第1章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 本章复习提升 易混易错练 　　　　　　　　　　　　　　　　 易错点1　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错 1.已知函数f(x)=x3+2x-8,则曲线y=f(x)在点(0,-8)处的切线l1的方程为　　　　　;若曲线y=f(x)的某一切线l2与直线y=-x+1垂直,则切点坐标为　　　　　　　　.  2.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 易错点2　对复合函数的求导法则理解不透致错 3.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　.  4.已知函数f(x)在R上可导,F(x)=f(x3-1)+f(1-x3),则F'(1)=　　　　.  易错点3　对函数的单调性与其导函数的正负关系理解不透致错 5.已知f(x)=2x2+ln x-ax在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 6.设函数f(x)=xekx(k≠0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围. 易错点4　忽视极值存在的条件致错 7.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取得极大值,则实数c的值是(　　) A. B.2 C.2或6 D.6 8.已知函数f(x)=x3+6mx2+4nx+8m2在x=-2处取得极值,且极值为0,则m+4n=　　　 .  易错点5　混淆极值与最值的概念致错 9.函数f(x)=sin 2x-x在上的最大值为　　　,最小值为　　　.  10.已知曲线y=f(x)=x3+ax2+bx+在点(1, f(1))处的切线的斜率为3,且当x=3时,函数f(x)取得极值. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[0,3]上的极值和最小值. 易错点6　利用导数研究函数问题时忽视定义域致错 11.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)的单调递增区间为(　　) A.(-1,0) B.(-1,0),(2,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 12.已知某公司生产一种品牌服装的年固定成本为10万元,且每生产1万件,需要另投入1.9万元.设R(x)(单位:万元)为年销售收入,根据市场调查知R(x)=其中x(单位:万件)是年产量. (1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x的函数解析式; (2)当年产量为多少万件时,该公司所获年利润最大? 思想方法练　　　　　　　　　　　　　　　　 一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用 1.已知f(x)=ax-ln(ln x)+ln a. (1)当a=时,讨论f(x)的单调性; (2)若对任意x∈[e,+∞), f(x)≥0恒成立,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)=aln x+x2-(a+2)x,其中a∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线的斜率为1,求a的值; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)若函数f(x)的导函数f'(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时, f(x)>-e2. 二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用 3.已知关于x的不等式x3-ax2≥ln x恒成立,则实数a的取值范围为　(　　) A.(-∞,1] B.(0,1] C. D.(-∞,0] 4.已知函数f(x)=ex(x-1),g(x)=mx-m(m>0),若对任意x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2),则实数m的取值范围是　　　　.  5.已知函数f(x)=x3-ax2-3x. (1)当a=4时,求f(x)在[1,4]上的最大值和最小值; (2)若f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围. 三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用 6.已知函数f(x)=若函数F(x)=f(x)-ax有4个零点,则 a的可能取值为　(　　) A. B.1 C. D. 7.已知函数f(x)=mxln x,m∈R,且f(x)的最小值为-. (1)求实数m的值; (2)若a∈R,讨论关于x的方程f(x)-ax2=0的解的个数. 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 本章复习提升 易混易错练 1.答案　y=2x-8;(1,-5)或(-1,-11) 解析　由题意得f'(x)=3x2+2,当x=0时,f'(0)=2,所以切线l1的斜率k=2,由点斜式方程可求得切线l1的方程为y-(-8)=2(x-0),整理得y=2x-8. 已知直线的斜率为-,则切线l2的斜率为5,令f'(x)=3x2+2=5,解得x=±1,易求得f(1)=-5, f(-1)=-11. 故切点坐标为(1,-5)或(-1,-11). 2.解析　(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=. 因为f(x)=ax-,所以f'(x)=a+, 所以解得 故f(x)=x-. (2)由(1)知f'(x)=1+.设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0). 令x=0得,y=-,所以切线与直线x=0的交点坐标为. 令y=x,得y=x=2x0,所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0). 所以曲线在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为××|2x0|=6, 所以曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6. 易错警示 　　解决函数图象的切线问题时,要注意“在某点处”的切线与“过某点”的切线的区别,“在某点处”表示此点是切点,而“过某点”表示此点即使在曲线上也不一定是切点,解题时要注意防止因理解错误而导致解题错误. 3.答案　2 解析　由y=eax可得y'=eax·(ax)'=aeax, 由直线x+2y+1=0的斜率为-,得切线的斜率为2,即当x=0时,y'=a=2. 4.答案　0 解析　由F(x)=f(x3-1)+f(1-x3), 得F'(x)=3x2f'(x3-1)-3x2f'(1-x3), 得F'(1)=3f'(0)-3f'(0)=0. 易错警示 　　求复合函数的导数时,要严格按复合函数的求导法则进行计算,要注意从外及内,层层求导. 5.B　f'(x)=4x+-a, 由题意得f'(x)=4x+-a≥0,即a≤4x+在(0,+∞)上恒成立, 当x>0时,4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号, 所以4x+的最小值为4,故a≤4. 故选B. 6.解析　(1)f'(x)=(1+kx)ekx.令f'(x)=0,得x=-(k≠0).若k>0,则当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若k<0,则当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减. ∴当k>0时, f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,当k<0时, f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)解法一:由(1)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,即0<k≤1时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增;若k<0,则当且仅当-≥1,即-1≤k<0时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数f(x)在(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 解法二:由(1)知,f'(x)=(1+kx)ekx. ∵f(x)在(-1,1)内单调递增,∴f'(x)≥0在(-1,1)内恒成立. 令g(x)=kx+1,则g(x)≥0在(-1,1)内恒成立, 若k>0,则g(-1)≥0,∴-k+1≥0,∴k≤1, ∴0<k≤1; 若k<0,则g(1)≥0,∴k+1≥0,∴k≥-1, ∴-1≤k<0. 综上,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 易错警示 　　函数f(x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0. 7.D　f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c), 由f(x)在x=2处取得极大值,得f'(2)=0, 即(c-2)(c-6)=0, 解得c=2或c=6, 若c=2,令f'(x)=0,可得x=2或x=, 易知f(x)在x=2附近处的导数满足左负右正,故f(x)在x=2处取得极小值; 若c=6,令 f'(x)=0,可得x=6或x=2, 易知f(x)在x=2附近处的导数满足左正右负,故f(x)在x=2处取得极大值. 综上可得,c=6. 8.答案　38 解析　f'(x)=3x2+12mx+4n, 依题意有即 解得或 当m=1,n=3时, f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0,当且仅当x=-2时取等号, 所以f(x)在R上单调递增,无极值,不符合题意; 当m=2,n=9时, f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+6),当-6<x<-2时f'(x)<0,当x>-2时f'(x)>0, 故f(x)在x=-2处取得极值,符合题意. 综上所述,m=2,n=9,所以m+4n=38. 易错警示 　　若f'(x)存在,则“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.可导函数的极值点一定是导数为零的点,而在某点处导数为零仅是该点为极值点的必要条件,其充要条件是该点两侧的导数异号. 9.答案　;- 解析　由已知得 f'(x)=2cos 2x-1,x∈. 令f'(x)=0,得2cos 2x-1=0, 解得x=-或x=. 因为f =-, f =-+, f =-, f =, 所以函数f(x)在上的最大值和最小值分别为,-. 10.解析　(1)f'(x)=x2+2ax+b, 结合题意可得 解得 故f(x)=x3-x2+x+. (2)由(1)知f'(x)=x2-x+. 令f'(x)>0,解得x>3或x<, 令f'(x)<0,解得<x<3, 故f(x)在上单调递增,在上单调递减, 故f(x)在[0,3]上有极大值,无极小值,且f(x)极大值=f =,又因为f(0)=, f(3)=,<,故f(x)在[0,3]上的最小值是. 易错警示 　　求函数的最大(小)值时,要将函数的各极值与端点处的函数值进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.函数没有极小值时不一定没有最小值,解题时要正确理解极值与最值. 11.D　f'(x)=2x-2-==(x>0). 令f'(x)>0,得x>2或x<-1. 因为x>0,所以x>2. 故f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 故选D. 易错警示 　　利用导数求函数f(x)的单调区间时,要先求函数的定义域D,再求导数f'(x),进而解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)得到解集P,定义域D与不等式解集P的交集D∩P才是函数的单调递增(减)区间.解题时应注意不要忽视定义域. 12.解析　(1)依题意得, W= (2)设f(x)=-x3+8.1x-10,0≤x≤10, 则f'(x)=-x2+8.1,0≤x≤10. 令f'(x)=0,得x=9或x=-9(舍去). 当0≤x≤9时, f'(x)≥0; 当9<x≤10时, f'(x)<0. 故当x=9时, f(x)取得极大值,也是最大值,为f(9)=38.6. 当x>10时,-1.9x<-1.9×10=<38.6. 综上可知,当年产量为9万件时,该公司所获年利润最大. 易错警示 　　利用导数解决实际问题时,不能忽视实际问题中函数的定义域. 思想方法练 1.解析　(1)当a=时, f(x)=x-ln(ln x)-1, f(x)的定义域为(1,+∞), ∴f'(x)=-=,x∈(1,+∞), 设m(x)=xln x-e,x∈(1,+∞),则m'(x)=ln x+1>0, ∴m(x)在(1,+∞)上单调递增, ∵m(e)=0, ∴当1<x<e时,m(x)<0,则f'(x)<0,当x>e时,m(x)>0,则f'(x)>0, ∴f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增. (2)由题意可得a>0. f'(x)=a-=,x∈[e,+∞). 令v(x)=axln x-1,x∈[e,+∞),则v'(x)=a(ln x+1)>0, ∴v(x)=axln x-1为[e,+∞)上的增函数, ∴v(x)≥v(e)=ae-1. 结合a>0及ae-1的正负对a进行分类讨论. ①当a≥时,∀x∈[e,+∞),v(x)≥0恒成立, 即f'(x)≥0恒成立,且仅在有限个点处取等号, ∴f(x)在[e,+∞)上单调递增,而f(e)=ae+ln a≥0, ∴当x≥e时, f(x)≥f(e)≥0. ∴当a≥时,对任意x∈[e,+∞), f(x)≥0恒成立. ②当0<a<时,v(e)=ae-1<0,易知v()=-1>0, ∴∃x0∈(e,),使得v(x0)=0,∵v(x)为[e,+∞)上的增函数, ∴当x∈[e,x0)时,v(x)<0,即f'(x)<0, ∴当x∈[e,x0)时, f(x)单调递减, ∴当x∈[e,x0)时, f(x)≤f(e)=ae+ln a<0, 这与对任意x∈[e,+∞), f(x)≥0恒成立矛盾, ∴0<a<不符合题意. 综上,a的取值范围是. 2.解析　(1)因为f(x)=aln x+x2-(a+2)x, 所以f'(x)=+2x-(a+2), 所以f'(2)=+4-(a+2)=1,解得a=2. (2)f'(x)=+2x-(a+2)=,x>0. 令f'(x)=0,得x=1或x=. 对f'(x)=0的两个解、1的大小,以及是否在 定义域内进行分类讨论. ①若≤0,即a≤0,则当x∈(0,1)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增. ②若0<<1,即0<a<2,则当x∈或x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减. ③若=1,即a=2,则f'(x)=≥0恒成立,当且仅当x=1时取等号,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ④若>1,即a>2,则当x∈(0,1)或x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减. 综上所述,若a≤0,则当x∈(0,1)时, f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时, f(x)单调递增; 若0<a<2,则当x∈或x∈(1,+∞)时, f(x)单调递增,当x∈时, f(x)单调递减; 若a=2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若a>2,则当x∈(0,1)或x∈时, f(x)单调递增,当x∈时, f(x)单调递减. (3)证明:由(2)知, f'(x)=(x>0), 设导函数f'(x)在区间(1,e)上的零点为x0,则a=2x0∈(2,2e), 易得f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,e)上单调递增,所以当x=x0时, f(x)在(1,e)上取得极小值,也是最小值,且f(x)min=f(x0)=aln x0+-(a+2)x0=2x0ln x0+-(2x0+2)x0 =2x0ln x0--2x0, 设g(x)=2xln x-x2-2x,x∈(1,e), 则g'(x)=2ln x-2x,x∈(1,e), 设h(x)=g'(x)=2ln x-2x,x∈(1,e), 则h'(x)=-2<0,所以h(x)单调递减, 所以h(x)<h(1)=2ln 1-2=-2,即g'(x)=2ln x-2x<0在(1,e)上恒成立,故g(x)单调递减, 所以g(x)>g(e)=-e2,故当x∈(1,e)时, f(x)>-e2. 思想方法 　　在本章中,求单调区间、参数的取值范围、极值、最值以及解决恒成立或有解的问题时,往往需要用到分类讨论思想,注意在分类时要明确分类的标准. 3.A　由x3-ax2≥ln x(x>0)恒成立,可得a≤恒成立. 通过分离参数,将不等式恒成立问题转化为参数与函数的最值间的大小关系问题. 设f(x)=,则f'(x)=, 令g(x)=x3-1+2ln x,则g'(x)=3x2+>0, 可得g(x)=x3-1+2ln x在(0,+∞)上单调递增, 又因为g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)<0,即f'(x)<0, f(x)单调递减; 当x>1时,g(x)>0,即f'(x)>0, f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,为f(1)=1,所以a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].故选A. 4.答案　[e2,+∞) 解析　由题知,f'(x)=xex, 当x>0时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x<0时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 故当x=0时,函数f(x)取得极小值,也是最小值,为f(0)=-1, 又因为f(-2)=-3e-2, f(2)=e2,所以当-2≤x≤2时,-1≤f(x)≤e2. 易知函数g(x)=mx-m(m>0)在[-2,2]上单调递增, 则当-2≤x≤2时,-3m≤g(x)≤m, 因为对任意x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2), 所以[-1,e2]⊆[-3m,m], 将方程有解问题转化为函数的值域问题,进而转化为集合间的关系问题求解. 则解得m≥e2,故实数m的取值范围是[e2,+∞). 5.解析　(1)当a=4时, f(x)=x3-4x2-3x, ∴f'(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3), 令f'(x)=0,解得x=3或x=-(舍去), 当x变化时, f'(x)与 f(x)的变化情况如下表所示: x [1,3) 3 (3,4] f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ ∴函数f(x)在区间[1,3)上单调递减,在区间(3,4]上单调递增,当x=3时,f(x)取得极小值,也是最小值, 故当x∈[1,4]时, f(x)min=f(3)=-18, 又∵f(1)=-6, f(4)=-12,∴f(x)max=f(1)=-6. (2)∵f(x)=x3-ax2-3x,∴f'(x)=3x2-2ax-3, 由题意可知, f'(x)≥0对任意的x∈[2,+∞)恒成立,则2a≤3x-, 将函数的单调性问题转化为不等式恒成立问题求解. 易知函数y=3x-在区间[2,+∞)上为增函数,则ymin=6-=, 将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解. ∴2a≤,即a≤.因此,实数a的取值范围是. 思想方法 　　转化与化归思想在用导数解决函数问题中的运用主要体现在将含参数的问题转化为不含参数的问题,将函数单调性问题转化为不等式恒(能)成立问题,将不等式及方程问题转化为函数的最大(小)值问题等. 6.A　作函数y=f(x)的图象,如图所示: 作f(x)的图象,通过数形结合,将函数的零点个数问题转化为y=f(x)的图象与直线y=ax的交点个数问题. 要使函数F(x)=f(x)-ax有4个零点, 只需a>0,且a小于y=ln x的图象在区间[1,e]上的过坐标原点的切线的斜率即可.由y=ln x,得y'=,设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为y-ln x0=(x-x0),又因为切线过点(0,0),所以-ln x0=·(-x0),解得x0=e, 故此时切线的斜率为=,故a∈,结合选项知选A. 7.解析　(1)设g(x)=xln x,x>0, 则g'(x)=ln x+1.令g'(x)=0,得x=, 易知函数g(x)在上单调递减,在上单调递增, 所以g(x)在x=处取得极小值,也是最小值,即g(x)min=g=-,所以m=1. (2)由f(x)-ax2=0,得xln x=ax2, 因为x>0,所以=a, 设h(x)=(x>0),则h'(x)=, 令h'(x)=0,得x=e, 易知函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值,即h(x)max=h(e)=,由h(1)=0,且当x>e时,h(x)>0,当x→+∞时,h(x)→0, 利用导数研究h(x)的性质,从而得到h(x)的大致图象,再借助h(x)的图象直观求解,这一过程体现了数形结合思想. 可画出函数h(x)的大致图象,如图所示: 所以当a>时,方程无解;当a=或a≤0时,方程有1个解;当0<a<时,方程有2个解. 思想方法 　　数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.在利用导数解决函数问题时要注意数形结合思想的运用,充分利用函数图象解决有关问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$