所以， 因为点在点的南偏东方向上，所以， 在中由正弦定理可得， 又，， 所以，所以， 又点在点北偏西方向上，点在点的北偏西方向上， 所以， 在中，，,， 由余弦定理可得， 所以， 所以(km). 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把题干条件等价变成，然后用累加法进行求解； （2）结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解. 【小问1详解】 由得，， 所以时，， 故，又，则，当时，成立， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， ， 因为， 于是， 所以，． 故数列的前项和为． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接， 因为为的中点，所以且， 又因为为的中点，，，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形，进而可得，可证结论； （2）由已知可得平面，结合柱体的体积公式求得，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以为三棱柱的高， 所以， 所以，解得， 在平面内作， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. （1）求C的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； （ⅱ）由（i）知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）设函数，若是的极大值点，求的值. 【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）2 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，判断导数的正负，即可求得答案； （2）由题意构造函数，将是的极大值点转化为是的极小值点，根据导数与函数极值点的关系，结合一元二次方程的判别式分类讨论，并判断每种情况能否满足题意，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. 【小问2详解】 设， 当时，由于，所以与的函数值正负相反， 又，所以是的极大值点，当且仅当是的极小值点， ，可知时，，时，， 故， 令，， ①当时，，则当时，，即， 所以在上单调递增，因此不是的极小值点； ②当时，，的根为， 此时，当时，，即， 所以在上单调递增， 因此不是的极小值点； ③当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此是的极小值点，满足题意； ④当时，，记，可知， 则当时，，即， 所以在上单调递减，因此不是的极小值点， 综上可知，. 【点睛】难点点睛：本题难点在于根据函数的极值点求解参数，解答时要根据函数解析式的结构特点构造新函数，并采用分类讨论的方法，说明能否满足题意，从而求解问题. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明函数的图象上横坐标成等差数列的任意三个不同的点A，B，C，直线AC的斜率小于函数的图象在点B处的切线的斜率． （3）当时，若存在实数a，不等式对任意成立（为函数的导函数），求实数b的取值范围． 【答案】（1）当时，在上为单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数求单调区间即可. （2）将题目要求用符号表示，利用作差法、构造函数求导，结合函数单调性证明即可. （3）根据已知条件得到的表达式，通过求导分析的单调性，进而求出的最大值，最后根据不等式恒成立求解即可. 【小问1详解】 （1），， 当时，在上恒成立，此时单调递减； 当时，令，解得. 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 综上，当时，在上为单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，，. 设，，，且，，成等差数列，即. 直线的斜率为：. 在点处的切线斜率为：. 由题意知，需证，即，即. 不妨设，则，， 令（），， 令（），则， 故在上单调递增，因此，即， 又，所以，故在上单调递增，因此， 即，即，即成立， 所以，即函数的图象上横坐标成等差数列的任意三个不同的点A，B，C，直线AC的斜率小于函数的图象在点B处的切线的斜率. 【小问3详解】 由，则不等式为对任意成立， 即对任意成立， 令，则需对任意成立. ，令，则， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 即在上单调递增，在单调递减； 则在取得极大值，也即最大值，. 因为，所以，又当时，， 由零点存在定理可知，存在，使得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得极大值，也即最大值，（）. 由极大值处斜率为零可得，，即，所以. . 令（），， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 则在处取得极小值，即最小值，. 即的最大值的最小值为. 因此实数b的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 2. 将分别加上下列各项，其中不能化成形式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ） 附：若， A. 8400 B. 8185 C. 9974 D. 9987 5. 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（ ） A. 110种 B. 100种 C. 90种 D. 80种 6. 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ） （参考数据：） A. B. C. 6min D. 8. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. C. 三棱锥是正三棱锥 D. 平面和平面垂直 10. 下列命题正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 点满足，则点的轨迹是一个椭圆 C. 过点且与圆相切的直线有1条 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数有且仅有1个零点 B. 若在处取得极值，则 C. 若无极值，则 D. 若的极小值小于0，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人恰好是一名男同学和一名女同学的概率为____________． 13. 已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________. 14. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，.荡胸生曾云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便 不再是人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图，某工程队将从到修建一条隧道，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到修建隧道的距离为________. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值. 17. 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. （1）求C的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）设函数，若是的极大值点，求的值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明函数的图象上横坐标成等差数列的任意三个不同的点A，B，C，直线AC的斜率小于函数的图象在点B处的切线的斜率． （3）当时，若存在实数a，不等式对任意成立（为函数的导函数），求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $