第1章 导数及其应用 单元测试-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章　导数及其应用　单元测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数f(x)=，则=(　　) A.2 B.1 C. D. 2.已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)=2t2+t.则当t=5时，该运动员的滑雪速度为 (　　) A.17.5 m/s B.21.5 m/s C.38 m/s D.57.5 m/s 3.若函数f(x)的导数f '(x)满足f(x)=2f '(1)ln x+，则f '()= (　　) A.e B.2　　 C.1　　 D.0 4.声音的波长变化一般都可用多个形如y=Asin ωx的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数y=Asin ωx的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长可用若干个声音函数来描述.已知某声音函数f(x)=sinx+sin 2x，则f(x)在区间[-2π，-π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为 (　　) A. B.- C. D.- 5.函数y=-2sin x的图象大致是 (　　) 　　　　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　 　D 6.已知函数f(x)=x3+mln x在区间[1，2]上不是单调函数，则m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-3) B.(-3，+∞) C.(-24，-3) D.(-24，+∞) 7.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进了微积分概念.他在研究曲线的切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，当横坐标的差值趋于0时，纵坐标的差值与横坐标的差值的比值可作为曲线的切线的斜率，这也是导数的几何意义.设 f '(x)是函数f(x)的导函数，若f '(x)>0，对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，总有<f()，则下列选项正确的是 (　　) A.f(π)<f(e)<f(2) B.f '(π)>f '(e)>f '(2) C.f '(2)<f(2)-f(1)<f '(1) D.f '(1)<f(2)-f(1)<f '(2) 8.若函数f(x)=ex-e-x+sin x-x，则满足f(a-2ln(|x|+1))+f()≥0恒成立的实数a的取值范围为 (　　) A.[2ln 2-，+∞) B.(ln 2-，+∞) C.[，+∞) D.(，+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数y=xcos x-sin x在下面哪个区间内单调递减 (　　) A.(-π，0) B.(，) C.(π，2π) D.(2π，3π) 10.已知函数f(x)的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表所示. x -1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1 f(x)的导函数f '(x)的图象如图1所示. 图1 下列关于函数f(x)的结论正确的有 (　　) A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在(0，2)上单调递减 C.若x∈[-1，t]时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D.当1≤a<2时，函数y=f(x)-a有4个零点 11.已知函数f(x)=xln x，若0<x1<x2，则下列结论正确的是 (　　) A.x2f(x1)<x1f(x2) B.x1+f(x1)<x2+f(x2) C.<0 D.当ln x>-1时，x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=x2-ln x的单调递增区间为　　　　.  13.已知函数f(x)=ex(x2-4x-4)+k(x2+4x)，x=-2是f(x)的唯一极小值点，则实数k的取值范围为　　　　.  14.已知函数f(x)=，则函数f(x)的最大值为　　　　；若关于x的方程[f(x)]2+2tf(x)+2t-1=0恰有三个不同的实数解，则实数t的取值范围为　　　　.(本题第一空2分，第二空3分)  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=-9x. (1)求函数f(x)在点(0，0)处的切线方程； (2)求函数f(x)在[-2，2]上的最大值和最小值. 16.(15分)已知函数f(x)=x--4ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)判断f(x)在(0，10]上的零点的个数，并说明理由.(提示：ln 10≈2.303) 17.(15分)如图2，在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个大型物流中心E和F.为缓解交通压力，决定从P地分别向AC和BD修建公路PE和PF，其中∠EPF为直角，设∠EPA=α(0<α<). (1)为减少对周边区域的影响，试确定E和F的位置，使△PAE和△PFB的面积之和最小； (2)为节省建设成本，试确定E和F的位置，使P到E和F的距离之和最小. 图2 18.(17分)已知函数f(x)=aln(x+2)+x2(a>0). (1)讨论y=f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求证：1<f(x1)+f(x2)<2. 19.(17分)已知函数f(x)=ex-a-ln(x+b). (1)若b=0，函数g(x)=a(x-1)2+ex-a-f(x)，且函数g(x)在区间[2，3]上是减函数，求实数a的取值范围； (2)若b=a，此时函数f(x)在区间(0，+∞)上的最小值为1，求实数a的值. 第1章　导数及其应用　单元测试卷　参考答案 1.D　∵f '(x)=，∴f '(4)=， ∴=f '(4)=. 2.B　s(t)=2t2+t，则s'(t)=4t+，故s'(5)=4×5+=21.5 m/s.故选B. 3.D　由f(x)=2f'(1)ln x+，得f'(x)=2f'(1)×-，令x=1，可得f'(1)=2f'(1)-1，解得f'(1)=1，因此f'(x)=-，所以f'()=4-4=0，故选D. 4.B　f(x)=sin x+sin 2x，则f '(x)=cos x+cos 2x， 令cos x+cos 2x=0，2cos 2x+cos x-1=0， 可得cos x=-1或cos x=，因为x∈[-2π，-π]∪[π，2π]，所以x=-π或x=π或x=-或x=， f(±π)=0，f(-)=+=， f()=--×=-，f(±2π)=0， 所以f(x)在区间[-2π，-π]∪[π，2π]上的最小值与最大值之积为-. 5.C　函数y=-2sin x是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除选项A.易知y'=-2cos x，令y'=0，解得cos x=，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y=-2sin x有无穷多个极值点.令g(x)=，h(x)=2sin x，则易知g(x)与h(x)的图象(图略)共有三个交点，即y=-2sin x共有3个零点.排除B，D.故选C. 6.C　f '(x)=3x2+=，若f(x)在[1，2]上不是单调函数，则3x3+m=0在[1，2]上有实根，即y1=m和y2=-3x3的图象在(1，2)内有交点，当x∈(1，2)时，y2∈(-24，-3)，故-24<m<-3. 7.C　若f '(x)>0，则f(x)在R上单调递增， 对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，总有<f()， 据此可画出y=f(x)的大致图象，如图D 1所示，易知此函数图象是上凸的， 图D 1 则f(π)>f(e)>f(2)，f '(π)<f '(e)<f '(2)，A，B错误； f(2)-f(1)=，表示点A(1，f(1))，B(2，f(2))连线的斜率，由图D 1可知，f '(2)<kAB< f '(1)，即f '(2)<f(2)-f(1)<f '(1)，C正确，D错误.故选C. 8. A　因为f(-x)=e-x-ex-sin x+x=-f(x)，所以f(x)是R上的奇函数.f'(x)=ex+e-x+ cos x-1≥2+cos x-1=1+cos x≥0，当且仅当x=0时等号成立，所以 f(x)是R上的增函数， 又不等式f(a-2ln(|x|+1))+f()≥0等价于f(a-2ln(|x|+1))≥-f()=f(-)， 所以a-2ln(|x|+1)≥-，即a≥-+2ln(|x|+1). 令g(x)=-+2ln(|x|+1)，则a≥g(x)max， 因为g(-x)=g(x)且定义域为R，所以g(x)=-+2ln(|x|+1)是R上的偶函数，所以只需求g(x)在(0，+∞)上的最大值即可. 当x∈[0，+∞)时，g(x)=-+2ln(x+1)， g'(x)=-x+==-， 则当x∈(0，1)时，g'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0. 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，可得g(x)max=g(1)=2ln 2-，即a≥2ln 2-，故选A. 9.AD　y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x，要使导数值为负，需使x与sin x符号相同，当x∈(-π，0)时，-xsin x<0，则函数在(-π，0)上单调递减；当x∈(2π，3π)时，-xsin x<0，则函数在(2π，3π)上单调递减. 10.ABD　由题图可知，函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，在(4，+∞)上单调递减，易知选项A，B正确. 对于C，结合题表及函数f(x)的单调性可得，当t≥0时，f(x)在[-1，t]上的最大值为2，故t的最大值不为4.故C错误. 对于D，求函数y=f(x)-a的零点个数，即求函数y=f(x)和y=a的图象的交点个数，由函数f(x)的简图(图略)易知，当1≤a<2时，函数y=f(x)和y=a的图象有4个交点，故D正确. 11.AD　令g(x)==ln x，易知g(x)在(0，+∞)上是增函数，∴当 0<x1<x2 时，g(x1)<g(x2)，即<， ∴x2f(x1)<x1f(x2).故A正确. 令h(x)=f(x)+x=xln x+x，则h'(x)=ln x+2. ∴当x∈(e-2，+∞)时，h'(x)>0，h(x)在(e-2，+∞)上单调递增，当x∈(0，e-2)时，h'(x)<0，h(x)在(0，e-2)上单调递减. ∴x1+f(x1)与x2+f(x2)无法比较大小.故B错误. ∵f(x)=xln x，∴f'(x)=ln x+1，令f'(x)>0，解得x>，令f'(x)<0，解得0<x<，故函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增.故C错误. ∵当x>，即ln x>-1时，f(x)单调递增，又由选项A知，x2f(x1)<x1f(x2)， ∴x1f(x1)+x2f(x2)-2x2f(x1)>x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]=(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，故D正确.故选AD. 12.[1，+∞)(开区间也可)　函数f(x)=x2-ln x的定义域为(0，+∞)，f '(x)=x-=，令f '(x)≥0，可得x≥1，所以函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞). 13.[e3+∞)　由题可知，f'(x)=ex(x2-4x-4+2x-4)+k(2x+4)=(x+2)[ex(x-4)+k]， 因为x=-2是f(x)的唯一极小值点，则ex(x-4)+k≥0恒成立，即-k≤ex(x-4)恒成立. 令g(x)=ex(x-4)，则g'(x)=ex(x-3). 当x<3时，g'(x)<0，g(x)单调递减； 当x>3时，g'(x)>0，g(x)单调递增. 所以g(x)min=g(3)=-e3，即-k≤-e3，即k≥e3. 14.　<t<　f '(x)=，当x>e时，f '(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x<e时，f '(x)>0，函数f(x)单调递增，故当x=e时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，为f(e)=. 由[f(x)]2+2tf(x)+2t-1=0得，f(x)=-1或f(x)=1-2t， 因为f(1)=0，当x→+∞时，f(x)>0，且f(x)趋近于0，x→0时，f(x)→-∞， 所以f(x)=-1有一个解. 则f(x)=1-2t有两个解， 所以0<1-2t<，解得<t<. 15.(1)f '(x)=3x2-6x-9，则f '(0)=-9， 所以函数在点(0，0)处的切线方程为y=-9x. (2)由(1)得f '(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)， 由f '(x)=0，得x=3或x=-1. 令f '(x)>0，得x<-1或x>3； 令f '(x)<0，得-1<x<3. 所以f(x)在[-2，-1)上单调递增，在(-1，2]上单调递减. 因为f(-2)=-2，f(2)=-22，f(-1)=5， 所以f(x)max=5，f(x)min=-22. 16.(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=1+-==. 令f'(x)<0，解得1<x<3，故f(x)在区间(1，3)上单调递减， 令f'(x)>0，解得0<x<1或x>3，故f(x)在区间(0，1)，(3，+∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，(3，+∞)，单调递减区间为(1，3). (2)f(1)=1-3-4×0=-2<0， f(3)=3-1-4ln 3=2-4ln 3<0， f(10)=10--4ln 10=-4ln 10≈9.7-4×2.303>0， 结合函数f(x)的单调性可得，函数f(x)在(0，10]上的零点只有一个. 17.(1)在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，则AE=8tan α. 所以S△PAE=PA×AE=32tan α. 同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，则BF=， 所以S△PBF=PB×BF=. 所以△PAE和△PFB的面积之和为32tan α+≥2=8， 当且仅当32tan α=，即tan α=时取等号， 故当AE=1 km，BF=8 km时，△PAE和△PFB的面积之和最小. (2)在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，则PE=. 同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，则PF=. 所以P到E和F的距离之和f(α)=PE+PF=+，0<α<，、 则f '(α)=-=， 令f '(α)=0，得tan α=，记tan α0=，0<α0<， 当α∈(0，α0)时，f '(α)<0，f(α)单调递减； 当α∈(α0，)时，f '(α)>0，f(α)单调递增. 所以tan α=时，f(α)取得最小值，此时AE=AP×tan α=8×=4，BF==2. 所以当AE为4 km，且BF为2 km时，P到E和F的距离之和最小. 18.(1)函数f(x)的定义域为(-2，+∞)， f '(x)=+x=， ①当a≥1时，令x2+2x+a=0，Δ=4-4a≤0，f '(x)≥0恒成立，函数f(x)在(-2，+∞)上单调递增. ②当0<a<1时，由f '(x)=0得x=-1±， 所以函数f(x)在(-2，-1-)，(-1+，+∞)上单调递增， 在(-1-，-1+)上单调递减. (2)若f(x)存在两个极值点，则0<a<1，x1，x2是方程x2+2x+a=0的两个根，所以x1+x2=-2，x1x2=a， f(x1)+f(x2)=aln(x1+2)+aln(x2+2)+(+)=aln[(x1+2)(x2+2)]+[(x1+x2)2-2x1x2]= aln a+2-a. 令h(a)=aln a-a+2，0<a<1，h'(a)=ln a<0， 所以h(a)在a∈(0，1)上单调递减，则h(a)>h(1)=1， 又aln a<0，-a<0，故h(a)=aln a-a+2<2，所以h(a)∈(1，2)，即1<f(x1)+f(x2)<2. 19.(1)当b=0时，函数g(x)=a(x-1)2+ln x， 则g'(x)=2a(x-1)+. 由函数g(x)在[2，3]上单调递减， 得g'(x)=2a(x-1)+≤0在[2，3]上恒成立， 即2a≤在[2，3]上恒成立， 又=，所以在[2，3]上，≥-，即2a≤-，即a≤-. 故实数a的取值范围是(-∞，-]. (2)若b=a，则函数f(x)=ex-a-ln(x+a)，于是f'(x)=ex-a-，而y=ex-a在(0，+∞)上单调递增，y=在(0，+∞)上单调递减，故f'(x)=ex-a-在(0，+∞)上单调递增. 又函数f(x)在(0，+∞)上的最小值为1，说明存在唯一的x0∈(0，+∞)，使得f'(x0)=-=0， 即=　①，则当x∈(0，x0)时，f'(x0)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，+∞)时，f'(x0)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(x0)=-ln(x0+a)， 由①得f(x)min=f(x0)=-ln(x0+a)， 即-ln(x0+a)=1，显然x0+a=1是方程的解， 又函数y=-ln x是(0，+∞)上的减函数， 则方程-ln(x0+a)=1有且仅有唯一的解x0+a=1，把x0=1-a代入①得e1-2a=1， 即a=，故所求实数a的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $