精品解析：安徽省六安市裕安区 2025-2026学年上学期 八年级第一次教学质量检测数学试卷

八年级阶段评估（五） 数学（沪科版） 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 当时，代数式的值是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程． ①若，则方程必有一根为； ②若一元二次方程无实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个实数根，且，则必有； ④若是方程的一个实数根，则．上述说法中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次根式有意义的条件是______． 12. 三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 14. 实数，，满足和． （1）若和均为正整数，则的值为______； （2）若存在唯一的实数使得这两个关系式都成立，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 计算： （1）； （2）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 习题课上老师给了一道解方程的题目：．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：…第一步， ∴…第二步， ∴，…第三步． 小明的解法 原方程可化为：…第一步， 两边都除以…第二步， ∴…第三步． （1）他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 18. 求当，时，下列代数式的值． （1）； （2）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： （1）； （2）． 20. 观察下列各式： ； ； ； … （1）请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； （2）利用上述规律计算：． 六、（本题满分12分） 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． （1）基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； （2）能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； （3）综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 八、（本题满分14分） 23. 在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． （1）______，______； （2）若，求n的值； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段评估（五） 数学（沪科版） 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程． 对选项逐一判断： A选项：整理得，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程． B选项：方程中含有分式，不是整式方程，不符合要求． C选项：未知数最高次数为，是一元三次方程，不符合要求． D选项：展开方程右侧：， 对原方程整理得：， 化简得：，未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求． 故选：． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数是整数或是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、被开方数含分母，因此不是最简二次根式； B、被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； C、，被开方数含分母，因此不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数 ，因此不是最简二次根式． 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再整理二次项，随后配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 提取二次项系数得 ， 对括号内配方，给括号内加上一次项系数一半的平方 ，等式变形得， ， 整理得 ． 故选：C． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次根式运算法则和完全平方公式，逐一计算即可找出错误选项． 【详解】解：选项A：，正确，故本选项不符合题意； 选项B：，正确，故本选项不符合题意； 选项C：，正确，故本选项不符合题意； 选项D：，原计算错误，故本选项符合题意； 5. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程解的定义，将代入方程，整理变形即可求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴将代入方程得， 即， ． 6. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式的除法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴ ∴估算的值在6和7之间． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算判别式的值即可判断根的情况，根据判别式与0的大小关系即可得出结论． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中，，， ∴根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 8. 已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用非负数的性质求出a，b的值，再结合三角形三边关系确定c的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：， 则， 解得， 由于是三角形的最长边， 则， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得， 因此c的取值范围是， 只有符合条件， 故选：C． 9. 当时，代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 10. 对于一元二次方程． ①若，则方程必有一根为； ②若一元二次方程无实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个实数根，且，则必有； ④若是方程的一个实数根，则．上述说法中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析四个关于一元二次方程的说法，①将代入方程，结合得出方程必有根；②由方程无实根推出，但无法确定原方程判别式的正负，故不能确定原方程有两个不等实根；③将根代入方程，化简得到；④通过假设变形并代入根的条件，得出只有时结论才成立，最终确定①③正确． 【详解】①将代入方程得，故方程必有一根为； ②若方程无实根，则， ∵对于方程，的值无法确定是否大于， ∴不能确定方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则， 又∵， ∴； ④假设， 整理得，则， 又∵是一元二次方程的根，则， 把代入得，得， 即只有在时，结论才正确． 故一定正确的说法是①③．故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次根式有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式被开方数非负，且分式分母不为零，因此可得：， 解不等式得：． 12. 三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】先利用因式分解法求解一元二次方程，再根据三角形三边关系舍去不符合题意的根，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时，，能构成三角形，周长为 ； 当时，，不能构成三角形， 则三角形的周长为． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题中公式，将，，得到，分类求解即可． 【详解】解：将，代入得 ， 将方程两边平方并整理得， 开方得， 即， 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 综上所述，的值为或． 14. 实数，，满足和． （1）若和均为正整数，则的值为______； （2）若存在唯一的实数使得这两个关系式都成立，则的值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）根据及，是正整数得出，或，，分别代入得出的值即可； （2）把代入可得，根据存在唯一的实数，得出判别式为，即可求出，代入方程求出，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵，均为正整数且， ∴，或，， ∵， ∴当，时，； 当，时，． ∴的值为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵“存在唯一的实数b”， ∴该方程有且只有一个实数解， ∴， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ，． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项即可； （2）运用乘法公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 习题课上老师给了一道解方程的题目：．小马和小明的解法如下： 小马的解法 原方程可化为：…第一步， ∴…第二步， ∴，…第三步． 小明的解法 原方程可化为：…第一步， 两边都除以…第二步， ∴…第三步． （1）他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误； （2）写出方程正确的解答过程． 【答案】（1）二；二 （2） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 【解析】 【分析】（1）小马第二步方程左边因式分解错误，小明第二步忽略了的值可以为； （2）先把原方程化为，再移项得，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：小马从第二步开始错误，理由是方程左边进行因式分解时，因式分解错误；小明从第二步开始错误，理由是的值可以为，方程两边不能直接同时除以； 【小问2详解】 略 18. 求当，时，下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）33 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解； （2）先判断，求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：当，时，，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 20. 观察下列各式： ； ； ； … （1）请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； （2）利用上述规律计算：． 【答案】（1）①，；②， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据已知算式的规律进行计算即可； （2）根据已知算式得出规律即可； （3）先将原式变形，再根据得出的规律进行计算即可． 【小问1详解】 解：①根据题意可知，； ②根据题意可知，． 【小问2详解】 解：． 六、（本题满分12分） 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）将代入方程得，整理得出，再代入，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵p是方程的一个实数根， ∴将代入方程得：， 变形得， 将其代入得：， 解得：，， ∵， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． （1）基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； （2）能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； （3）综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【答案】（1） （2） （3）3和5 【解析】 【分析】（1）用题干提供的方法进行求解即可； （2）用题干提供的方法进行求解即可； （3）将新方程变形为，对比原方程得出，根据原方程的两根为1和3，得出新方程的两个根即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 化简得：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 展开化简得：； 【小问3详解】 解：将新方程变形整理：， ， ， 对比原方程，可得代换关系： ，即， ∵原方程的两根为1和3， ∴新方程的两根为，， 即所求两根为3和5． 八、（本题满分14分） 23. 在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． （1）______，______； （2）若，求n的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再解方程即可； （3）将整理可得，再将整理，整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：方程左边， 由题意得：， ∴， ， ； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， 代入得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $