精品解析：吉林省长春市新解放学校初中部2022-2023学年八年级下学期 小班期初考试数学试题

新解放学校初中部2022-2023学年下学期八年级小班期初考试 数学试题 满分：120 时间：120分钟 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠3 B. x≠﹣3 C. x＞3 D. x＞﹣3 3. 下列光滑的曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列方程中，是方程的根的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 6. 出生1﹣6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重y(克)与月龄x(月)间的关系可以用y＝a+700x来表示，其中a是婴儿出生时的体重，一个婴儿出生时的体重是3000克，这个婴儿第4个月的体重为( ) A. 6000克 B. 5800克 C. 5000克 D. 5100克 7. 如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点在边上，点是矩形内一点，，则的最小值是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 已知一次函数．当时，的取值范围是______． 10. 关于的一元二次方程有相等的实数根，则______． 11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 12. 如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为___________． 13. 如图所示，正方形中，E为边上一点，连接，作的垂直平分线交 于G，交于F﹐若，，则 的长为 __________ ． 14. 点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，若y1＞y2 ， 则a的取值范围是________． 三、解答题（共10题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． （1）用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； （2）如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格内按要求画图，所画图形的顶点均在格点上且所画图形不全等，不要求写出画法． （1）在图①中，以线段为底边画一个等腰直角． （2）在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，且四边形的面积为10． （3）在图3中，以线段为边画一个中心对称四边形，并且其中一个内角为45°． 18. 为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 20. 如图，在中，为边上一点，且． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 21. 已知A、B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程y(千米）与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出乙车距A地的路程y（千米）与x（分钟）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．（写出自变量x的取值范围） （2）甲、乙两车在行驶过程中相遇了______次． （3）求甲车到B地时，乙车距A地的路程． 22. 小明在一次学习中遇到了下面的问题：如图①，在中，，．求证：． （1）【方法探究】以下是小明的方法： 证明：如图②，延长至点，使，连接． ，为公共边，．． 请你补全余下的证明过程． （2）【方法应用】如图③，矩形中，点是边上一点，．若，则的长为______． （3）【拓展延伸】如图④，正方形中，点在边上，若．则与的比值为______． 23. 如图，中，，面积为36．点是边上一动点，连接，点绕点顺时针旋转得到点，连接．点为的中点． （1）点到边的距离为______． （2）当点落在内部（不包括边界）时，求长的取值范围． （3）连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． （4）连接，当直线时，直接写出的长． 24. 对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常称为分段函数．已知分段函数． （1）当时， ①直接写出此分段函数的表达式； ②当时，求函数的取值范围； ③当时，求自变量的取值范围． （2）已知．当函数的图象与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新解放学校初中部2022-2023学年下学期八年级小班期初考试 数学试题 满分：120 时间：120分钟 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠3 B. x≠﹣3 C. x＞3 D. x＞﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义时，分母不等于零解答即可． 【详解】当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义． 故选A． 3. 下列光滑的曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、存在x的取值，使得y有两个值与之对应，所以y不是x的函数，符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意． 4. 在下列方程中，是方程的根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理（①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A、错误．一组对边平行无法判断四边形是平行四边形； B、正确．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C、错误．一组对角相等无法判断四边形是平行四边形； D、错误．对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 6. 出生1﹣6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重y(克)与月龄x(月)间的关系可以用y＝a+700x来表示，其中a是婴儿出生时的体重，一个婴儿出生时的体重是3000克，这个婴儿第4个月的体重为( ) A. 6000克 B. 5800克 C. 5000克 D. 5100克 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用函数关系式，把a，x的值代入进而得出答案． 【详解】由题意可得：y=3000+700x，当x=4时，y=3000+2800=5800（克）． 故选B． 【点睛】本题考查了函数值，正确得出a，x的值是解题的关键． 7. 如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，即可得出，，根据等角对等边得出，，根据线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 8. 如图，在矩形中，，点在边上，点是矩形内一点，，则的最小值是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】如图：过F作交于G，于H，先根据直角三角形30度角的性质可知，即，得的长是的最小值，再根据矩形的性质以及已知条件即可解答． 【详解】解：如图：过F作交于G，于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是边上一点， ∴，即的最小值是， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即的最小值是6． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 已知一次函数．当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次项系数判断一次函数的增减性，再计算、时y的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数中，一次项系数． 随的增大而减小． 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 10. 关于的一元二次方程有相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有相等实数根的条件，可知判别式，据此列出关于的方程，求解得到的值． 【详解】解：方程有相等的实数根， ， ∴， ∴． 11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确理解科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 12. 如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理的综合运用．连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接， 四边形为菱形，， 为等边三角形，，， 为的中点， 为的平分线，即， ， 由折叠的性质得到， 在中，． 故答案为：． 13. 如图所示，正方形中，E为边上一点，连接，作的垂直平分线交 于G，交于F﹐若，，则 的长为 __________ ． 【答案】． 【解析】 【分析】如图，连接，作于．则四边形是矩形，设 ，则．首先证明，推出 ，在中，根据，构建方程求出 即可． 【详解】解：如图，连接，作于．则四边形是矩形，设，则． 垂直平分，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在中， ， ， ， ，， 在中，， 故答案是：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． 14. 点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，若y1＞y2 ， 则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】∵k<0, ∴函数经过二、四象限，在每个象限y随着x的增大而增大， ∵a-1<a+2，＞， ①当点、在图象的同一支 解得：无解 ②当点、在图象的两支上 ， 解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大． 三、解答题（共10题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． （1）用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； （2）如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形边长； （2）由图可知，列式求出a的值即可． 【小问1详解】 解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； 【小问2详解】 解：由图可知， ∴， 化简为， 解得：或（舍）， 则的值为2． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格内按要求画图，所画图形的顶点均在格点上且所画图形不全等，不要求写出画法． （1）在图①中，以线段为底边画一个等腰直角． （2）在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，且四边形的面积为10． （3）在图3中，以线段为边画一个中心对称四边形，并且其中一个内角为45°． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点及等腰直角三角形的特点即可作图； （2）根据网格的特点及正方形的特点即可作图； （3）根据等腰直角三角形的特点及平行四边形的性质即可作图． 【详解】（1）如图，为所求； （2）∵AB= ∴四边形的面积为 如图，四边形为所求； （3）如图，四边形为所求． ． 【点睛】此题主要考查图形设计，解题的关键是熟知网格的特点及等腰直角三角形、正方形及平行四边形的性质． 18. 为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？ 【答案】每千克有机大米的售价为7元． 【解析】 【分析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元， 根据题意得：，解得：x=7， 经检验：x=7是方程的解，且符合题意， 答：每千克有机大米的售价为7元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式； （2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点， ∴点坐标满足一次函数解析式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵轴， ∴，轴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段． 20. 如图，在中，为边上一点，且． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明． （2）根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）四边形为平行四边形， ． ． ． ． ． （2）， ． 为等边三角形． ． ． ， . 21. 已知A、B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程y(千米）与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出乙车距A地的路程y（千米）与x（分钟）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．（写出自变量x的取值范围） （2）甲、乙两车在行驶过程中相遇了______次． （3）求甲车到B地时，乙车距A地的路程． 【答案】（1），见解析 （2）2 （3）当甲车到达B地时，乙车距离A地的路程为30千米 【解析】 【分析】（1）根据题意，之间的距离为千米，乙车行驶时间为分钟，根据乙车从B地出发匀速去往A地，画出函数图象，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据函数图象即可求解； （3）根据甲用时30分钟到达B地，将代入（1）的解析式求解即可求解． 【小问1详解】 解：如图． 设乙车距离A的路程y与x之间的函数关系式为， 把、代入， 得．解得， ∴． 【小问2详解】 根据函数图象可知，相遇了2次， 故答案为：2． 【小问3详解】 甲到达B所用时间为 当时，． 所以，当甲车到达B地时，乙车距离A地的路程为30千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 22. 小明在一次学习中遇到了下面的问题：如图①，在中，，．求证：． （1）【方法探究】以下是小明的方法： 证明：如图②，延长至点，使，连接． ，为公共边，．． 请你补全余下的证明过程． （2）【方法应用】如图③，矩形中，点是边上一点，．若，则的长为______． （3）【拓展延伸】如图④，正方形中，点在边上，若．则与的比值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接．证明，得出，，再证明，可得，则，推出，最后利用线段和差即可证明； （2）延长至点，使，连接，先证明，勾股定理求出，再同（1）的方法求出，即可求出，最后利用勾股定理求解即可； （3）延长至点，使，连接．同（1）的方法证明，设，求出，，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图②，延长至点，使，连接． ∵，为公共边， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长至点，使，连接． 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接． 在正方形中，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴与的比值为． 23. 如图，中，，面积为36．点是边上一动点，连接，点绕点顺时针旋转得到点，连接．点为的中点． （1）点到边的距离为______． （2）当点落在内部（不包括边界）时，求长的取值范围． （3）连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． （4）连接，当直线时，直接写出的长． 【答案】（1）3 （2） （3）或． （4）3 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行四边形面积公式求解即可； （2）由旋转的性质可知，，，分两种情况讨论：①当点在边上时，②当点在边上时，过点作于点，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，过点、作的垂线，垂足分别为、，证明，得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解；②当时，过点作的垂线，垂足为，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解； （4）过点作的垂线，垂足为，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点P， 中，，面积为36， ， ， 即点到边的距离为3； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知，，， ， ①如图，当点在边上时， 由（1）可知，， 在中，； ②如图，当点在边上时，过点作于点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 长的取值范围为． 【小问3详解】 解：①当时，如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 由（1）可知，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ； ②当时，如图，过点作的垂线，垂足为， 由（2）可知，，， 由旋转的性质可知，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即； 综上可知，的长为或． 【小问4详解】 解：如图，过点作的垂线，垂足为， 点为的中点，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 24. 对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常称为分段函数．已知分段函数． （1）当时， ①直接写出此分段函数的表达式； ②当时，求函数的取值范围； ③当时，求自变量的取值范围． （2）已知．当函数的图象与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②；③或． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意将代入即可； ②分两种情况讨论，利用一次函数的增减性求出范围内的最大值和最小值，即可得解； ③分别求出和时对应的自变量取值，再结合图象分析即可； （2）由题意可知，与有一个交点，与有一个交点，则，再结合临界点的位置得到关于的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，分段函数； ②当时，，此时随的增大而增大， 当时，；当时，； ； 当时，，此时随的增大而减小， 当时，；当时，； ， 综上可知，当时，函数的取值范围为； ③当时，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 结合函数图象可知，当时，自变量的取值范围为或． 【小问2详解】 解：分段函数的图象与线段有两个公共点， 与有一个交点，与有一个交点， ， ， 与直线的交点在的上方，与直线的交点在的下方， 与直线的交点在上或在上方，与直线的交点在的下方， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $